ecuación de Slutsky

En microeconomía , la ecuación de Slutsky (o identidad de Slutsky ), que recibe su nombre de Eugen Slutsky , relaciona los cambios en la demanda marshalliana (no compensada) con los cambios en la demanda hicksiana (compensada) , que se conoce como tal porque compensa para mantener un nivel fijo de utilidad.

La ecuación de Slutsky consta de dos partes: el efecto sustitución y el efecto renta . En general, el efecto sustitución es negativo. Slutsky derivó esta fórmula para analizar la respuesta del consumidor ante cambios en el precio de un bien. Cuando el precio aumenta, el conjunto presupuestario se desplaza hacia adentro, lo que también provoca una disminución de la cantidad demandada. Por el contrario, si el precio disminuye, el conjunto presupuestario se desplaza hacia afuera, lo que conlleva un aumento de la cantidad demandada. El efecto sustitución se debe al efecto de la variación del precio relativo , mientras que el efecto renta se debe a la liberación de renta. La ecuación demuestra que el cambio en la demanda de un bien, provocado por una variación de precio, es el resultado de dos efectos:

• Efecto sustitución : cuando el precio de un bien cambia y se vuelve relativamente más barato, el consumo podría, hipotéticamente, permanecer invariable. De ser así, se liberaría renta y el dinero podría destinarse a la compra de uno o más bienes.
• un efecto renta : el poder adquisitivo de un consumidor aumenta como resultado de una disminución del precio, por lo que el consumidor ahora puede comprar otros productos o más del mismo producto, dependiendo de si el producto o productos son un bien normal o un bien inferior .

La ecuación de Slutsky descompone el cambio en la demanda del bien i en respuesta a un cambio en el precio del bien j :

${\displaystyle {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial p_{j}}={\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u) \over \partial p_{j}}-{\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial w}x_{j}(\mathbf {p} ,w),\,}$

dónde${\displaystyle h(\mathbf {p} ,u)}$es la demanda hicksiana y${\displaystyle x(\mathbf {p} ,w)}$es la demanda marshalliana, en el vector de niveles de precios${\displaystyle \mathbf {p} }$, nivel de riqueza (o nivel de ingresos)${\displaystyle w}$y nivel de utilidad fijo${\displaystyle u}$dada por la maximización de la utilidad al precio y al ingreso originales, formalmente representada por la función de utilidad indirecta.${\displaystyle v(\mathbf {p},w)}$. El lado derecho de la ecuación es igual al cambio en la demanda del bien i manteniendo la utilidad fija en u menos la cantidad demandada del bien j , multiplicado por el cambio en la demanda del bien i cuando cambia la riqueza.

El primer término del lado derecho representa el efecto sustitución, y el segundo término representa el efecto renta. ^{[ 1 ]} Cabe señalar que, dado que la utilidad no es observable, el efecto sustitución no es directamente observable. Sin embargo, puede calcularse tomando como referencia los otros dos términos observables de la ecuación de Slutsky. Este proceso se conoce a veces como la descomposición de Hicks de un cambio en la demanda. ^{[ 2 ]}

La ecuación se puede reescribir en términos de elasticidad :

${\displaystyle \varepsilon _ {p,ij}=\varepsilon _ {p,ij}^{h}-\varepsilon _ {w,i}b_ {j}}$

donde ε _p es la elasticidad precio (no compensada) , ε _p ^h es la elasticidad precio compensada, ε _w,i la elasticidad ingreso del bien i , y b _j la participación presupuestaria del bien j .

En resumen, la ecuación de Slutsky establece que el cambio total en la demanda se compone de un efecto renta y un efecto sustitución, y que ambos efectos deben ser iguales en conjunto al cambio total en la demanda.

${\displaystyle \Delta x_{1}=\Delta x_{1}^{s}+\Delta x_{1}^{l}}$

La ecuación anterior resulta útil porque demuestra que los cambios en la demanda indican distintos tipos de bienes. El efecto sustitución es negativo, ya que las curvas de indiferencia siempre tienen pendiente negativa. Sin embargo, esto no se aplica al efecto renta , que depende de cómo la renta afecta al consumo de un bien.

El efecto renta sobre un bien normal es negativo; por lo tanto, si su precio disminuye, el poder adquisitivo o la renta del consumidor aumenta. Lo contrario ocurre cuando el precio aumenta y el poder adquisitivo o la renta disminuye.

Un ejemplo de bien inferior son los fideos instantáneos. Cuando los consumidores tienen poco dinero para comprar comida, recurren a ellos; sin embargo, este producto no suele considerarse de consumo diario. Esto se debe a las limitaciones económicas: a medida que aumenta la riqueza, disminuye el consumo. En este caso, el efecto sustitución es negativo, pero el efecto renta también lo es.

