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Recursión

Una forma visual de recursión conocida como el efecto Droste . La mujer de esta imagen sostiene un objeto que contiene una imagen más pequeña de ella sosteniendo un objeto idént...

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Una forma visual de recursión conocida como el efecto Droste . La mujer de esta imagen sostiene un objeto que contiene una imagen más pequeña de ella sosteniendo un objeto idéntico, que a su vez contiene una imagen más pequeña de ella sosteniendo un objeto idéntico, y así sucesivamente. Lata de cacao Droste de 1904 , diseñada por Jan Misset.

La recursión se produce cuando la definición de un concepto o proceso depende de una versión anterior o más simple de sí mismo. [ 1 ] La recursión se utiliza en diversas disciplinas, desde la lingüística hasta la lógica . Su aplicación más común se da en matemáticas e informática , donde una función que se está definiendo se aplica dentro de su propia definición. Si bien esto aparentemente define un número infinito de instancias (valores de la función), a menudo se realiza de tal manera que no se produzcan bucles infinitos ni cadenas infinitas de referencias.

Un proceso que presenta recursión es recursivo . La retroalimentación de video muestra imágenes recursivas, al igual que un espejo infinito .

Definiciones formales

El ouroboros , un antiguo símbolo que representa una serpiente o un dragón que se come su propia cola.

En matemáticas e informática, una clase de objetos o métodos presenta un comportamiento recursivo cuando puede definirse mediante dos propiedades:

  • Un caso base simple (o varios casos): un escenario final que no utiliza recursión para producir una respuesta.
  • Un paso recursivo : un conjunto de reglas que reduce todos los casos sucesivos hacia el caso base.

Por ejemplo, la siguiente es una definición recursiva del antepasado de una persona . El antepasado de una persona es:

  • El padre de uno ( caso base ), o
  • Antepasado de los padres ( paso recursivo ).

La sucesión de Fibonacci es otro ejemplo clásico de recursión:

Fib(0) = 0 como caso base 1,
Fib(1) = 1 como caso base 2,
Para todos los enteros n > 1 , Fib( n ) = Fib( n − 1) + Fib( n − 2) .

Muchos axiomas matemáticos se basan en reglas recursivas. Por ejemplo, la definición formal de los números naturales según los axiomas de Peano se puede describir como: «El cero es un número natural, y cada número natural tiene un sucesor, que también es un número natural». [ 2 ] Mediante este caso base y regla recursiva, se puede generar el conjunto de todos los números naturales.

Otros objetos matemáticos definidos recursivamente incluyen factoriales , funciones (por ejemplo, relaciones de recurrencia ), conjuntos (por ejemplo, el conjunto ternario de Cantor ) y fractales .

Existen varias definiciones más irónicas de recursión; véase humor recursivo .

Definición informal

Masa madre que se mezcla con la harina para producir pan de masa madre: la receta requiere un poco de masa madre sobrante de la última vez que se preparó la misma receta.

La recursión es el proceso que sigue un procedimiento cuando uno de sus pasos implica la invocación del propio procedimiento. Un procedimiento que realiza una recursión se denomina «recursivo». [ 3 ]

Para comprender la recursión, es necesario reconocer la distinción entre un procedimiento y la ejecución de un procedimiento. Un procedimiento es un conjunto de pasos basados ​​en un conjunto de reglas, mientras que la ejecución de un procedimiento implica seguir esas reglas y realizar los pasos.

La recursión está relacionada con, pero no es lo mismo que, una referencia dentro de la especificación de un procedimiento a la ejecución de algún otro procedimiento.

Cuando se define un procedimiento de esta manera, se crea inmediatamente la posibilidad de un bucle infinito; la recursión solo se puede utilizar correctamente en una definición si el paso en cuestión se omite en ciertos casos para que el procedimiento pueda completarse.

