Subtangente

En geometría , la subtangente y términos relacionados son ciertos segmentos de recta definidos mediante la recta tangente a una curva en un punto dado y los ejes de coordenadas . Estos términos son algo arcaicos hoy en día, pero se usaban comúnmente hasta principios del siglo XX.

Sea P  =  ( x , y ) un punto en una curva dada, con A = ( x , 0) su proyección sobre el eje x . Tracemos la tangente a la curva en P y sea T el punto donde esta línea interseca el eje x . Entonces TA se define como la subtangente en P. De manera similar, si la normal a la curva en P interseca el eje x en N , entonces AN se denomina subnormal . En este contexto, las longitudes PT y PN se denominan tangente y normal , respectivamente, sin confundirlas con la recta tangente y la recta normal, que también se denominan tangente y normal.    

Sea φ el ángulo de inclinación de la tangente con respecto al eje x ; este también se conoce como ángulo tangencial . Entonces

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {dy}{dx}}={\frac {AP}{TA}}={\frac {AN}{AP}}.}$

Entonces la subtangente es

${\displaystyle y\cot \varphi ={\frac {y}{\tfrac {dy}{dx}}},}$

y lo subnormal es

${\displaystyle y\tan \varphi =y{\frac {dy}{dx}}.}$

La normal viene dada por

${\displaystyle y\sec \varphi =y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}},}$

y la tangente viene dada por

${\displaystyle y\csc \varphi ={\frac {y}{\tfrac {dy}{dx}}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}.}$

Sea P  =  ( r ,  θ) un punto en una curva definida por coordenadas polares y sea O el origen. Tracemos una línea que pase por O y sea perpendicular a OP . Sea T el punto donde esta línea interseca la tangente a la curva en P. De manera similar, sea N el punto donde la normal a la curva interseca la línea. Entonces, OT y ON se denominan, respectivamente, subtangente polar y subnormal polar de la curva en P.

Sea ψ el ángulo entre la tangente y el rayo OP ; este también se conoce como ángulo tangencial polar. Entonces

${\displaystyle \tan \psi ={\frac {r}{\tfrac {dr}{d\theta }}}={\frac {OP}{ON}}={\frac {OT}{OP}}.}$

Entonces la subtangente polar es

${\displaystyle r\tan \psi ={\frac {r^{2}}{\tfrac {dr}{d\theta }}},}$

y lo subnormal es

${\displaystyle r\cot \psi ={\frac {dr}{d\theta }}.}$

• J. Edwards (1892). Cálculo diferencial . Londres: MacMillan and Co. págs. 150 , 154. 

• B. Williamson, "Subtangente y subnormal" y "Subtangente polar y subnormal polar" en Un tratado elemental sobre el cálculo diferencial (1899), págs. 215, 223, Archivo de Internet