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Articulo de referencia

Ángulo tangencial

El ángulo tangencial φ para una curva arbitraria A en P. En geometría , el ángulo tangente de una curva en el plano cartesiano, en un punto específico, es el ángulo entre la rec...

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El ángulo tangencial φ para una curva arbitraria A en P.

En geometría , el ángulo tangente de una curva en el plano cartesiano, en un punto específico, es el ángulo entre la recta tangente a la curva en dicho punto y el eje x . [ 1 ] (Algunos autores definen el ángulo como la desviación de la dirección de la curva en un punto de partida fijo. Esto equivale a la definición aquí dada mediante la suma de una constante al ángulo o mediante la rotación de la curva. [ 2 ] )

Ecuaciones

Paramétrico

Si una curva se da paramétricamente por ( x ( t ), y ( t )) , entonces el ángulo tangencial φ en t se define (hasta un múltiplo de 2π ) por [ 3 ]

(incógnita′(t), y′(t))|incógnita′(t), y′(t)|=(porque⁡φ, pecado⁡φ).{\displaystyle {\frac {{\big (}x'(t),\ y'(t){\big )}}{{\big |}x'(t),\ y'(t){\big |}}}=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi ).}

Aquí, el símbolo prima denota la derivada con respecto a t . Así, el ángulo tangencial especifica la dirección del vector velocidad ( x ( t ), y ( t )) , mientras que la rapidez especifica su magnitud. El vector

(incógnita′(t), y′(t))|incógnita′(t), y′(t)|{\displaystyle {\frac {{\big (}x'(t),\ y'(t){\big )}}{{\big |}x'(t),\ y'(t){\big |}}}}

se denomina vector tangente unitario , por lo que una definición equivalente es que el ángulo tangente en t es el ángulo φ tal que (cos φ , sin φ ) es el vector tangente unitario en t .

Si la curva está parametrizada por la longitud de arco s , de modo que | x ′( s ), y ′( s ) | = 1 , entonces la definición se simplifica a

(incógnita′(s), y′(s))=(porque⁡φ, pecado⁡φ).{\displaystyle {\big (}x'(s),\ y'(s){\big )}=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi ).}

En este caso, la curvatura κ viene dada por φ ′( s ) , donde κ se considera positiva si la curva se desvía hacia la izquierda y negativa si se desvía hacia la derecha. [ 1 ] Recíprocamente, el ángulo tangente en un punto dado es igual a la integral definida de la curvatura hasta ese punto: [ 4 ] [ 1 ]

φ(s)=∫0sκ(s)ds+φ0{\displaystyle \varphi (s)=\int _{0}^{s}\kappa (s)ds+\varphi _{0}}
φ(t)=∫0tκ(t)s′(t)dt+φ0{\displaystyle \varphi (t)=\int _{0}^{t}\kappa (t)s'(t)dt+\varphi _{0}}

Explícito

Si la curva viene dada por la gráfica de una función y = f ( x ) , entonces podemos tomar ( x , f ( x )) como parametrización, y podemos suponer que φ está entre − ⁠ π / 2 ⁠ y ⁠ π / 2 ⁠ . Esto produce la expresión explícita

φ=arctan⁡F′(incógnita).{\displaystyle \varphi =\arctan f'(x).}

Ángulo tangencial polar

En coordenadas polares , el ángulo tangente polar se define como el ángulo entre la línea tangente a la curva en el punto dado y el rayo desde el origen hasta el punto. [ 5 ] [ 6 ] Si ψ denota el ángulo tangente polar, entonces ψ = φ − θ , donde φ es como se indicó anteriormente y θ es, como es habitual, el ángulo polar.

Si la curva se define en coordenadas polares por r = f ( θ ) , entonces el ángulo tangencial polar ψ en θ se define (salvo un múltiplo de 2π ) por

(F′(θ), F(θ))|F′(θ), F(θ)|=(porque⁡ψ, pecado⁡ψ){\displaystyle {\frac {{\big (}f'(\theta ),\ f(\theta ){\big )}}{{\big |}f'(\theta ),\ f(\theta ){\big |}}}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )}.

Si la curva se parametriza mediante la longitud de arco s como r = r ( s ) , θ = θ ( s ) , de modo que | ( r ′( s ), rθ ′( s )) | = 1 , entonces la definición se convierte en

(r′(s), rθ′(s))=(porque⁡ψ, pecado⁡ψ){\displaystyle {\big (}r'(s),\ r\theta '(s){\big )}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )}.

La espiral logarítmica se puede definir como una curva cuyo ángulo tangencial polar es constante. [ 5 ] [ 6 ]

Véase también

Referencias

  1. 1 2 3 Weisstein, Eric W. "Ecuación natural" . MathWorld .
  2. ↑ Por ejemplo: Whewell, W. (1849). "Sobre la ecuación intrínseca de una curva y su aplicación" . Cambridge Philosophical Transactions . 8 : 659–671 .Este artículo utiliza φ para referirse al ángulo entre la tangente y la tangente en el origen. Este es el artículo que introduce la ecuación de Whewell, una aplicación del ángulo tangencial. Hitler
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Ángulo tangencial" . MundoMatemático .
  4. ↑ Surazhsky, Tatiana; Surazhsky, Vitaly (2004). Muestreo de curvas planas mediante análisis de forma basado en la curvatura . Métodos matemáticos para curvas y superficies. Tromsø. CiteSeerX 10.1.1.125.2191 . ISBN  978-0-9728482-4-4.
  5. 1 2 Williamson, Benjamin (1899). "Ángulo entre la tangente y el vector radio" . Un tratado elemental sobre el cálculo diferencial (9.ª ed.). pág. 222.  
  6. 1 2 Espiral logarítmica en PlanetMath .

Lecturas adicionales

  • "Notaciones" . Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (en francés).
  • Yates, RC (1952). Un manual sobre curvas y sus propiedades . Ann Arbor, MI: JW Edwards. págs. 123–126 . 
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