Aunque esté bien definido, un procedimiento recursivo no es fácil de ejecutar para los humanos, ya que requiere distinguir entre la invocación nueva y la anterior, que se ejecuta parcialmente. Esto exige cierta gestión para saber hasta dónde han avanzado las distintas instancias simultáneas del procedimiento. Por este motivo, las definiciones recursivas son muy poco frecuentes en situaciones cotidianas.

En el idioma

El lingüista Noam Chomsky , entre muchos otros, ha argumentado que la falta de un límite superior en el número de oraciones gramaticales en un idioma, y ​​la falta de un límite superior en la longitud de las oraciones gramaticales (más allá de las restricciones prácticas como el tiempo disponible para pronunciar una), puede explicarse como consecuencia de la recursión en el lenguaje natural. [ 4 ] [ 5 ]

Hay muchas estructuras, además de las oraciones, que pueden definirse recursivamente y, por lo tanto, muchas maneras en que una oración puede incrustar instancias de una categoría dentro de otra. [ 6 ] A lo largo de los años, los lenguajes en general han demostrado ser susceptibles a este tipo de análisis.

La idea generalmente aceptada de que la recursión es una propiedad esencial del lenguaje humano ha sido cuestionada por Daniel Everett basándose en sus afirmaciones sobre la lengua pirahã . Andrew Nevins, David Pesetsky y Cilene Rodrigues se encuentran entre muchos que han argumentado en contra de esto. [ 7 ] En cualquier caso, se puede argumentar que la autorreferencia literaria es de naturaleza distinta a la recursión matemática o lógica. [ 8 ]

La recursión desempeña un papel crucial no solo en la sintaxis, sino también en la semántica del lenguaje natural . La palabra " and ", por ejemplo, puede interpretarse como una función que se aplica a los significados de las oraciones para crear nuevas oraciones, y de igual manera a los significados de las frases nominales, las frases verbales, etc. También puede aplicarse a verbos intransitivos, transitivos o ditransitivos. Para proporcionar una única denotación suficientemente flexible, " and" se define típicamente de manera que pueda tomar cualquiera de estos diferentes tipos de significados como argumentos. Esto se puede lograr definiéndola para un caso simple en el que combina oraciones, y luego definiendo los demás casos recursivamente en términos del caso simple. [ 9 ]

Una gramática recursiva es una gramática formal que contiene reglas de producción recursivas . [ 10 ]

Humor recursivo

La recursión se utiliza a veces con humor en libros de texto de informática, programación, filosofía o matemáticas, generalmente mediante una definición circular o una autorreferencia , en la que el supuesto paso recursivo no se acerca a un caso base, sino que conduce a una regresión infinita . No es raro que dichos libros incluyan una entrada humorística en su glosario del tipo:

Recursión, véase Recursión . [ 11 ]

Una variante se encuentra en la página 269 del índice de algunas ediciones del libro de Brian Kernighan y Dennis Ritchie , The C Programming Language ; la entrada del índice se refiere recursivamente a sí misma ("recursion 86, 139, 141, 182, 202, 269"). Versiones tempranas de este chiste se pueden encontrar en Let's talk Lisp de Laurent Siklóssy (publicado por Prentice Hall PTR el 1 de diciembre de 1975, con fecha de copyright de 1976) y en Software Tools de Kernighan y Plauger (publicado por Addison-Wesley Professional el 11 de enero de 1976). El chiste también aparece en The UNIX Programming Environment de Kernighan y Pike. No apareció en la primera edición de The C Programming Language . El chiste forma parte del folclore de la programación funcional y ya estaba muy extendido en la comunidad de programación funcional antes de la publicación de los libros mencionados. [ 12 ] [ 13 ]

Una placa conmemora el Proyecto de Historia Recursiva de Toronto.

