Distribución estable

En teoría de la probabilidad , se dice que una distribución es estable si una combinación lineal de dos variables aleatorias independientes con dicha distribución tiene la misma distribución, salvo parámetros de localización y escala . Se dice que una variable aleatoria es estable si su distribución es estable. La familia de distribuciones estables también se conoce a veces como distribución alfa-estable de Lévy , en honor a Paul Lévy , el primer matemático que la estudió. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

De los cuatro parámetros que definen la familia, la mayor parte de la atención se ha centrado en el parámetro de estabilidad,${\displaystyle \alpha }$(ver panel). Las distribuciones estables tienen${\displaystyle 0<\alpha \leq 2}$, con el límite superior correspondiente a la distribución normal , y se aproxima a la función delta de Dirac en el límite cuando${\displaystyle \alpha \rightarrow 0}$Las distribuciones tienen varianza indefinida para${\displaystyle \alpha <2}$y media indefinida para${\displaystyle \alpha \leq 1}$.

La importancia de las distribuciones de probabilidad estables radica en que son " atractores " para sumas debidamente normalizadas de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas ( iid ). La distribución normal define una familia de distribuciones estables. Según el teorema clásico del límite central , la suma debidamente normalizada de un conjunto de variables aleatorias, cada una con varianza finita, tenderá a una distribución normal a medida que aumenta el número de variables. Sin la suposición de varianza finita, el límite puede ser una distribución estable que no sea normal. Mandelbrot se refirió a dichas distribuciones como "distribuciones paretianas estables" ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ],} siguiendo a Vilfredo Pareto . En particular, se refirió a aquellas máximamente sesgadas en la dirección positiva con${\displaystyle 1<\alpha <2}$como "distribuciones de Pareto-Lévy" ^{[ 1 ]} que consideraba mejores descripciones de los precios de las acciones y las materias primas que las distribuciones normales. ^{[ 6 ]}

Una distribución no degenerada es una distribución estable si satisface la siguiente propiedad:

Dado que la distribución normal , la distribución de Cauchy y la distribución de Lévy poseen la propiedad mencionada anteriormente, se deduce que son casos especiales de distribuciones estables.

Dichas distribuciones forman una familia de cuatro parámetros de distribuciones de probabilidad continuas parametrizadas por los parámetros de ubicación y escala μ y c , respectivamente, y dos parámetros de forma.${\displaystyle \beta }$y${\displaystyle \alpha }$, que corresponden aproximadamente a medidas de asimetría y concentración, respectivamente (véanse las figuras).

La función característica${\displaystyle \varphi }$de una distribución de probabilidad con función de densidad${\displaystyle f}$es la transformada de Fourier de${\displaystyle f.}$La función de densidad es entonces la transformada inversa de Fourier de la función característica: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \varphi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{ixt}\,dx.}$$

Aunque la función de densidad de probabilidad para una distribución estable general no se puede escribir analíticamente, la función característica general sí se puede expresar analíticamente. Una variable aleatoria X se denomina estable si su función característica se puede escribir como ^{[ 7 ] [ 9 ]}$${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,c,\mu )=\exp \left(it\mu -|ct|^{\alpha }\left(1-i\beta \operatorname {sgn}(t)\Phi \right)\right)}$$ donde sgn( t ) es simplemente el signo de t y $${\displaystyle \Phi ={\begin{cases}\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)&\alpha \neq 1\\-{\frac {2}{\pi }}\log |t|&\alpha =1\end{cases}}}$$μ ∈ R es un parámetro de desplazamiento,${\displaystyle \beta \in [-1,1]}$, llamado parámetro de asimetría , es una medida de asimetría. Nótese que en este contexto la asimetría usual no está bien definida, como para${\displaystyle \alpha <2}$La distribución no admite momentos de segundo orden o superiores , y la definición habitual de asimetría es el tercer momento central .

La razón por la que esto da una distribución estable es que la función característica para la suma de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de las dos funciones características correspondientes. Sumar dos variables aleatorias de una distribución estable da como resultado algo con los mismos valores de${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$, pero posiblemente con valores diferentes de μ y c .

