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En geometría , un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números , o coordenadas , para determinar y estandarizar de forma unívoca la posición de los puntos u otros elementos geométricos en una variedad , como el espacio euclidiano . [ 1 ] [ 2 ] Las coordenadas no son intercambiables; se distinguen comúnmente por su posición en una tupla ordenada o por una etiqueta, como en "la coordenada x ". En matemáticas elementales , las coordenadas se consideran números reales , pero pueden ser números complejos o elementos de un sistema más abstracto, como un anillo conmutativo . El uso de un sistema de coordenadas permite traducir problemas de geometría en problemas sobre números y viceversa ; esta es la base de la geometría analítica . [ 3 ]
Sistemas de coordenadas comunes
Línea numérica
El ejemplo más sencillo de un sistema de coordenadas unidimensional es la identificación de puntos en una recta con números reales mediante la recta numérica . En este sistema, se elige un punto arbitrario O (el origen ) en una recta dada. La coordenada de un punto P se define como la distancia con signo desde O hasta P , donde la distancia con signo se considera positiva o negativa según el lado de la recta en el que se encuentre P. A cada punto se le asigna una coordenada única y cada número real es la coordenada de un punto único. [ 4 ]
sistema de coordenadas cartesianas
El ejemplo prototípico de un sistema de coordenadas es el sistema de coordenadas cartesianas . En el plano , se eligen dos líneas perpendiculares y las coordenadas de un punto se toman como las distancias con signo a dichas líneas. [ 5 ] En tres dimensiones, se eligen tres planos mutuamente ortogonales y las tres coordenadas de un punto son las distancias con signo a cada uno de los planos. [ 6 ] Esto se puede generalizar para crear n coordenadas para cualquier punto en el espacio euclidiano n -dimensional.
Dependiendo de la dirección y el orden de los ejes de coordenadas , el sistema tridimensional puede ser diestro o zurdo.
Sistema de coordenadas polares
Otro sistema de coordenadas común para el plano es el sistema de coordenadas polares . [ 7 ] Se elige un punto como polo y se toma un rayo desde este punto como eje polar . Para un ángulo θ dado , hay una única línea que pasa por el polo cuyo ángulo con el eje polar es θ (medido en sentido antihorario desde el eje hasta la línea). Entonces hay un único punto en esta línea cuya distancia con signo desde el origen es r para un número r dado . Para un par de coordenadas dado ( r , θ ) hay un solo punto, pero cualquier punto está representado por muchos pares de coordenadas. Por ejemplo, ( r , θ ), ( r , θ +2 π ) y (− r , θ + π ) son todas coordenadas polares para el mismo punto. El polo está representado por (0, θ ) para cualquier valor de θ .
Sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas
Existen dos métodos comunes para extender el sistema de coordenadas polares a tres dimensiones. En el sistema de coordenadas cilíndricas , se añade una coordenada z con el mismo significado que en las coordenadas cartesianas a las coordenadas polares r y θ, dando como resultado una terna ( r , θ , z ). [ 8 ] Las coordenadas esféricas van un paso más allá al convertir el par de coordenadas cilíndricas ( r , z ) en coordenadas polares ( ρ , φ ), dando como resultado una terna ( ρ , θ , φ ). [ 9 ]
Sistema de coordenadas homogéneo
Un punto en el plano puede representarse en coordenadas homogéneas mediante una terna ( x , y , z ), donde x / z e y / z son las coordenadas cartesianas del punto. [ 10 ] Esto introduce una coordenada "extra", ya que solo se necesitan dos para especificar un punto en el plano, pero este sistema es útil porque representa cualquier punto en el plano proyectivo sin usar el infinito . En general, un sistema de coordenadas homogéneas es aquel en el que solo las razones de las coordenadas son significativas y no los valores reales.
Otros sistemas de uso común
Otros sistemas de coordenadas comunes son los siguientes:
- Las coordenadas curvilíneas son una generalización de los sistemas de coordenadas en general; el sistema se basa en la intersección de curvas.