Otro chiste es que "Para entender la recursión, hay que entender la recursión". [ 11 ] En la versión en inglés del buscador web de Google, cuando se busca "recursión", el sitio sugiere "¿Quiso decir: recursión ?". [ 14 ] Una forma alternativa es la siguiente, de Andrew Plotkin : "Si ya sabes qué es la recursión, simplemente recuerda la respuesta. De lo contrario, busca a alguien que esté más cerca de Douglas Hofstadter que tú; luego pregúntale qué es la recursión".

Los acrónimos recursivos son otros ejemplos de humor recursivo. PHP , por ejemplo, significa "PHP Hypertext Preprocessor" (Preprocesador de hipertexto PHP), WINE significa "WINE no es un emulador", RPM significa "RPM Package manager" (Administrador de paquetes RPM), GNU significa "GNU no es Unix" (GNU no es Unix) y SPARQL denota el "Protocolo SPARQL y lenguaje de consulta RDF".

En matemáticas

El triángulo de Sierpiński —una recursión confinada de triángulos que forman un fractal—

Conjuntos definidos recursivamente

Ejemplo: los números naturales

El ejemplo canónico de un conjunto definido recursivamente viene dado por los números naturales :

0 está ennorte{\displaystyle \mathbb {N} }
si n está ennorte{\displaystyle \mathbb {N} }, entonces n + 1 está ennorte{\displaystyle \mathbb {N} }
El conjunto de los números naturales es el conjunto más pequeño que satisface las dos propiedades anteriores.

En lógica matemática, los axiomas de Peano (o postulados de Peano o axiomas de Dedekind-Peano) son axiomas para los números naturales presentados en el siglo XIX por el matemático alemán Richard Dedekind y por el matemático italiano Giuseppe Peano . Los axiomas de Peano definen los números naturales en relación con una función sucesora recursiva y consideran la suma y la multiplicación como funciones recursivas.

Ejemplo: Procedimiento de demostración

Otro ejemplo interesante es el conjunto de todas las proposiciones "demostrables" en un sistema axiomático que se definen en términos de un procedimiento de prueba que se define inductivamente (o recursivamente) de la siguiente manera:

  • Si una proposición es un axioma, es una proposición demostrable.
  • Si una proposición puede derivarse de proposiciones verdaderas alcanzables mediante reglas de inferencia, es una proposición demostrable.
  • El conjunto de proposiciones demostrables es el conjunto más pequeño de proposiciones que satisfacen estas condiciones.

Reglas de subdivisión finita

Las reglas de subdivisión finita son una forma geométrica de recursión que se puede utilizar para crear imágenes fractales. Una regla de subdivisión comienza con una colección de polígonos etiquetados con un número finito de etiquetas, y luego cada polígono se subdivide en polígonos etiquetados más pequeños de una manera que depende únicamente de las etiquetas del polígono original. Este proceso se puede iterar. La técnica estándar de los "tercios centrales" para crear el conjunto de Cantor es una regla de subdivisión, al igual que la subdivisión baricéntrica .

Recursión funcional

Una función puede definirse recursivamente en términos de sí misma. Un ejemplo conocido es la sucesión de Fibonacci : F ( n ) = F ( n -1) + F ( n -2). Para que dicha definición sea útil, debe poder reducirse a valores definidos de forma no recursiva: en este caso, F (0) = 0 y F (1) = 1.

Demostraciones que involucran definiciones recursivas

La aplicación de la técnica estándar de demostración por casos a conjuntos o funciones definidos recursivamente, como en las secciones anteriores, produce la inducción estructural , una poderosa generalización de la inducción matemática ampliamente utilizada para derivar demostraciones en lógica matemática e informática.

Optimización recursiva

La programación dinámica es un método de optimización que reformula un problema de optimización multiperíodo o multipaso de forma recursiva. El resultado clave en la programación dinámica es la ecuación de Bellman , que expresa el valor del problema de optimización en un momento anterior (o paso anterior) en función de su valor en un momento posterior (o paso posterior).