No toda función es la función característica de una distribución de probabilidad legítima (es decir, una cuya función de distribución acumulativa es real y varía de 0 a 1 sin disminuir), pero las funciones características mencionadas anteriormente serán legítimas siempre que los parámetros se encuentren dentro de sus rangos. El valor de la función característica en un valor t determinado es el conjugado complejo de su valor en −t , como debe ser para que la función de distribución de probabilidad sea real.

En el caso más simple${\displaystyle \beta =0}$, la función característica es simplemente una función exponencial estirada ; la distribución es simétrica con respecto a μ y se la conoce como una distribución alfa-estable simétrica (de Lévy) , a menudo abreviada como SαS .

Cuando${\displaystyle \alpha <1}$y${\displaystyle \beta =1}$, la distribución está soportada en [ μ , ∞).

El parámetro c > 0 es un factor de escala que es una medida de la amplitud de la distribución, mientras que${\displaystyle \alpha }$es el exponente o índice de la distribución y especifica el comportamiento asintótico de la misma.

• Las distribuciones estables son infinitamente divisibles .
• Las distribuciones estables son las distribuciones leptocurtóticas y de cola pesada , con la excepción de la distribución normal (${\displaystyle \alpha =2}$).
• Las distribuciones estables son cerradas bajo convolución .

Stable distributions are closed under convolution for a fixed value of ${\displaystyle \alpha }$. Since convolution is equivalent to multiplication of the Fourier-transformed function, it follows that the product of two stable characteristic functions with the same ${\displaystyle \alpha }$ will yield another such characteristic function. The product of two stable characteristic functions is given by: $${\displaystyle \exp \left[it\left(\mu _{1}+\mu _{2}\right)-|c_{1}t|^{\alpha }-|c_{2}t|^{\alpha }+i\left(\beta _{1}|c_{1}t|^{\alpha }+\beta _{2}|c_{2}t|^{\alpha }\right)\operatorname {sgn}(t)\Phi \right]}$$

Since Φ is not a function of the μ, c or ${\displaystyle \beta }$ variables it follows that these parameters for the convolved function are given by: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\mu _{1}+\mu _{2}\\c&=\left(c_{1}^{\alpha }+c_{2}^{\alpha }\right)^{\frac {1}{\alpha }}\\[6pt]\beta &={\frac {\beta _{1}c_{1}^{\alpha }+\beta _{2}c_{2}^{\alpha }}{c_{1}^{\alpha }+c_{2}^{\alpha }}}\end{aligned}}}$$

In each case, it can be shown that the resulting parameters lie within the required intervals for a stable distribution.

The Generalized Central Limit Theorem (GCLT) was an effort of multiple mathematicians (Bernstein, Lindeberg, Lévy, Feller, Kolmogorov, and others) over the period from 1920 to 1937. ^[12] The first published complete proof (in French) of the GCLT was in 1937 by Paul Lévy.^[13] An English language version of the complete proof of the GCLT is available in the translation of Gnedenko and Kolmogorov's 1954 book.^[14]

The statement of the GCLT is as follows:^[10]

In other words, if sums of independent, identically distributed random variables converge in distribution to some Z, then Z must be a stable distribution.

No existe una solución analítica general para la forma de f ( x ). Sin embargo, existen tres casos especiales que pueden expresarse en términos de funciones elementales , como se puede observar al examinar la función característica : ^{[ 7 ] [ 9 ] [ 15 ]}

• Para${\displaystyle \alpha =2}$La distribución se reduce a una distribución gaussiana ^con varianza σ² = 2c² y media ^μ ; el parámetro de asimetría${\displaystyle \beta }$no tiene ningún efecto.
• Para${\displaystyle \alpha =1}$y${\displaystyle \beta =0}$La distribución se reduce a una distribución de Cauchy con parámetro de escala c y parámetro de desplazamiento μ .
• Para${\displaystyle \alpha =1/2}$y${\displaystyle \beta =1}$La distribución se reduce a una distribución de Lévy con parámetro de escala c y parámetro de desplazamiento μ .

