Función periódica

{\displaystyle P.} — Una ilustración de una función periódica con período $P.$

Una función periódica es aquella que repite sus valores a intervalos regulares. Por ejemplo, las funciones trigonométricas, que se utilizan para describir ondas y otros fenómenos repetitivos, son periódicas. Muchos aspectos del mundo natural presentan un comportamiento periódico, como las fases de la Luna , el movimiento de un péndulo y los latidos del corazón.

La duración del intervalo sobre el cual se repite una función periódica se llama su período . Cualquier función que no sea periódica se llama aperiódica .

Definición

Una gráfica de la función seno. Es periódica con un período fundamental de $2\pi$ .

{\displaystyle 2\pi } — Una gráfica de la función seno. Es periódica con un período fundamental de $2\pi$ .

Una función se define como periódica si sus valores se repiten a intervalos regulares. Por ejemplo, las posiciones de las manecillas de un reloj muestran un comportamiento periódico, ya que pasan por las mismas posiciones cada 12 horas. Este intervalo repetitivo se conoce como período .

Más formalmente, una función $f$ es periódico si existe una constante $P$ de tal manera que

f(x+P)=f(x)

para todos los valores de $x$ en el dominio . Una constante distinta de cero $P$ El período para el cual se cumple esta condición se denomina período de la función. ^{[ 1 ]}

Si un período $P$ existe, cualquier múltiplo entero $nP$ (para un entero positivo) $n$ ) también es un período. Si hay un período mínimo positivo , se llama elperíodo fundamental (tambiénperíodo primitivooperíodo básico).^{[ 2 ]} A menudo, "el" período de una función se utiliza para referirse a su período fundamental.

Geométricamente, la gráfica de una función periódica exhibe simetría traslacional . Su gráfica es invariante bajo traslación en el $x$ -dirección por una distancia de $P$ Esto implica que el gráfico completo puede formarse a partir de copias de una porción particular, repetidas a intervalos regulares.

Ejemplos

El comportamiento periódico puede ilustrarse tanto mediante ejemplos comunes y cotidianos como mediante funciones matemáticas más formales.

Funciones de valor real

Las funciones que relacionan números reales con números reales pueden mostrar periodicidad, que a menudo se visualiza en un gráfico.

Onda dentada

Un ejemplo es la función $f$ que representa la " parte fraccionaria " de su argumento. Su período es 1. Por ejemplo,

f(0.5)=f(1.5)=f(2.5)=\cdots =0.5

La gráfica de la función $f$ es una onda de diente de sierra .

funciones trigonométricas

{\displaystyle f(x)=\sin(x)} — Una trama de $f(x)=\sin(x)$ y $g(x)=\cos(x)$ ; ambas funciones son periódicas con período $2\pi$ .

Las funciones trigonométricas son ejemplos comunes de funciones periódicas. La función seno y la función coseno son periódicas con un período fundamental de $2\pi$ , como se ilustra en la figura de la derecha. Para la función seno, esto se expresa como:

\sin(x+2\pi )=\sin x

para todos los valores de $x$ .

El campo de las series de Fourier investiga el concepto de que una función periódica arbitraria puede expresarse como una suma de funciones trigonométricas con periodos coincidentes.

Funciones exóticas

Algunas funciones son periódicas, pero poseen propiedades que las hacen menos intuitivas. La función de Dirichlet , por ejemplo, es periódica, y cualquier número racional distinto de cero actúa como un período. Sin embargo, no posee un período fundamental.

Funciones de valor complejo

Las funciones con un dominio en los números complejos pueden exhibir propiedades periódicas más complejas.

exponencial compleja

La función exponencial compleja es una función periódica con un período puramente imaginario:

e^{ikx}=\cos kx+i\,\sin kx

Dado que las funciones coseno y seno son ambas periódicas con período $2\pi$ La fórmula de Euler demuestra que la función exponencial compleja tiene un período $L$ de tal manera que

L={\frac {2\pi }{k}}

.

funciones doblemente periódicas

Una función en el plano complejo puede tener dos periodos distintos e inconmensurables sin ser una función constante. Las funciones elípticas son un ejemplo paradigmático de este tipo de funciones. (En este contexto, "inconmensurable" se refiere a periodos que no son múltiplos reales entre sí).

Propiedades

Las funciones periódicas pueden tomar valores muchas veces. Más específicamente, si una función $f$ es periódico con período $P$ , entonces para todos $x$ en el dominio de $f$ y todos los números enteros positivos $n$ , ^{[ 3 ]}

f(x+nP)=f(x)

Una propiedad significativa relacionada con la integración es que si $f(x)$ es una función periódica integrable con período $P$ , entonces su integral definida sobre cualquier intervalo de longitud $P$ es lo mismo. ^{[ 3 ]} Es decir, para cualquier número real $a$ :

\int _{a}^{a+P}f(x)\,dx=\int _{0}^{P}f(x)\,dx

Esta propiedad es crucial en áreas como las series de Fourier , donde los coeficientes se determinan mediante integrales sobre un período.