- Coordenadas ortogonales : las superficies de coordenadas se intersecan en ángulo recto.
- Coordenadas sesgadas : las superficies de coordenadas no son ortogonales.
- El sistema de coordenadas logarítmico-polares representa un punto en el plano mediante el logaritmo de la distancia desde el origen y un ángulo medido desde una línea de referencia que interseca el origen.
- Las coordenadas de Plücker son una forma de representar líneas en el espacio euclidiano 3D utilizando una séxtupla de números como coordenadas homogéneas .
- En el tratamiento lagrangiano de la mecánica se utilizan coordenadas generalizadas .
- En el tratamiento hamiltoniano de la mecánica se utilizan coordenadas canónicas .
- Sistema de coordenadas baricéntricas utilizado para diagramas ternarios y, más generalmente, en el análisis de triángulos .
- Las coordenadas trilineales se utilizan en el contexto de los triángulos.
Existen formas de describir curvas sin coordenadas, utilizando ecuaciones intrínsecas que emplean cantidades invariantes como la curvatura y la longitud de arco . Estas incluyen:
- La ecuación de Whewell relaciona la longitud del arco y el ángulo tangencial .
- La ecuación de Cesàro relaciona la longitud del arco con la curvatura.
Coordenadas de objetos geométricos
Los sistemas de coordenadas se utilizan a menudo para especificar la posición de un punto, pero también pueden emplearse para especificar la posición de figuras más complejas como líneas, planos, círculos o esferas . Por ejemplo, las coordenadas de Plücker se utilizan para determinar la posición de una línea en el espacio. [ 11 ] Cuando es necesario, el tipo de figura que se describe se utiliza para distinguir el tipo de sistema de coordenadas; por ejemplo, el término coordenadas de línea se utiliza para cualquier sistema de coordenadas que especifique la posición de una línea.
Puede ocurrir que los sistemas de coordenadas de dos conjuntos diferentes de figuras geométricas sean equivalentes en términos de su análisis. Un ejemplo de ello son los sistemas de coordenadas homogéneas para puntos y líneas en el plano proyectivo. En tal caso, se dice que los dos sistemas son duales . Los sistemas duales tienen la propiedad de que los resultados de un sistema pueden transferirse al otro, ya que estos resultados son solo interpretaciones diferentes del mismo resultado analítico; esto se conoce como el principio de dualidad . [ 12 ]
Transformaciones
A menudo existen muchos sistemas de coordenadas diferentes para describir figuras geométricas. La relación entre los distintos sistemas se describe mediante transformaciones de coordenadas , que proporcionan fórmulas para las coordenadas de un sistema en función de las coordenadas de otro. Por ejemplo, en el plano, si las coordenadas cartesianas ( x , y ) y las coordenadas polares ( r , θ ) tienen el mismo origen, y el eje polar es el eje x positivo , entonces la transformación de coordenadas de polares a cartesianas viene dada por x = r cos θ e y = r sin θ .
A cada biyección del espacio sobre sí mismo se le pueden asociar dos transformaciones de coordenadas:
- De tal manera que las nuevas coordenadas de la imagen de cada punto sean las mismas que las antiguas coordenadas del punto original (las fórmulas para el mapeo son las inversas de las de la transformación de coordenadas).
- De tal manera que las coordenadas antiguas de la imagen de cada punto sean las mismas que las nuevas coordenadas del punto original (las fórmulas para el mapeo son las mismas que las de la transformación de coordenadas).
Por ejemplo, en 1D , si la transformación es una traslación de 3 a la derecha, la primera mueve el origen de 0 a 3, de modo que la coordenada de cada punto se vuelve 3 menos, mientras que la segunda mueve el origen de 0 a −3, de modo que la coordenada de cada punto se vuelve 3 más.
Líneas/curvas de coordenadas
Dado un sistema de coordenadas, si una de las coordenadas de un punto varía mientras que las demás se mantienen constantes, la curva resultante se denomina curva de coordenadas . Si una curva de coordenadas es una línea recta , se denomina línea de coordenadas . Un sistema de coordenadas en el que algunas curvas de coordenadas no son líneas se denomina sistema de coordenadas curvilíneas . [ 13 ] Las coordenadas ortogonales son un caso especial, pero extremadamente común, de coordenadas curvilíneas.
