Coordenadas fraccionarias

{\displaystyle \mathbf {a} _{1}} — Una celda unitaria en 3 dimensiones (mostrada con líneas discontinuas) definida por los tres vectores base de la red. $\mathbf {a} _{1}$ , $\mathbf {a} _{2}$ , y $\mathbf {a} _{3}$ mostrado dentro de un sistema de coordenadas cartesianas.

En cristalografía , un sistema de coordenadas fraccionarias (sistema de coordenadas cristalinas) es un sistema de coordenadas en el que los vectores base utilizados para describir el espacio son los vectores de la red de un patrón cristalino (periódico). La selección de un origen y una base define una celda unitaria, un paralelepípedo (es decir, una generalización de un paralelogramo (2D) o un paralelepípedo (3D) en dimensiones superiores) definido por los vectores base de la red. $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\dots,\mathbf {a} _{d}$ dónde $d$ es la dimensión del espacio. Estos vectores base se describen mediante parámetros de red (constantes de red) que consisten en las longitudes de los vectores base de la red. $a_{1},a_{2},\dots ,a_{d}$ y los ángulos entre ellos $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{\frac {d(d-1)}{2}}$ .

La mayoría de los casos en cristalografía involucran espacios bidimensionales o tridimensionales. En el caso tridimensional, los vectores base $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}$ se muestran comúnmente como $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$ con sus longitudes indicadas por $a,b,c$ respectivamente, y los ángulos denotados por $\alpha ,\beta ,\gamma$ , donde convencionalmente, $\alpha$ es el ángulo entre $\mathbf {b}$ y $\mathbf {c}$ , $\beta$ es el ángulo entre $\mathbf {c}$ y $\mathbf {a}$ , y $\gamma$ es el ángulo entre $\mathbf {a}$ y $\mathbf {b}$ .

Estructura cristalina

Una estructura cristalina se define como la distribución espacial de los átomos dentro de un cristal, generalmente modelada mediante la idea de un patrón cristalino infinito . Un patrón cristalino infinito se refiere a la red periódica tridimensional infinita que corresponde a un cristal, en la cual las longitudes de las periodicidades de la red no pueden hacerse arbitrariamente pequeñas. El desplazamiento geométrico que hace que una estructura cristalina coincida consigo misma se denomina traslación de simetría (traslación) de la estructura cristalina. El vector relacionado con este desplazamiento se llama vector de traslación. $\mathbf {t}$ . Dado que un patrón cristalino es periódico, todas las combinaciones lineales enteras de vectores de traslación son también vectores de traslación, ^{[ 1 ]}

$\mathbf {t} =c_{1}\mathbf {t} _{1}+c_{2}\mathbf {t} _{2}{\text{ donde }}c_{1},c_{2}\in \mathbb {Z}$

Enrejado

La red vectorial (red) $\mathbf {T}$ Se define como el conjunto infinito formado por todos los vectores de traslación de un patrón cristalino. Cada uno de los vectores de la red vectorial se denomina vector de red . A partir de la red vectorial es posible construir una red de puntos . Esto se hace seleccionando un origen. $X_{0}$ con vector de posición $\mathbf {x} _{0}$ Los puntos finales $X_{i}$ de cada uno de los vectores $\mathbf {x} _{i}=\mathbf {x} _{0}+\mathbf {t} _{i}$ conforman la red de puntos de $X_{0}$ y $\mathbf {T}$ Cada punto en una red de puntos tiene periodicidad, es decir, cada punto es idéntico y tiene el mismo entorno. Existe un número infinito de redes de puntos para una red vectorial dada, independientemente de su origen. $X_{0}$ Se pueden elegir y emparejar con los vectores de la red vectorial. Los puntos o partículas que coinciden entre sí mediante una traslación se denominan equivalentes de traslación . ^{[ 1 ]}

Sistemas de coordenadas

Sistemas de coordenadas generales

Por lo general, al describir un espacio geométricamente, se utiliza un sistema de coordenadas que consiste en la elección de un origen y una base de coordenadas. $d$ vectores base linealmente independientes y no coplanares $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\dots,\mathbf {a} _{d}$ , dónde $d$ es la dimensión del espacio que se describe. Con referencia a este sistema de coordenadas, cada punto del espacio puede especificarse mediante $d$ coordenadas (una coordenada $d$ -tupla). El origen tiene coordenadas $(0,0,\dots ,0)$ y un punto arbitrario tiene coordenadas $(x_{1},x_{2},...,x_{d})$ . El vector de posición ${\vec {OP}}$ es entonces,