Cabe señalar que las tres distribuciones anteriores también están relacionadas de la siguiente manera: una variable aleatoria de Cauchy estándar puede considerarse como una mezcla de variables aleatorias gaussianas (todas con media cero), cuya varianza proviene de una distribución de Lévy estándar. De hecho, este es un caso particular de un teorema más general (véase la página  59 de ^{[ 16 ]} ) que permite considerar cualquier distribución simétrica alfa-estable de esta forma (con el parámetro alfa de la distribución de mezcla igual al doble del parámetro alfa de la distribución de mezcla, y el parámetro beta de la distribución de mezcla siempre igual a uno).

Una expresión general en forma cerrada para PDF estables con valores racionales de${\displaystyle \alpha }$está disponible en términos de funciones G de Meijer . ^{[ 17 ]} Las funciones H de Fox también pueden usarse para expresar las funciones de densidad de probabilidad estables. Para números racionales simples, la expresión en forma cerrada suele estar en términos de funciones especiales menos complicadas . Se dispone de varias expresiones en forma cerrada que tienen expresiones bastante simples en términos de funciones especiales. En la tabla siguiente, las PDF expresables por funciones elementales se indican con una E y las que se pueden expresar por funciones especiales se indican con una s . ^{[ 16 ]}

Algunos de los casos especiales se conocen con nombres particulares:

• Para${\displaystyle \alpha =1}$y${\displaystyle \beta =1}$, la distribución es una distribución de Landau ( L ) que tiene un uso específico en física bajo este nombre.
• Para${\displaystyle \alpha =3/2}$y${\displaystyle \beta =0}$La distribución se reduce a una distribución de Holtsmark con parámetro de escala c y parámetro de desplazamiento μ .

Además, en el límite cuando c se aproxima a cero o cuando α se aproxima a cero, la distribución se aproximará a una función delta de Dirac δ ( x  − μ )  .

La distribución estable puede reformularse como la parte real de una integral más simple: ^{[ 18 ]}$${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}e^{-(ct)^{\alpha }(1-i\beta \Phi )}\,dt\right].}$$

Al expresar la segunda exponencial como una serie de Taylor , se obtiene: $${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-qt^{\alpha })^{n}}{n!}}\,dt\right]}$$ dónde${\displaystyle q=c^{\alpha }(1-i\beta \Phi )}$Invirtiendo el orden de integración y suma, y ​​realizando la integración se obtiene: $${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {i}{x-\mu }}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]}$$ que será válida para x  ≠ μ y convergerá para valores apropiados de los parámetros. (Nótese que el término n = 0, que produce una función delta en x − μ , se ha omitido). Expresar la primera exponencial como una serie dará como resultado otra serie en potencias positivas de x − μ , que generalmente es menos útil.       

Para una distribución estable unilateral, la expansión en serie anterior debe modificarse, ya que${\displaystyle q=\exp(-i\alpha \pi /2)}$y${\displaystyle qi^{\alpha }=1}$. No hay una parte real que sumar. En cambio, la integral de la función característica debe realizarse en el eje negativo, lo que produce: ^{[ 19 ] [ 20 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {-i}{x}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]\\[1ex]&={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\sin(n(\alpha +1)\pi )}{n!}}\left({\frac {1}{x}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\end{aligned}}}$$

Además de las pruebas existentes para la normalidad y la posterior estimación de parámetros , McCulloch desarrolló un método general que se basa en los cuantiles y que funciona tanto para distribuciones estables simétricas como asimétricas y para el parámetro de estabilidad.${\displaystyle 0.5<\alpha \leq 2}$. ^{[ 21 ]}