El teorema de recursión

En teoría de conjuntos , este es un teorema que garantiza que existen funciones definidas recursivamente. Dado un conjunto X , un elemento a de X y una función f : X → X , el teorema establece que existe una única funciónF:norte→incógnita{\displaystyle F:\mathbb {N} \to X}(dóndenorte{\displaystyle \mathbb {N} }denota el conjunto de números naturales (incluido el cero) tales que

F(0)=a{\displaystyle F(0)=a}
F(norte+1)=F(F(norte)){\displaystyle F(n+1)=f(F(n))}

para cualquier número natural n .

Dedekind fue el primero en plantear el problema de la definición única de funciones de la teoría de conjuntos ennorte{\displaystyle \mathbb {N} }por recursividad, y esbozó un argumento en el ensayo de 1888 "Was sind und was sollen die Zahlen?" [ 15 ]

Prueba de existencia

Fuente: [ 16 ]

DejarS={A⊆norte×incógnita:(0,a)∈A y si (incógnita,y)∈A entonces (incógnita+1,F(y))∈A}{\displaystyle S=\{A\subseteq {\mathbb {N} }\times X:(0,a)\in A{\text{ y si }}(x,y)\in A{\text{ entonces }}(x+1,f(y))\in A\}}.

S no está vacío ya quenorte×incógnita∈S{\displaystyle {\mathbb {N} }\times X\in S}. Dejargramo=⋂A∈SA{\displaystyle g=\bigcap _{A\in S}A}. Ahora(0,a)∈gramo{\displaystyle (0,a)\in g}ya que está en todosA∈S{\displaystyle A\in S}. Además, si(incógnita,y)∈gramo{\displaystyle (x,y)\in g}entonces(incógnita,y)∈A{\displaystyle (x,y)\in A}a pesar deA∈S{\displaystyle A\in S}Pero entonces...(incógnita+1,F(y))∈A{\displaystyle (x+1,f(y))\in A}a pesar deA∈S{\displaystyle A\in S}de modo que(incógnita+1,F(y))∈gramo{\displaystyle (x+1,f(y))\in g}. Por lo tantogramo∈S{\displaystyle g\in S}y es el elemento más pequeño de S.

DejarT={norte∈norte:∃z∈incógnita de tal manera que (norte,z)∈gramo}{\displaystyle T=\{n\in {\mathbb {N} }:\exists z\in X{\text{ tal que }}(n,z)\in g\}}. Ahora0∈T{\displaystyle 0\in T}desde(0,a)∈gramo{\displaystyle (0,a)\in g}. Suponernorte∈T{\displaystyle n\in T}. Entonces(norte,z)∈gramo{\displaystyle (n,z)\in g}para algunosz∈incógnita{\displaystyle z\in X}Esto da(norte+1,F(z))∈gramo{\displaystyle (n+1,f(z))\in g}. Por esonorte+1∈T{\displaystyle n+1\in T}Por inducción matemática se deduce queT=norte{\displaystyle T={\mathbb {N} }}.

DejarU={incógnita∈norte:si (incógnita,y),(incógnita,z)∈gramo entonces y=z}{\displaystyle U=\{x\in {\mathbb {N} }:{\text{if }}(x,y),(x,z)\in g{\text{ then }}y=z\}}Supongamos por contradicción que0∉U{\displaystyle 0\notin U}. Es decir, supongamos que tenemos(0,z){\displaystyle (0,z)}, además,(0,a)∈gramo{\displaystyle (0,a)\in g}, dóndez≠a{\displaystyle z\neq a}. Entonces gramo∖{(0,z)}∈S{\displaystyle g\backslash \{(0,z)\}\in S}, lo cual contradice el hecho de que g es el elemento más pequeño de S. Por lo tanto,0∈U{\displaystyle 0\in U}.