${\vec {OP}}=\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{d}x_{i}\mathbf {a} _{i}$

En $d$ -dimensiones, las longitudes de los vectores base se denotan $a_{1},a_{2},\dots ,a_{d}$ y los ángulos entre ellos $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{\frac {d(d-1)}{2}}$ Sin embargo, la mayoría de los casos en cristalografía involucran un espacio bidimensional o tridimensional en el que los vectores base $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}$ se muestran comúnmente como $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$ con sus longitudes y ángulos denotados por $a,b,c$ y $\alpha ,\beta ,\gamma$ respectivamente.

sistema de coordenadas cartesianas

Un sistema de coordenadas ampliamente utilizado es el sistema de coordenadas cartesianas , que consta de vectores base ortonormales . Esto significa que,

$a_{1}=|\mathbf {a} _{1}|=a_{2}=|\mathbf {a} _{2}|=\dots =a_{d}=|\mathbf {a} _{d}|=1$ y $\alpha _{1}=\alpha _{2}=\dots =\alpha _{\frac {d(d-1)}{2}}=90^{\circ }$

Sin embargo, al describir objetos con estructura cristalina o periódica, un sistema de coordenadas cartesianas a menudo no es el más útil, ya que no suele reflejar la simetría de la red de la manera más sencilla. ^{[ 1 ]}

Sistema de coordenadas fraccionarias (cristalinas)

En cristalografía , se utiliza un sistema de coordenadas fraccionarias para reflejar mejor la simetría de la red subyacente de un patrón cristalino (o cualquier otro patrón periódico en el espacio). En un sistema de coordenadas fraccionarias, los vectores base del sistema de coordenadas se eligen como vectores de la red, y la base se denomina entonces base cristalográfica (o base de red ).

En una base reticular, cualquier vector reticular $\mathbf {t}$ se puede representar como,

$\mathbf {t} =\sum _{i=1}^{d}c_{i}\mathbf {a} _{i}{\text{ donde }}c_{i}\in \mathbb {Q}$

Existe un número infinito de bases reticulares para un patrón cristalino. Sin embargo, estas pueden elegirse de tal manera que se obtenga la descripción más simple del patrón. Estas bases se utilizan en el Volumen A de las Tablas Internacionales de Cristalografía y se denominan bases convencionales . Una base reticular $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},...,\mathbf {a} _{d}$ Se denomina primitivo si los vectores base son vectores de red y todos los vectores de red. $\mathbf {t}$ se puede expresar como,

$\mathbf {t} =\sum _{i=1}^{d}c_{i}\mathbf {a} _{i}{\text{ where }}c_{i}\in \mathbb {Z}$

Sin embargo, la base convencional para un patrón cristalino no siempre se elige como primitiva. En cambio, se elige de manera que se maximice el número de vectores base ortogonales. Esto da como resultado que algunos de los coeficientes de las ecuaciones anteriores sean fraccionarios. Una red en la que la base convencional es primitiva se denomina red primitiva , mientras que una red con una base convencional no primitiva se denomina red centrada .

La elección de un origen y una base implica la elección de una celda unitaria que puede usarse además para describir un patrón cristalino. La celda unitaria se define como el paralelepípedo (es decir, generalización de un paralelogramo (2D) o paralelepípedo (3D) en dimensiones superiores) en el que las coordenadas de todos los puntos son tales que, $0\leq x_{1},x_{2},\dots ,x_{d}<1$ .

Además, los puntos fuera de la celda unitaria pueden transformarse dentro de la celda unitaria mediante la estandarización , la suma o resta de números enteros a las coordenadas de los puntos para garantizar $0\leq x_{1},x_{2},\dots ,x_{d}<1$ En un sistema de coordenadas fraccionarias, las longitudes de los vectores base $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},...,\mathbf {a} _{d}$ y los ángulos entre ellos $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{\frac {d(d-1)}{2}}$ Se denominan parámetros de red (constantes de red) de la red. En dos y tres dimensiones, estos corresponden a las longitudes y ángulos entre las aristas de la celda unitaria. ^{[ 1 ]}

Las coordenadas fraccionarias de un punto en el espacio $\rho =(\rho _{x_{1}},\rho _{x_{2}},\dots ,\rho _{x_{d}})$ en términos de los vectores base de la red se define como,