Una línea de coordenadas con todas las demás coordenadas constantes iguales a cero se denomina eje de coordenadas , una línea orientada que se utiliza para asignar coordenadas. En un sistema de coordenadas cartesianas , todas las curvas de coordenadas son líneas y, por lo tanto, hay tantos ejes de coordenadas como coordenadas. Además, los ejes de coordenadas son ortogonales entre sí .
Un sistema de coordenadas polares es un sistema curvilíneo donde las curvas de coordenadas son líneas o círculos . Sin embargo, una de las curvas se reduce a un único punto, el origen, que suele representarse como un círculo de radio cero. De manera similar, los sistemas de coordenadas esféricas y cilíndricas tienen curvas de coordenadas que son líneas, círculos o círculos de radio cero.
Muchas curvas pueden aparecer como curvas de coordenadas. Por ejemplo, las curvas de coordenadas parabólicas son parábolas .
Planos/superficies de coordenadas
En el espacio tridimensional, si una coordenada se mantiene constante y las otras dos varían, la superficie resultante se denomina superficie de coordenadas . Por ejemplo, las superficies de coordenadas obtenidas al mantener ρ constante en el sistema de coordenadas esféricas son las esferas con centro en el origen. En el espacio tridimensional, la intersección de dos superficies de coordenadas es una curva de coordenadas. En el sistema de coordenadas cartesianas, podemos hablar de planos de coordenadas . De manera similar, las hipersuperficies de coordenadas son los espacios ( n -1) -dimensionales que resultan de fijar una única coordenada de un sistema de coordenadas n -dimensional. [ 14 ]
Mapas de coordenadas
El concepto de mapa de coordenadas , o carta de coordenadas, es fundamental en la teoría de las variedades. Un mapa de coordenadas es esencialmente un sistema de coordenadas para un subconjunto de un espacio dado, con la propiedad de que cada punto tiene exactamente un conjunto de coordenadas. Más precisamente, un mapa de coordenadas es un homeomorfismo de un subconjunto abierto de un espacio X a un subconjunto abierto de R n . [ 15 ] A menudo no es posible proporcionar un sistema de coordenadas consistente para todo un espacio. En este caso, se combina una colección de mapas de coordenadas para formar un atlas que cubra el espacio. Un espacio equipado con dicho atlas se denomina variedad , y se puede definir una estructura adicional en una variedad si la estructura es consistente donde los mapas de coordenadas se superponen. Por ejemplo, una variedad diferenciable es una variedad donde el cambio de coordenadas de un mapa de coordenadas a otro es siempre una función diferenciable.
Coordenadas basadas en la orientación
En geometría y cinemática , los sistemas de coordenadas se utilizan para describir la posición (lineal) de los puntos y la posición angular de ejes, planos y cuerpos rígidos . [ 16 ] En este último caso, la orientación de un segundo sistema de coordenadas (generalmente denominado "local"), fijo al nodo, se define en función del primero (generalmente denominado sistema de coordenadas "global" o "mundial"). Por ejemplo, la orientación de un cuerpo rígido puede representarse mediante una matriz de orientación , que incluye, en sus tres columnas, las coordenadas cartesianas de tres puntos. Estos puntos se utilizan para definir la orientación de los ejes del sistema local; son los extremos de tres vectores unitarios alineados con dichos ejes.
Sistemas geográficos
La Tierra en su conjunto es uno de los espacios geométricos más comunes que requieren la medición precisa de la ubicación y, por lo tanto, sistemas de coordenadas. Desde los griegos del período helenístico , se han desarrollado diversos sistemas de coordenadas basados en los tipos mencionados anteriormente, entre los que se incluyen:
- Sistema de coordenadas geográficas , las coordenadas esféricas de latitud y longitud.