En cualquier caso, el efecto sustitución o el efecto renta son positivos o negativos cuando los precios aumentan dependiendo del tipo de bienes:

Sin embargo, es imposible determinar si el efecto total será siempre negativo si se mencionan bienes complementarios inferiores. Por ejemplo, el efecto sustitución y el efecto renta actúan en direcciones opuestas. El efecto total dependerá de cuál de los dos sea, en última instancia, más fuerte.

Si bien existen varias formas de derivar la ecuación de Slutsky, el siguiente método es probablemente el más sencillo. Comencemos observando la identidad.${\displaystyle h_{i}(\mathbf {p} ,u)=x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}$dónde${\displaystyle e(\mathbf {p},u)}$es la función de gasto , y u es la utilidad obtenida al maximizar la utilidad dados p y w . Al diferenciar totalmente con respecto a p _j se obtiene lo siguiente:

${\displaystyle {\frac {\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}{\partial e(\mathbf {p} ,u)}}\cdot {\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}}$.

Aprovechando el hecho de que${\displaystyle {\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}=h_{j}(\mathbf {p} ,u)}$por el lema de Shephard y que en el óptimo,

${\displaystyle h_{j}(\mathbf {p} ,u)=h_{j}(\mathbf {p} ,v(\mathbf {p} ,w))=x_{j}(\mathbf {p} ,w),}$dónde${\displaystyle v(\mathbf {p},w)}$es la función de utilidad indirecta ,

Se puede sustituir y reescribir la derivación anterior como la ecuación de Slutsky.

La ecuación de Slutsky se puede reescribir en forma matricial:

${\displaystyle \mathbf {D_{p}x} (\mathbf {p} ,w)=\mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)-\mathbf {D_{w}x} (\mathbf {p} ,w)\mathbf {x} (\mathbf {p} ,w)^{\top },\,}$

donde D _p es el operador derivado con respecto a los precios y D _w es el operador derivado con respecto a la riqueza.

La matriz${\displaystyle \mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p},u)}$Se conoce como la matriz de sustitución de Hicks y se define formalmente como:

${\displaystyle \sigma (\mathbf {p} ,u):=\mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}\end{bmatrix}}}$

La matriz de Slutsky viene dada por:

${\displaystyle S(\mathbf {p} ,w)=\left({\begin{array}{ccc}{\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{1}}}+x_{1}(\mathbf {p} ,w){\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}&\cdots &{\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{n}}}+x_{n}(\mathbf {p} ,w){\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{1}}}+x_{1}(\mathbf {p} ,w){\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}&\cdots &{\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{n}}}+x_{n}(\mathbf {p} ,w){\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}\end{array}}\right)}$

Cuando${\displaystyle u}$es la máxima utilidad que el consumidor logra a precios${\displaystyle \mathbf {p} }$y los ingresos${\displaystyle w}$, eso es,${\displaystyle u=v(\mathbf {p} ,w)}$La ecuación de Slutsky implica que cada elemento de la matriz de Slutsky${\displaystyle S(\mathbf {p} ,w)}$es exactamente igual al componente correspondiente de la matriz de sustitución de Hicks${\displaystyle \sigma (\mathbf {p} ,u)}$, o  :

${\displaystyle S(\mathbf {p} ,w)=\sigma (\mathbf {p} ,v(\mathbf {p} ,w)).}$

La matriz de Slutsky es simétrica, y dado que la función de gasto${\displaystyle e(\mathbf {p} ,u)}$es cóncava, la matriz de Slutsky también es semidefinida negativa .

Una función de utilidad Cobb-Douglas (véase función de producción Cobb-Douglas ) con dos bienes e ingresos.${\displaystyle w}$genera demanda marshalliana de bienes 1 y 2 de ${\displaystyle x_{1}=.7w/p_{1}}$y ${\displaystyle x_{2}=.3w/p_{2}.}$ Reorganizando la ecuación de Slutsky para colocar la derivada de Hicks en el lado izquierdo se obtiene el efecto de sustitución:

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}={\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial x_{1}}{\partial w_{1}}}x_{1}=-{\frac {.7w}{p_{1}^{2}}}+{\frac {.7}{p_{1}}}{\frac {.7w}{p_{1}}}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}}}$

Si volvemos a la ecuación original de Slutsky, vemos cómo los efectos de sustitución y renta se suman para dar el efecto total de la subida de precios sobre la cantidad demandada:

${\displaystyle {\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}={\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}-{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}}-{\frac {.49w}{p_{1}^{2}}}}$

Por lo tanto, de la disminución total de${\displaystyle .7w/p_{1}^{2}}$en cantidad demandada cuando${\displaystyle p_{1}}$aumenta, 21/70 es por el efecto sustitución y 49/70 por el efecto renta. El bien es aquel en el que este consumidor gasta la mayor parte de su renta (${\displaystyle p_{1}q_{1}=.7w}$), razón por la cual el efecto renta es tan grande.

