Distribución estable multivariada

La distribución estable multivariada es una distribución de probabilidad multivariada que es una generalización multivariada de la distribución estable univariante . La distribución estable multivariada define relaciones lineales entre los valores marginales de la distribución estable . ^{[ aclaración necesaria ]} De la misma manera que para el caso univariante, la distribución se define en términos de su función característica .

La distribución estable multivariante también puede considerarse como una extensión de la distribución normal multivariante . Tiene un parámetro,  α , que se define en el rango 0 <  α  ≤ 2, y donde el caso  α  = 2 es equivalente a la distribución normal multivariante. Tiene un parámetro de asimetría adicional que permite distribuciones no simétricas, donde la distribución normal multivariante es simétrica.

Sea la esfera unitaria en . Un vector aleatorio , , tiene una distribución estable multivariada - denotada como -, si la función característica conjunta de es ^[1]${\displaystyle \mathbb {S}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\colon \mathbb {S} =\{u\in \mathbb {R} ^{d}\colon |u|=1\}}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle X\sim S(\alfa ,\Lambda ,\delta )}$${\estilo de visualización X}$

${\displaystyle \operatorname {E} \exp(iu^{T}X)=\exp \left\{-\int \limits _{s\in \mathbb {S} }\left\{|u^{T}s|^{\alpha }+i\nu (u^{T}s,\alpha )\right\}\,\Lambda (ds)+iu^{T}\delta \right\}}$

donde 0 <  α  < 2, y para${\displaystyle y\in \mathbb {R}}$

${\displaystyle \nu (y,\alpha )={\begin{cases}-\mathbf {sign} (y)\tan(\pi \alpha /2)|y|^{\alpha }&\alpha \neq 1,\\(2/\pi )y\ln |y|&\alpha =1.\end{cases}}}$

Este es esencialmente el resultado de Feldheim, ^[2] que cualquier vector aleatorio estable puede caracterizarse por una medida espectral (una medida finita en ) y un vector de desplazamiento . ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle \delta \in \mathbb {R} ^{d}}$

Otra forma de describir un vector aleatorio estable es en términos de proyecciones. Para cualquier vector , la proyección es estable univariante con cierta asimetría , escala y algún desplazamiento . La notación se utiliza si X es estable con para cada . Esto se denomina parametrización de la proyección. ${\displaystyle u}$${\displaystyle u^{T}X}$${\displaystyle \alpha -}$${\displaystyle \beta (u)}$${\displaystyle \gamma (u)}$${\displaystyle \delta (u)}$${\displaystyle X\sim S(\alpha ,\beta (\cdot ),\gamma (\cdot ),\delta (\cdot ))}$${\displaystyle u^{T}X\sim s(\alpha ,\beta (\cdot ),\gamma (\cdot ),\delta (\cdot ))}$${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{d}}$

La medida espectral determina las funciones del parámetro de proyección mediante:

${\displaystyle \gamma (u)={\Bigl (}\int _{s\in \mathbb {S} }|u^{T}s|^{\alpha }\Lambda (ds){\Bigr )}^{1/\alpha }}$

${\displaystyle \beta (u)=\int _{s\in \mathbb {S} }|u^{T}s|^{\alpha }\mathbf {sign} (u^{T}s)\Lambda (ds)/\gamma (u)^{\alpha }}$

${\displaystyle \delta (u)={\begin{cases}u^{T}\delta &\alpha \neq 1\\u^{T}\delta -\int _{s\in \mathbb {S} }{\tfrac {\pi }{2}}u^{T}s\ln |u^{T}s|\Lambda (ds)&\alpha =1\end{cases}}}$

Existen casos especiales en los que la función característica multivariante adopta una forma más simple. Defina la función característica de una marginal estable como

${\displaystyle \omega (y|\alpha ,\beta )={\begin{cases}|y|^{\alpha }\left[1-i\beta (\tan {\tfrac {\pi \alpha }{2}})\mathbf {sign} (y)\right]&\alpha \neq 1\\|y|\left[1+i\beta {\tfrac {2}{\pi }}\mathbf {sign} (y)\ln |y|\right]&\alpha =1\end{cases}}}$