- Sistemas de coordenadas proyectadas , que incluyen miles de sistemas de coordenadas cartesianas , cada uno basado en una proyección cartográfica para crear una superficie plana del mundo o de una región.
- El sistema de coordenadas geocéntricas es un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional que modela la Tierra como un objeto y se utiliza comúnmente para modelar las órbitas de los satélites , incluido el Sistema de Posicionamiento Global y otros sistemas de navegación por satélite .
Véase también
- Momento angular absoluto
- Cuadrícula alfanumérica
- Convenciones de ejes en ingeniería
- sistema de coordenadas celestes
- Marco de coordenadas
- Sin coordenadas
- Coordenadas fraccionarias
- Marco de referencia
- transformación galileana
- Referencia de cuadrícula
- Nomograma , representaciones gráficas de diferentes sistemas de coordenadas
- Sistema de referencia
- Rotación de ejes
- Traslación de ejes
Sistemas de coordenadas relativistas
Referencias
Citas
- ↑ Woods pág. 1
- ↑ Weisstein, Eric W. "Sistema de coordenadas" . MathWorld .
- ↑ Weisstein, Eric W. "Coordenadas" . MathWorld .
- ↑ Stewart, James B .; Redlin, Lothar; Watson, Saleem (2008). Álgebra universitaria (5.ª ed.). Brooks Cole . págs. 13–19 . ISBN 978-0-495-56521-5.
- ↑ Anton, Howard; Bivens, Irl C.; Davis, Stephen (2021). Cálculo: Multivariable . John Wiley & Sons . pág. 657. ISBN 978-1-119-77798-4.
- ↑ Moon P, Spencer DE (1988). "Coordenadas rectangulares (x, y, z)". Manual de teoría de campos, incluyendo sistemas de coordenadas, ecuaciones diferenciales y sus soluciones (2.ª y 3.ª edición corregida ). Nueva York: Springer-Verlag. págs. 9-11 (Tabla 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2.
- ↑ Finney, Ross; George Thomas; Franklin Demana; Bert Waits (junio de 1994). Cálculo: gráfico, numérico y algebraico (edición de una sola variable ). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-55478-X.
- ↑ Margenau, Henry ; Murphy, George M. (1956). Las matemáticas de la física y la química . Ciudad de Nueva York: D. van Nostrand. pág . 178. LCCN 55010911. OCLC 3017486 .
- ↑ Morse, PM ; Feshbach, H (1953). Métodos de física teórica, parte I. Nueva York: McGraw-Hill. pág. 658. LCCN 52011515 .
- ↑ Jones, Alfred Clement (1912). Introducción a la geometría algebraica . Clarendon.
- ↑ Hodge, WVD ; D. Pedoe (1994) [1947]. Métodos de geometría algebraica, Volumen I (Libro II) . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-46900-5.
- ↑ Woods pág. 2
- ↑ Tang, KT (2006). Métodos matemáticos para ingenieros y científicos . Vol. 2. Springer. pág. 13. ISBN 3-540-30268-9.
- ↑ Liseikin, Vladimir D. (2007). Un enfoque de geometría diferencial computacional para la generación de mallas . Springer. pág. 38. ISBN 978-3-540-34235-9.
- ↑ Munkres, James R. (2000) Topología . Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
- ↑ Hanspeter Schaub ; John L. Junkins (2003). «Cinemática de cuerpos rígidos» . Mecánica analítica de sistemas espaciales . Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica. pág. 71. ISBN 1-56347-563-4.
Fuentes
- Voitsekhovskii, MI; Ivanov, AB (2001) [1994], "Coordenadas" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Woods, Frederick S. (1922). Geometría superior . Ginn and Co. págs. 1 y ss.
- Shigeyuki Morita; Teruko Nagase; Katsumi Nomizu (2001). Geometría de Formas Diferenciales . Librería AMS. pag. 12.ISBN 0-8218-1045-6.
Enlaces externos
- Sistemas de coordenadas hexagonales
- Sistemas de coordenadas
- Geometría analítica