Se puede comprobar que la respuesta de la ecuación de Slutsky es la misma que la de diferenciar directamente la función de demanda de Hicks, que aquí es ^{[ 3 ].}

${\displaystyle h_{1}(p_{1},p_{2},u)=.7p_{1}^{-.3}p_{2}^{.3}u,}$

dónde${\displaystyle u}$es utilidad. El derivado es

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}=-.21p_{1}^{-1.3}p_{2}^{.3}u,}$

por lo tanto, dado que la función de utilidad indirecta de Cobb-Douglas es${\displaystyle v=wp_{1}^{-.7}p_{2}^{-.3},}$y${\displaystyle u=v}$Cuando el consumidor utiliza las funciones de demanda especificadas, la derivada es:

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}=-.21p_{1}^{-1.3}p_{2}^{.3}(wp_{1}^{-.7}p_{2}^{-.3})=-.21wp_{1}^{-2}p_{2}^{0}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}},}$

que, en efecto, es la respuesta de la ecuación de Slutsky.

La ecuación de Slutsky también se puede aplicar para calcular el efecto de sustitución de precios cruzados. Uno podría pensar que aquí era cero porque cuando${\displaystyle p_{2}}$aumenta, la cantidad marshalliana demandada del bien 1, ${\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2},w),}$no se ve afectado (${\displaystyle \partial x_{1}/\partial p_{2}=0}$), pero eso es incorrecto. Reordenando nuevamente la ecuación de Slutsky, el efecto de sustitución de precios cruzados es:

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}={\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{2}}}+{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{2}=0+{\frac {.7}{p_{1}}}{\frac {.3w}{p_{2}}}={\frac {.21w}{p_{1}p_{2}}}}$

Esto dice que cuando${\displaystyle p_{2}}$aumenta, hay un efecto de sustitución de ${\displaystyle .21w/(p_{1}p_{2})}$hacia el bien 1. Al mismo tiempo, el aumento en${\displaystyle p_{2}}$Tiene un efecto renta negativo sobre la demanda del bien 1, un efecto opuesto de la misma magnitud que el efecto sustitución, por lo que el efecto neto es cero. Esta es una propiedad especial de la función Cobb-Douglas.

Cuando hay dos bienes, la ecuación de Slutsky en forma matricial es: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{2}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{2}\\\end{bmatrix}}}$

Aunque, estrictamente hablando, la ecuación de Slutsky solo se aplica a cambios de precio infinitesimales , se suele utilizar una aproximación lineal para cambios finitos. Si los precios de los dos bienes cambian en${\displaystyle \Delta p_{1}}$y${\displaystyle \Delta p_{2}}$El efecto sobre la demanda de ambos bienes es el siguiente:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Delta x_{1}\\\Delta x_{2}\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Delta p_{1}\\\Delta p_{2}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{2}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{2}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Delta p_{1}\\\Delta p_{2}\end{bmatrix}}}$

Al multiplicar las matrices, el efecto sobre el bien 1, por ejemplo, sería:

${\displaystyle \Delta x_{1}\approx \left({\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}\Delta p_{1}+{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\Delta p_{2}\right)-\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}\right)\left(x_{1}\Delta p_{1}+x_{2}\Delta p_{2}\right)}$

El primer término es el efecto sustitución. El segundo término es el efecto renta, que se compone de la respuesta del consumidor a la pérdida de ingresos multiplicada por la magnitud de dicha pérdida derivada de cada aumento de precio.

Un bien Giffen es un producto cuya demanda aumenta cuando su precio sube, lo cual también constituye un caso especial de bienes inferiores. ^{[ 5 ]} En el caso extremo de inferioridad de ingresos, la magnitud del efecto renta supera la del efecto sustitución, lo que genera un cambio general positivo en la demanda en respuesta a un aumento del precio. La descomposición de Slutsky del cambio en la demanda en un efecto sustitución puro y un efecto renta explica por qué la ley de la demanda no se cumple para los bienes Giffen.

• elección del consumidor
• El lema de Hotelling
• Función de demanda hickiana
• función de demanda marshalliana
• Función de producción Cobb-Douglas
• Giffen bueno
• Poder adquisitivo
• Normal bueno
• elasticidad precio de la oferta
• Sustituto bueno
• Bien inferior
• Bien complementario

Varian, HR (2020). Microeconomía intermedia: un enfoque moderno (Novena edición). WW Norton & Company.