$\rho =\rho _{x_{1}}\mathbf {a} _{1}+\rho _{x_{2}}\mathbf {a} _{2}+\dots +\rho _{x_{d}}\mathbf {a} _{d}{\text{ where }}\rho \in [0,1)$

Cálculos que involucran la celda unitaria

Transformaciones generales entre coordenadas fraccionarias y cartesianas

Tres dimensiones

La relación entre coordenadas fraccionarias y cartesianas se puede describir mediante la transformación matricial. $\mathbf {r} =\mathbf {A} {\boldsymbol {\rho }}$ . Alquiler $s_{1}=\sin \alpha _{1}$ , $s_{2}=\sin \alpha _{2}$ , $s_{3}=\sin \alpha _{3}$ , $c_{1}=\cos \alpha _{1}$ , $c_{2}=\cos \alpha _{2}$ y $c_{3}=\cos \alpha _{3}$ : ^[²^]

${\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\\r_{x_{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}s_{1}^{-1}{\sqrt {(s_{1}s_{2})^{2}-(c_{3}-c_{1}c_{2})^{2}}}&0&0\\a_{1}s_{1}^{-1}(c_{3}-c_{1}c_{2})&a_{2}s_{1}&0\\a_{1}c_{2}&a_{2}c_{1}&a_{3}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\\\rho _{x_{3}}\end{pmatrix}}$

De manera similar, las coordenadas cartesianas se pueden convertir de nuevo a coordenadas fraccionarias utilizando la transformación matricial. ${\boldsymbol {\rho }}=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {r}$ : ^{[ 2 ]}

${\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\\\rho _{x_{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\dfrac {1}{a_{1}s_{1}^{-1}{\sqrt {(s_{1}s_{2})^{2}-(c_{3}-c_{1}c_{2})^{2}}}}}&0&0\\{\dfrac {c_{1}c_{2}-c_{3}}{a_{2}s_{1}^{-1}{\sqrt {(s_{1}s_{2})^{2}-(c_{3}-c_{1}c_{2})^{2}}}}}&{\dfrac {1}{a_{2}s_{1}}}&0\\{\dfrac {c_{1}c_{3}-c_{2}}{a_{3}s_{1}{\sqrt {(s_{1}s_{2})^{2}-(c_{3}-c_{1}c_{2})^{2}}}}}&-{\dfrac {c_{1}}{a_{3}s_{1}}}&{\dfrac {1}{a_{3}}}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\\r_{x_{3}}\end{pmatrix}}$

Transformaciones mediante el tensor de celda

Otro método común para convertir entre coordenadas fraccionarias y cartesianas implica el uso de un tensor de celda. $\mathbf {h}$ que contiene cada uno de los vectores base del espacio expresados en coordenadas cartesianas .

Dos dimensiones

tensor celular

En coordenadas cartesianas , los 2 vectores base están representados por un $2\times 2$ tensor celular $\mathbf {h}$ : ^{[ 3 ]}

$\mathbf {h} ={\begin{pmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}\end{pmatrix}}$

El área de la celda unitaria , $A$ , viene dado por el determinante de la matriz celular :

$A=\det(\mathbf {h} )=a_{1,x_{1}}a_{2,x_{2}}-a_{1,x_{2}}a_{2,x_{2}}$

Para el caso especial de una celda unitaria cuadrada o rectangular , la matriz es diagonal y tenemos que:

$A=\det(\mathbf {h} )=a_{1,x_{1}}a_{2,x_{2}}$

Relación entre coordenadas fraccionarias y cartesianas

La relación entre coordenadas fraccionarias y cartesianas se puede describir mediante la transformación matricial. $\mathbf {r} =\mathbf {h} {\boldsymbol {\rho }}$ : ^{[ 3 ]}

${\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\end{pmatrix}}$

De manera similar, las coordenadas cartesianas se pueden convertir de nuevo a coordenadas fraccionarias utilizando la transformación matricial. ${\boldsymbol {\rho }}=\mathbf {h} ^{-1}\mathbf {r}$ : ^{[ 3 ]}

${\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\end{pmatrix}}$

Tres dimensiones

tensor celular

En coordenadas cartesianas , los 3 vectores base están representados por un $3\times 3$ tensor celular $\mathbf {h}$ : ^{[ 3 ]}

$\mathbf {h} ={\begin{pmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{3}\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}&a_{1,x_{3}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}&a_{2,x_{3}}\\a_{3,x_{1}}&a_{3,x_{2}}&a_{3,x_{3}}\end{pmatrix}}$