No existen expresiones analíticas para la inversa.${\displaystyle F^{-1}(x)}$ni el CDF${\displaystyle F(x)}$por sí mismo, por lo que el método de inversión no puede utilizarse para generar variables distribuidas estables. ^{[ 11 ]} Otros enfoques estándar, como el método de rechazo, requerirían cálculos tediosos. Chambers, Mallows y Stuck (CMS) propusieron una solución elegante y eficiente, ^{[ 22 ]} quienes observaron que una determinada fórmula integral ^{[ 23 ]} producía el siguiente algoritmo: ^{[ 24 ]}

• generar una variable aleatoria${\displaystyle U}$distribuidos uniformemente en${\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$y una variable aleatoria exponencial independiente${\displaystyle W}$con media 1;
• para${\displaystyle \alpha \neq 1}$calcular:$${\displaystyle X=\left(1+\zeta ^{2}\right)^{\frac {1}{2\alpha }}{\frac {\sin(\alpha (U+\xi ))}{(\cos(U))^{\frac {1}{\alpha }}}}\left({\frac {\cos(U-\alpha (U+\xi ))}{W}}\right)^{\frac {1-\alpha }{\alpha }},}$$
• para${\displaystyle \alpha =1}$calcular:$${\displaystyle X={\frac {1}{\xi }}\left\{\left({\frac {\pi }{2}}+\beta U\right)\tan U-\beta \log \left({\frac {{\frac {\pi }{2}}W\cos U}{{\frac {\pi }{2}}+\beta U}}\right)\right\},}$$dónde$${\displaystyle \zeta =-\beta \tan {\frac {\pi \alpha }{2}},\qquad \xi ={\begin{cases}{\frac {1}{\alpha }}\arctan(-\zeta )&\alpha \neq 1\\{\frac {\pi }{2}}&\alpha =1\end{cases}}}$$

Este algoritmo produce una variable aleatoria.${\displaystyle X\sim S_{\alpha }(\beta ,1,0)}$Para una demostración detallada, véase ^{[ 25 ] .}

Para simular una variable aleatoria estable para todos los valores admisibles de los parámetros.${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle c}$,${\displaystyle \beta }$y${\displaystyle \mu }$utilice la siguiente propiedad: Si${\displaystyle X\sim S_{\alpha }(\beta ,1,0)}$entonces $${\displaystyle Y={\begin{cases}cX+\mu &\alpha \neq 1\\cX+\mu +{\frac {2}{\pi }}\beta c\log c&\alpha =1\end{cases}}}$$ es${\displaystyle S_{\alpha }(\beta ,c,\mu )}$. Para${\displaystyle \alpha =2}$(y${\displaystyle \beta =0}$) el método CMS se reduce a la conocida transformada de Box-Muller para generar variables aleatorias gaussianas . ^{[ 26 ]} Si bien se han propuesto otros enfoques en la literatura, incluida la aplicación de expansiones en serie de Bergström ^{[ 27 ]} y LePage ^{[ 28 ]} , el método CMS se considera el más rápido y el más preciso.

Las distribuciones estables deben su importancia tanto en la teoría como en la práctica a la generalización del teorema del límite central a variables aleatorias sin momentos de segundo (y posiblemente de primer) orden y a la autosimilitud concomitante de la familia estable. Fue la aparente desviación de la normalidad junto con la demanda de un modelo autosimilar para datos financieros (es decir, la forma de la distribución de los cambios anuales de precios de los activos debería asemejarse a la de los cambios de precios diarios o mensuales constituyentes) lo que llevó a Benoît Mandelbrot a proponer que los precios del algodón siguen una distribución alfa-estable con${\displaystyle \alpha }$igual a 1,7. ^{[ 6 ]} Las distribuciones de Lévy se encuentran frecuentemente en el análisis de comportamiento crítico y datos financieros. ^{[ 9 ] [ 29 ]}

También se encuentran en espectroscopia como una expresión general para una línea espectral ensanchada por presión cuasiestática . ^{[ 18 ]}