La función característica es La medida espectral es continua y uniforme, lo que conduce a una simetría radial/isotrópica. ^[3] Para el caso multinormal , esto corresponde a componentes independientes, pero no es el caso cuando . La isotropía es un caso especial de elipticidad (ver el siguiente párrafo): simplemente tome como un múltiplo de la matriz identidad. ${\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp\{-\gamma _{0}^{\alpha }|u|^{\alpha }+iu^{T}\delta )\}}$${\displaystyle \alpha =2}$${\displaystyle \alpha <2}$${\displaystyle \Sigma }$

La distribución estable multivariada de contorno elíptico es un caso simétrico especial de la distribución estable multivariada. Si X es α -estable y de contorno elíptico, entonces tiene una función característica conjunta para algún vector de desplazamiento (igual a la media cuando existe) y alguna matriz definida positiva (similar a una matriz de correlación, aunque la definición habitual de correlación no es significativa). Nótese la relación con la función característica de la distribución normal multivariada : se obtiene cuando α  = 2. ${\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp\{-(u^{T}\Sigma u)^{\alpha /2}+iu^{T}\delta )\}}$${\displaystyle \delta \in R^{d}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp\{-(u^{T}\Sigma u)+iu^{T}\delta )\}}$

Las marginales son independientes con , entonces la función característica es ${\displaystyle X_{j}\sim S(\alpha ,\beta _{j},\gamma _{j},\delta _{j})}$

${\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp \left\{-\sum _{j=1}^{m}\omega (u_{j}|\alpha ,\beta _{j})\gamma _{j}^{\alpha }+iu^{T}\delta )\right\}}$

Obsérvese que cuando α  = 2 esto se reduce nuevamente a la normal multivariada; note que el caso iid y el caso isotrópico no coinciden cuando α  < 2. Los componentes independientes son un caso especial de medida espectral discreta (ver el siguiente párrafo), con la medida espectral respaldada por los vectores unitarios estándar.

Si la medida espectral es discreta con masa en la función característica es ${\displaystyle \lambda _{j}}$${\displaystyle s_{j}\in \mathbb {S} ,j=1,\ldots ,m}$

${\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp \left\{-\sum _{j=1}^{m}\omega (u^{T}s_{j}|\alpha ,1)\lambda _{j}^{\alpha }+iu^{T}\delta )\right\}}$

Si es d -dimensional, A es una matriz m x d , y entonces AX + b es m -dimensional -estable con función de escala, función de asimetría y función de ubicación${\displaystyle X\sim S(\alpha ,\beta (\cdot ),\gamma (\cdot ),\delta (\cdot ))}$${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{m},}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \gamma (A^{T}\cdot ),}$${\displaystyle \beta (A^{T}\cdot ),}$${\displaystyle \delta (A^{T}\cdot )+b^{T}.}$

Recientemente ^[4] se demostró cómo calcular la inferencia en forma cerrada en un modelo lineal (o equivalentemente un modelo de análisis factorial ), que involucra modelos de componentes independientes.

Más específicamente, sea un conjunto de iid univariados no observados extraídos de una distribución estable . Dada una matriz de relación lineal conocida A de tamaño , se supone que las observaciones se distribuyen como una convolución de los factores ocultos . . La tarea de inferencia es calcular el más probable , dada la matriz de relación lineal A y las observaciones . Esta tarea se puede calcular en forma cerrada en O( n ³ ). ${\displaystyle X_{i}\sim S(\alpha ,\beta _{x_{i}},\gamma _{x_{i}},\delta _{x_{i}}),i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle Y_{i}=\sum _{i=1}^{n}A_{ij}X_{j}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle Y_{i}=S(\alpha ,\beta _{y_{i}},\gamma _{y_{i}},\delta _{y_{i}})}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle Y_{i}}$

Una aplicación para esta construcción es la detección multiusuario con ruido estable y no gaussiano.

• Distribución de Cauchy multivariante
• Distribución normal multivariante

• Distribución estable del paquete Matlab de Mark Veillette http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/37514
• Los gráficos de esta página se trazaron utilizando la inferencia de Danny Bickson en el paquete Matlab del modelo lineal estable: https://www.cs.cmu.edu/~bickson/stable