Demostramos que siincógnita∈U{\displaystyle x\in U}entoncesincógnita+1∈U{\displaystyle x+1\in U}Supongamos que este no es el caso. Entonces∃metro∈U{\displaystyle \exists m\in U}de modo quemetro+1∉U{\displaystyle m+1\notin U}. Desdemetro∈U{\displaystyle m\in U}yT=norte{\displaystyle T={\mathbb {N} }}, hay una únicanorte∈norte{\displaystyle n\in \mathbb {N} }con(metro,norte)∈gramo{\displaystyle (m,n)\in g}. Entonces(metro+1,F(norte))∈gramo{\displaystyle (m+1,f(n))\in g}. Desdemetro+1∉U{\displaystyle m+1\notin U}, hay un(metro+1,z)∈gramo{\displaystyle (m+1,z)\in g}, además de(metro+1,F(norte))∈gramo{\displaystyle (m+1,f(n))\in g}, dóndez≠F(norte){\displaystyle z\neq f(n)}Pero entonces...gramo∖{(metro+1,z)}∈S{\displaystyle g\backslash \{(m+1,z)\}\in S}, contradiciendo el hecho de que g es el elemento más pequeño de S. La inducción matemática entonces dice queU=norte{\displaystyle U={\mathbb {N} }}Por lo tanto, existe una función cuya gráfica es g. Denominémosla F.

Prueba de singularidad

Toma dos funcionesF:norte→incógnita{\displaystyle F:\mathbb {N} \to X}yGRAMO:norte→incógnita{\displaystyle G:\mathbb {N} \to X}de tal manera que:

F(0)=a{\displaystyle F(0)=a}
GRAMO(0)=a{\displaystyle G(0)=a}
F(norte+1)=F(F(norte)){\displaystyle F(n+1)=f(F(n))}
GRAMO(norte+1)=F(GRAMO(norte)){\displaystyle G(n+1)=f(G(n))}

donde a es un elemento de X.

Se puede demostrar por inducción matemática que F ( n ) = G ( n ) para todos los números naturales n :

Caso base : F (0) = a = G (0) por lo que la igualdad se cumple para n = 0 .
Paso inductivo : Supongamos que F ( k ) = G ( k ) para algúnk∈norte{\displaystyle k\in \mathbb {N} }. Entonces F ( k + 1) = f ( F ( k )) = f ( G ( k )) = G ( k + 1) .
Por lo tanto, F ( k ) = G ( k ) implica F ( k + 1) = G ( k + 1) .

Por inducción, F ( n ) = G ( n ) para todonorte∈norte{\displaystyle n\in \mathbb {N} }.

En ciencias de la computación

Un método común de simplificación consiste en dividir un problema en subproblemas del mismo tipo. En programación , esta técnica se denomina divide y vencerás y es fundamental para el diseño de muchos algoritmos importantes. Divide y vencerás es un enfoque descendente para la resolución de problemas, donde estos se resuelven resolviendo instancias cada vez más pequeñas. Un enfoque opuesto es la programación dinámica . Este enfoque es ascendente, donde los problemas se resuelven resolviendo instancias cada vez más grandes hasta alcanzar el tamaño deseado.

Un ejemplo clásico de recursión es la definición de la función factorial , que se muestra aquí en código Python :

def factorial ( n ): if n > 0 : return n * factorial ( n - 1 ) else : return 1

La función se llama a sí misma recursivamente en una versión más pequeña de la entrada (n - 1)y multiplica el resultado de la llamada recursiva por n, hasta llegar al caso base , de forma análoga a la definición matemática de factorial.

La recursión en la programación informática se ejemplifica cuando una función se define en términos de versiones más simples, a menudo más pequeñas, de sí misma. La solución al problema se obtiene combinando las soluciones derivadas de estas versiones más simples. Un ejemplo de aplicación de la recursión se encuentra en los analizadores sintácticos de lenguajes de programación. La gran ventaja de la recursión es que un programa informático finito puede definir, analizar o generar un conjunto infinito de posibles oraciones, diseños u otros datos.