La distribución de Lévy de los tiempos de espera entre erupciones solares (tiempo entre erupciones) se demostró para las erupciones solares de rayos X duros del CGRO BATSE en diciembre de 2001. El análisis de la firma estadística de Lévy reveló que se evidenciaban dos firmas de memoria diferentes; una relacionada con el ciclo solar y la segunda cuyo origen parece estar asociado con un efecto localizado o una combinación de efectos localizados de la región activa solar. ^{[ 30 ]}

Se conocen varios casos de distribuciones estables expresables analíticamente. Sea la distribución estable expresada por${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )}$, entonces:

• La distribución de Cauchy viene dada por${\displaystyle f(x;1,0,1,0).}$
• La distribución de Lévy viene dada por${\displaystyle f(x;{\tfrac {1}{2}},1,1,0).}$
• La distribución normal viene dada por${\displaystyle f(x;2,0,1,0).}$
• Dejar${\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)}$sea ​​una función de Lommel , entonces: ^{[ 31 ]}$${\displaystyle f{\left(x;{\tfrac {1}{3}},0,1,0\right)}=\Re \left({\frac {2e^{-{\frac {i\pi }{4}}}}{3{\sqrt {3}}\pi }}{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}}S_{0,{\frac {1}{3}}}{\left({\frac {2e^{\frac {i\pi }{4}}}{3{\sqrt {3}}}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)}\right)}$$
• Dejar${\displaystyle S(x)}$y${\displaystyle C(x)}$Denotemos las integrales de Fresnel , entonces: ^{[ 32 ]}$${\displaystyle f{\left(x;{\tfrac {1}{2}},0,1,0\right)}=\left({\tfrac {1}{2\pi \left|x\right|^{3}}}\right)^{1/2}\left(\sin \left({\tfrac {1}{4|x|}}\right)\left[{\tfrac {1}{2}}-S{\left({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi |x|}}}\right)}\right]+\cos \left({\tfrac {1}{4|x|}}\right)\left[{\tfrac {1}{2}}-C{\left({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi |x|}}}\right)}\right]\right)}$$
• Dejar${\displaystyle K_{v}(x)}$Sea la función de Bessel modificada de segundo tipo, entonces: ^{[ 32 ]}$${\displaystyle f{\left(x;{\tfrac {1}{3}},1,1,0\right)}={\frac {2^{\frac {5}{2}}}{3^{\frac {7}{4}}\pi }}{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}}K_{\frac {1}{3}}{\left({\frac {2^{\frac {5}{2}}}{3^{\frac {9}{4}}}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)}}$$
• Dejar${\displaystyle {}_{m}F_{n}}$Denotemos las funciones hipergeométricas , entonces: ^{[ 31 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}f{\left(x;{\tfrac {4}{3}},0,1,0\right)}&={\frac {3^{\frac {5}{4}}}{2^{\frac {5}{2}}\pi ^{\frac {1}{2}}}}{\frac {\Gamma {\left({\tfrac {7}{12}}\right)}\,\Gamma {\left({\tfrac {11}{12}}\right)}}{\Gamma {\left({\tfrac {6}{12}}\right)}\,\Gamma {\left({\tfrac {8}{12}}\right)}}}\;{}_{2}F_{2}{\left({\tfrac {7}{12}},{\tfrac {11}{12}};{\tfrac {6}{12}},{\tfrac {8}{12}};{\tfrac {3^{3}x^{4}}{4^{4}}}\right)}\\[2pt]&\quad -{\frac {3^{\frac {11}{4}}x^{3}}{2^{\frac {13}{2}}\pi ^{\frac {1}{2}}}}{\frac {\Gamma {\left({\tfrac {13}{12}}\right)}\,\Gamma {\left({\tfrac {17}{12}}\right)}}{\Gamma {\left({\tfrac {18}{12}}\right)}\,\Gamma {\left({\tfrac {15}{12}}\right)}}}\;{}_{2}F_{2}{\left({\tfrac {13}{12}},{\tfrac {17}{12}};{\tfrac {18}{12}},{\tfrac {15}{12}};{\tfrac {3^{3}x^{4}}{4^{4}}}\right)}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}f{\left(x;{\tfrac {3}{2}},0,1,0\right)}&={\frac {\Gamma {\left({\tfrac {5}{3}}\right)}}{\pi }}{}_{2}F_{3}{\left({\tfrac {5}{12}},{\tfrac {11}{12}};{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {5}{6}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)}\\[2pt]&\quad -{\frac {x^{2}}{3\pi }}\,{}_{3}F_{4}{\left({\tfrac {3}{4}},1,{\tfrac {5}{4}};{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {5}{6}},{\tfrac {7}{6}},{\tfrac {4}{3}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)}\\[2pt]&\quad +{\frac {7x^{4}\Gamma {\left({\tfrac {4}{3}}\right)}}{3^{4}\pi ^{2}}}{}_{2}F_{3}{\left({\tfrac {13}{12}},{\tfrac {19}{12}};{\tfrac {7}{6}},{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {5}{3}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)}\end{aligned}}}$$siendo esta última la distribución de Holtsmark .
• Dejar${\displaystyle W_{k,\mu }(z)}$Si es una función de Whittaker , entonces: ^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}f\left(x;{\tfrac {2}{3}},0,1,0\right)&={\frac {\sqrt {3}}{6{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\tfrac {2}{27}}x^{-2}\right)W_{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\tfrac {4}{27}}x^{-2}\right)\\[8pt]f\left(x;{\tfrac {2}{3}},1,1,0\right)&={\frac {\sqrt {3}}{{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left(-{\tfrac {16}{27}}x^{-2}\right)W_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\tfrac {32}{27}}x^{-2}\right)\\[8pt]f\left(x;{\tfrac {3}{2}},1,1,0\right)&={\begin{cases}{\frac {\sqrt {3}}{{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\frac {1}{27}}x^{3}\right)W_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left(-{\frac {2}{27}}x^{3}\right)&x<0\\{}\\{\frac {\sqrt {3}}{6{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\frac {1}{27}}x^{3}\right)W_{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\frac {2}{27}}x^{3}\right)&x\geq 0\end{cases}}\end{aligned}}}$$