Si $f(x)$ es una función con período $P$ , entonces $f(ax)$ , dónde $a$ es un número real distinto de cero tal que $ax$ está dentro del dominio de $f$ , es periódico con período ${\frac {P}{|a|}}$ . Por ejemplo, $f(x)=\sin(x)$ tiene período $2\pi$ y, por lo tanto, $\sin(5x)$ tendrá período ${\frac {2\pi }{5}}$ .

Una propiedad clave de muchas funciones periódicas es que pueden describirse mediante una serie de Fourier . Esta serie representa una función periódica como una suma de funciones periódicas más simples, a saber, senos y cosenos . Por ejemplo, una onda sonora de un instrumento musical puede descomponerse en la nota fundamental y varios armónicos . Esta descomposición es una herramienta poderosa en campos como la física y el procesamiento de señales. Si bien la mayoría de las funciones periódicas "bien comportadas" pueden representarse de esta manera, ^{[ 4 ]} las series de Fourier solo pueden usarse para funciones periódicas o para funciones definidas en una longitud finita. $f$ es una función periódica con período $P$ que se puede describir mediante una serie de Fourier, los coeficientes de la serie se pueden describir mediante una integral sobre un intervalo de longitud $P$ .

Cualquier función que sea una combinación de funciones periódicas con el mismo período también es periódica (aunque su período fundamental puede ser menor). Esto incluye:

suma, resta , multiplicación y división de funciones periódicas, ^{[ 1 ]} y
tomar una potencia o una raíz de una función periódica (siempre que esté definida para todo $x$ )

Generalizaciones

El concepto de periodicidad puede generalizarse más allá de las funciones en la recta numérica real. Por ejemplo, la idea de un patrón repetitivo puede aplicarse a figuras en múltiples dimensiones, como una teselación periódica del plano. Una sucesión también puede considerarse como una función definida en los números naturales , y el concepto de sucesión periódica se define en consecuencia.

Funciones antiperiódicas

Un subconjunto de funciones periódicas es el de las funciones antiperiódicas . Esta es una función $f$ de tal manera que $f(x+P)=-f(x)$ a pesar de $x$ Por ejemplo, las funciones seno y coseno son: $\pi$ -antiperiódico y $2\pi$ -periódico. Mientras que un $P$ -La función antiperiódica es una $2P$ -función periódica, lo contrario no es necesariamente cierto. ^{[ 5 ]}

funciones periódicas de Bloch

Una generalización adicional aparece en el contexto de los teoremas de Bloch y la teoría de Floquet , que rigen la solución de varias ecuaciones diferenciales periódicas. En este contexto, la solución (en una dimensión) es típicamente una función de la forma

f(x+P)=e^{ikP}f(x)~,

dónde $k$ es un número real o complejo (el vector de onda de Bloch o exponente de Floquet ). Las funciones de esta forma a veces se denominan periódicas de Bloch en este contexto. Una función periódica es el caso especial $k=0$ y una función antiperiódica es el caso especial $k=\pi /P$ . Cuando sea $kP/\pi$ Si es racional, la función también es periódica.

Espacios cociente como dominio

En el procesamiento de señales, surge el problema de que las series de Fourier representan funciones periódicas y satisfacen teoremas de convolución (es decir, la convolución de una serie de Fourier corresponde a la multiplicación de la función periódica representada y viceversa), pero las funciones periódicas no pueden convolucionarse con la definición habitual, ya que las integrales involucradas divergen. Una posible solución es definir una función periódica en un dominio acotado pero periódico. Para ello, se puede utilizar la noción de espacio cociente .

{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }=\{x+\mathbb {Z} :x\in \mathbb {R} \}=\{\{y:y\in \mathbb {R} \land yx\in \mathbb {Z} \}:x\in \mathbb {R} \}

.

Es decir, cada elemento en ${\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ es una clase de equivalencia de números reales que comparten la misma parte fraccionaria . Por lo tanto, una función como $f:{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }\to \mathbb {R}$ es una representación de una función 1-periódica.

Cálculo del período

Consideremos una forma de onda real compuesta por frecuencias superpuestas, expresadas en un conjunto como razones respecto a una frecuencia fundamental f: F = 1 / f [f ₁ f ₂ f ₃ ... f _N ] donde todos los elementos distintos de cero son ≥1 y al menos uno de los elementos del conjunto es 1. Para hallar el periodo, T, primero se halla el mínimo común denominador de todos los elementos del conjunto. El periodo se puede hallar como T = LCD / f . Consideremos que para una sinusoide simple, T = 1 / f . Por lo tanto, el LCD puede considerarse un multiplicador de periodicidad.