Las relaciones de recurrencia son ecuaciones que definen una o más secuencias de forma recursiva. Algunos tipos específicos de relaciones de recurrencia pueden "resolverse" para obtener una definición no recursiva (por ejemplo, una expresión en forma cerrada ).

El uso de la recursión en un algoritmo presenta ventajas y desventajas. La principal ventaja suele ser la simplicidad de las instrucciones. La principal desventaja es que el consumo de memoria de los algoritmos recursivos puede aumentar muy rápidamente, lo que los hace poco prácticos para instancias de gran tamaño.

En biología

En plantas y animales a veces aparecen formas que parecen haber sido creadas por procesos recursivos, como en las estructuras ramificadas en las que una parte grande se ramifica en dos o más partes más pequeñas similares. Un ejemplo es el brócoli romanesco . [ 17 ]

En los negocios

En la ciencia de la administración, la recursión se define a veces como el proceso de iterar a través de niveles de abstracción en grandes entidades empresariales. [ 18 ] Un ejemplo común es la naturaleza recursiva de las jerarquías de gestión , que van desde la gestión de línea hasta la alta dirección ,  pasando por la gestión intermedia . También abarca la cuestión más amplia de la estructura de capital en el gobierno corporativo . [ 19 ]

En el arte

Muñecas recursivas: el conjunto original de muñecas Matryoshka de Zvyozdochkin y Malyutin , 1892.
La cara frontal del tríptico Stefaneschi de Giotto , de 1320, contiene recursivamente una imagen de sí misma (sostenida por la figura arrodillada en el panel central).

La muñeca Matryoshka es un ejemplo artístico físico del concepto recursivo. [ 20 ]

La recursión se ha utilizado en pinturas desde el Tríptico Stefaneschi de Giotto , realizado en 1320. Su panel central contiene la figura arrodillada del Cardenal Stefaneschi, sosteniendo el tríptico como una ofrenda. [ 21 ] [ 22 ] Esta práctica se conoce más generalmente como el efecto Droste , un ejemplo de la técnica Mise en abyme .

La obra Print Gallery (1956) de M.C. Escher es un grabado que representa una ciudad distorsionada que contiene una galería que, a su vez, contiene recursivamente la imagen, y así sucesivamente hasta el infinito . [ 23 ]

En la cultura

La película Origen popularizó la adición del sufijo -cepción a un sustantivo para indicar, en tono de broma, la recursión de algo. [ 24 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Causey, Robert L. (2006). Lógica, conjuntos y recursión (2.ª  ed.). Sudbury, Mass.: Jones and Bartlett Publishers. ISBN 0-7637-3784-4OCLC 62093042​​ 
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  5. ↑ Pinker, Steven; Jackendoff, Ray (2005). "La facultad del lenguaje: ¿Qué tiene de especial?". Cognition . 95 ( 2): 201– 236. CiteSeerX 10.1.1.116.7784 . doi : 10.1016/j.cognition.2004.08.004 . PMID 15694646. S2CID 1599505 .   
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  7. ↑ Nevins, Andrew; Pesetsky, David; Rodrigues, Cilene (2009). «Evidencia y argumentación: una respuesta a Everett (2009)» (PDF) . Language . 85 (3): 671– 681. doi : 10.1353/lan.0.0140 . S2CID 16915455. Archivado del original (PDF) el 6 de enero de 2012. 
  8. ↑ Drucker, Thomas (4 de enero de 2008). Perspectivas sobre la historia de la lógica matemática . Springer Science & Business Media. pág. 110. ISBN  978-0-8176-4768-1.
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  21. ↑ "Giotto di Bondone y ayudantes: tríptico Stefaneschi" . El Vaticano . Consultado el 16 de septiembre de 2015 .
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  24. ↑ "-cepción – Base de datos de neologismos de la Universidad Rice" . Universidad Rice. Archivado del original el 5 de julio de 2017. Recuperado el 23 de diciembre de 2016 .

Bibliografía

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