• Vuelo de Lévy
• Proceso de Lévy
• Otras distribuciones de "ley de potencias"
  • distribución de Pareto
  • Distribución zeta
  • Distribución Zipf
  • Distribución de Zipf-Mandelbrot
• Modelos financieros con distribuciones de cola larga y agrupamiento de volatilidad.
• Distribución estable multivariada
• Distribución discreta estable

• El programa STABLE para Windows está disponible en la página web de John Nolan dedicada a STABLE: http://www.robustanalysis.com/public/stable.html . Calcula la función de densidad (pdf), la función de distribución acumulativa (cdf) y los cuantiles para una distribución estable general, y realiza una estimación de máxima verosimilitud de los parámetros estables, así como algunas técnicas de análisis exploratorio de datos para evaluar el ajuste de un conjunto de datos.
• La biblioteca científica GNU , escrita en C, tiene un paquete llamado randist , que incluye, entre las distribuciones gaussiana y de Cauchy, también una implementación de la distribución alfa-estable de Lévy, tanto con como sin parámetro de asimetría.
• libstable es una implementación en C para las funciones de distribución estable pdf, cdf, números aleatorios, cuantiles y ajuste (junto con un paquete de replicación de referencia y un paquete de R).
• Paquete R 'stabledist' creado por Diethelm Wuertz, Martin Maechler y miembros del equipo principal de Rmetrics. Calcula la densidad estable, la probabilidad, los cuantiles y los números aleatorios.
• La implementación en Python se encuentra en scipy.stats.levy_stable dentro del paquete SciPy .
• Julia proporciona el paquete StableDistributions.jl, que incluye métodos para la generación, ajuste, densidad de probabilidad, función de distribución acumulativa, funciones generadoras de características y momentos, funciones cuantiles y relacionadas, convolución y transformaciones afines de distribuciones estables. Utiliza algoritmos modernizados y mejorados por John P. Nolan. ^{[ 10 ]}