El volumen de la celda unitaria , $V$ , viene dado por el determinante del tensor de celda :

$V=\det(\mathbf {h} )=a_{1,x_{1}}(a_{2,x_{2}}a_{3,x_{3}}-a_{2,x_{3}}a_{3,x_{2}})-a_{1,x_{2}}(a_{2,x_{1}}a_{3,x_{3}}-a_{2,x_{3}}a_{3,x_{1}})-a_{1,x_{3}}(a_{2,x_{1}}a_{3,x_{2}}-a_{2,x_{2}}a_{3,x_{1}})$

Para el caso especial de una celda cúbica, tetragonal u ortorrómbica, la matriz es diagonal y tenemos que:

$V=\det(\mathbf {h} )=a_{1,x_{1}}a_{2,x_{2}}a_{3,x_{3}}$

Relación entre coordenadas fraccionarias y cartesianas

La relación entre coordenadas fraccionarias y cartesianas se puede describir mediante la transformación matricial. $\mathbf {r} =\mathbf {h} {\boldsymbol {\rho }}$ : ^{[ 3 ]}

${\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\\r_{x_{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}&a_{1,x_{3}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}&a_{2,x_{3}}\\a_{d,x_{1}}&a_{d,x_{2}}&a_{d,x_{d}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\\\rho _{x_{3}}\end{pmatrix}}$

De manera similar, las coordenadas cartesianas se pueden convertir de nuevo a coordenadas fraccionarias utilizando la transformación matricial. ${\boldsymbol {\rho }}=\mathbf {h} ^{-1}\mathbf {r}$ : ^{[ 3 ]}

${\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\\\rho _{x_{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}&a_{1,x_{3}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}&a_{2,x_{3}}\\a_{d,x_{1}}&a_{d,x_{2}}&a_{d,x_{d}}\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\\r_{x_{3}}\end{pmatrix}}$

Número arbitrario de dimensiones

tensor celular

En coordenadas cartesianas el $d$ Los vectores base están representados por un $d\times d$ tensor celular $\mathbf {h}$ : ^{[ 3 ]}

$\mathbf {h} ={\begin{pmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\dots &\mathbf {a} _{d}\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}&\dots &a_{1,x_{d}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}&\dots &a_{2,x_{d}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{d,x_{1}}&a_{d,x_{2}}&\dots &a_{d,x_{d}}\end{pmatrix}}$

El hipervolumen de la celda unitaria , $V$ , viene dado por el determinante del tensor de celda :

$V=\det(\mathbf {h} )$

Relación entre coordenadas fraccionarias y cartesianas

La relación entre coordenadas fraccionarias y cartesianas se puede describir mediante la transformación matricial. $\mathbf {r} =\mathbf {h} {\boldsymbol {\rho }}$ : ^{[ 3 ]}

${\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\\\vdots \\r_{x_{d}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}&\dots &a_{1,x_{d}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}&\dots &a_{2,x_{d}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{d,x_{1}}&a_{d,x_{2}}&\dots &a_{d,x_{d}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\\\vdots \\\rho _{x_{d}}\end{pmatrix}}$

De manera similar, las coordenadas cartesianas se pueden convertir de nuevo a coordenadas fraccionarias utilizando la transformación ${\boldsymbol {\rho }}=\mathbf {h} ^{-1}\mathbf {r}$ : ^{[ 3 ]}

${\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\\\vdots \\\rho _{x_{d}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}&\dots &a_{1,x_{d}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}&\dots &a_{2,x_{d}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{d,x_{1}}&a_{d,x_{2}}&\dots &a_{d,x_{d}}\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\\\vdots \\r_{x_{d}}\end{pmatrix}}$

Determinación de las propiedades celulares en dos y tres dimensiones utilizando el tensor métrico.