Para el conjunto que representa todas las notas de la escala mayor occidental : [1 9 ⁄ 8 5 ⁄ 4 4 ⁄ 3 3 ⁄ 2 5 ⁄ 3 15 ⁄ 8 ] el LCD es 24 por lo tanto T = 24 ⁄ f .
Para el conjunto que representa todas las notas de una tríada mayor: [1 5 ⁄ 4 3 ⁄ 2 ] el LCD es 4 por lo tanto T = 4 ⁄ f .
Para el conjunto que representa todas las notas de una tríada menor: [1 6 ⁄ 5 3 ⁄ 2 ] el LCD es 10 por lo tanto T = 10 ⁄ f .

Si no existe un mínimo común denominador, por ejemplo, si uno de los elementos anteriores fuera irracional, entonces la onda no sería periódica. ^{[ 6 ]}

Véase también

Función casi periódica : función que "converge" a la periodicidad.
Amplitud : medida del cambio en una variable periódica.
Onda continua – Onda electromagnética que no es pulsada.
Tono definido : tono fácilmente discernible
Método de la doble esfera de Fourier : técnica matemática
Función doblemente periódica : función con dos "períodos" de números complejos.
Transformada de Fourier para calcular la periodicidad en datos espaciados uniformemente.
Frecuencia : número de ocurrencias o ciclos por unidad de tiempo.
Ecuación diferencial de Hill : ecuación diferencial lineal de segundo orden que presenta una función periódica.
Análisis espectral de mínimos cuadrados para calcular la periodicidad en datos espaciados de forma desigual.
Lista de funciones periódicas
Sucesión periódica : secuencia en la que los mismos términos se repiten una y otra vez.
Suma periódica : suma de los valores de una función cada _P_ desplazamientos.
Onda viajera periódica – Tren de ondas de velocidad constante
Función cuasiperiódica : clase de funciones que se comportan "como" funciones periódicas.
Estacionalidad : variaciones en los datos a intervalos regulares específicos inferiores a un año.
Variación secular : variación no periódica a largo plazo.
Espectro (ciencias físicas) – Concepto relacionado con ondas y señales
Longitud de onda : distancia sobre la cual se repite la forma de una onda.

Referencias

1 2 Tolstov, Georgij Pavlovič; Tolstov, Georgij Pavlovič (2009). Serie de Fourier . Libros de Dover sobre matemáticas (Nachdr. ed.). Nueva York: Dover Publ. pag. 1.ISBN 978-0-486-63317-6.
↑ Para algunas funciones, como una función constante o la función de Dirichlet (la función indicadora de los números racionales ), puede que no exista un período mínimo positivo (el ínfimo de todos los períodos positivos). $P$ siendo cero).
^ Tolstov , Georgij Pavlovič (2009). Serie de Fourier . Libros de Dover sobre matemáticas (Nachdr. ed.). Nueva York: Dover Publ. pag. 2.ISBN 978-0-486-63317-6.
↑ Por ejemplo, para las funciones L ² , el teorema de Carleson establece que tienen una serie de Fourier convergente casi en todas partes ( Lebesgue ) puntual .
↑ Weisstein, Eric W. "Función antiperiódica" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 6 de junio de 2024 .
↑ Summerson, Samantha R. (5 de octubre de 2009). "Periodicidad, series de Fourier reales y transformadas de Fourier" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 25 de agosto de 2019. Recuperado el 24 de marzo de 2018 .

Ekeland, Ivar (1990). "Uno". Métodos de convexidad en mecánica hamiltoniana . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (3)]. vol. 19. Berlín: Springer-Verlag. págs.x +247. ISBN 3-540-50613-6. MR 1051888 .

Enlaces externos

"Función periódica" . Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
Weisstein, Eric W. "Función periódica" . MathWorld .

[:0-1] 1 2 Tolstov, Georgij Pavlovič; Tolstov, Georgij Pavlovič (2009). Serie de Fourier . Libros de Dover sobre matemáticas (Nachdr. ed.). Nueva York: Dover Publ. pag. 1.ISBN 978-0-486-63317-6.

[2] Para algunas funciones, como una función constante o la función de Dirichlet (la función indicadora de los números racionales ), puede que no exista un período mínimo positivo (el ínfimo de todos los períodos positivos). $P$ siendo cero).

[:1-3] Tolstov , Georgij Pavlovič (2009). Serie de Fourier . Libros de Dover sobre matemáticas (Nachdr. ed.). Nueva York: Dover Publ. pag. 2.ISBN 978-0-486-63317-6.

[4] Por ejemplo, para las funciones L ² , el teorema de Carleson establece que tienen una serie de Fourier convergente casi en todas partes ( Lebesgue ) puntual .

[5] Weisstein, Eric W. "Función antiperiódica" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 6 de junio de 2024 .

[6] Summerson, Samantha R. (5 de octubre de 2009). "Periodicidad, series de Fourier reales y transformadas de Fourier" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 25 de agosto de 2019. Recuperado el 24 de marzo de 2018 .

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