El tensor métrico $\mathbf {G}$ a veces se utiliza para cálculos que involucran la celda unitaria y se define (en forma matricial) como: ^{[ 1 ]}

En dos dimensiones,

$\mathbf {G} ={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{2}\\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}^{2}&a_{1}a_{2}\cos(\alpha _{1})\\a_{1}a_{2}\cos(\alpha _{1})&a_{2}^{2}\end{pmatrix}}$

En tres dimensiones,

$\mathbf {G} ={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{21}&g_{22}&g_{23}\\g_{31}&g_{32}&g_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{3}\\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{3}\\\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {a} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}^{2}&a_{1}a_{2}\cos(\alpha _{3})&a_{1}a_{3}\cos(\alpha _{2})\\a_{1}a_{2}\cos(\alpha _{3})&a_{2}^{2}&a_{2}a_{3}\cos(\alpha _{1})\\a_{1}a_{3}\cos(\alpha _{2})&a_{2}a_{3}\cos(\alpha _{1})&a_{3}^{2}\end{pmatrix}}$

La distancia entre dos puntos $Q$ y $R$ en la celda unitaria se puede determinar a partir de la relación: ^{[ 1 ]}

$d_{qr}^{2}=\sum _{i,j}g_{ij}(r_{i}-q_{i})(r_{j}-q_{j})$

La distancia desde el origen de la celda unitaria hasta un punto $Q$ dentro de la celda unitaria se puede determinar a partir de la relación: ^{[ 1 ]}

$OQ=r_{q};r_{q}^{2}=\sum _{i,j}g_{ij}q_{i}q_{j}$

El ángulo formado por tres puntos $Q$ , $P$ (ápice) y $R$ dentro de la celda unitaria se puede determinar a partir de la relación: ^{[ 1 ]}

$\cos(QPR)=(r_{pq})^{-1}(r_{pr})^{-1}\sum _{i,j}g_{ij}(q_{i}-p_{i})(r_{j}-p_{j})$

El volumen de la celda unitaria, $V$ se puede determinar a partir de la relación: ^{[ 1 ]}

$V^{2}=\det(\mathbf {G} )$

Relación entre distancias atómicas, parámetros de red y coordenadas atómicas fraccionarias.

La siguiente fórmula ^{[ 4 ]} se puede utilizar para calcular la distancia. $d$ entre dos átomos a partir de los parámetros de la red y las coordenadas atómicas:

$d={\sqrt {(a\Delta x)^{2}+(b\Delta y)^{2}+(c\Delta z)^{2}+2bc\Delta y\Delta z\cos \alpha +2ac\Delta x\Delta z\cos \beta +2ab\Delta x\Delta y\cos \gamma }}$

dónde $\Delta x$ , $\Delta y$ y $\Delta z$ son las diferencias entre las coordenadas de los dos átomos. El ángulo $\omega$ en el átomo 2 en un grupo de tres átomos 1, 2 y 3 se puede calcular a partir de las tres distancias $d_{12}$ , $d_{23}$ y $d_{13}$ entre ellos según la fórmula del coseno:

$\cos \omega =-{\sqrt {\frac {d_{13}^{2}-d_{12}^{2}-d_{23}^{2}}{2d_{12}d_{23}}}}$

Referencias

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Müller, Ulrich, 6 de julio de 2013. Relaciones de simetría entre estructuras cristalinas : aplicaciones de la teoría de grupos cristalográficos en química cristalina . Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-164879-3OCLC 850179696 . {{cite book}}: CS1 maint: nombres múltiples: lista de autores ( enlace ) CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )
1 2 McKie, Duncan (1986). Fundamentos de cristalografía . Christine McKie. Oxford: Blackwell Scientific. ISBN 0-632-01566-7OCLC 14131056
^ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Alavi, Saman (2020). Fundamentos y práctica de simulaciones moleculares . Wiley-VCH (1. Auflage ed.). Weinheim. ISBN 978-3-527-34105-4OCLC 1128103696 {{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
↑ Müller, Ulrich (2007). Química estructural inorgánica (2.ª ed.). Chichester, Inglaterra; Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 978-0-470-01864-4OCLC 70230778

[:1-1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Müller, Ulrich, 6 de julio de 2013. Relaciones de simetría entre estructuras cristalinas : aplicaciones de la teoría de grupos cristalográficos en química cristalina . Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-164879-3OCLC 850179696 . {{cite book}}: CS1 maint: nombres múltiples: lista de autores ( enlace ) CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )

[:2-2] 1 2 McKie, Duncan (1986). Fundamentos de cristalografía . Christine McKie. Oxford: Blackwell Scientific. ISBN 0-632-01566-7OCLC 14131056

[:0-3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Alavi, Saman (2020). Fundamentos y práctica de simulaciones moleculares . Wiley-VCH (1. Auflage ed.). Weinheim. ISBN 978-3-527-34105-4OCLC 1128103696 {{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )

[4] Müller, Ulrich (2007). Química estructural inorgánica (2.ª ed.). Chichester, Inglaterra; Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 978-0-470-01864-4OCLC 70230778

[ 4 ]