Método de doble esfera de Fourier

En matemáticas, el método de la doble esfera de Fourier ( DFS, por sus siglas en inglés ) es una técnica que transforma una función definida en la superficie de la esfera en una función definida en un dominio rectangular, conservando la periodicidad tanto en la dirección de longitud como en la de latitud.

Primero, una función en la esfera se escribe utilizando coordenadas esféricas , es decir, ${\displaystyle f(x,y,z)}$${\displaystyle f(\lambda ,\theta )}$

${\displaystyle f(\lambda ,\theta )=f(\cos \lambda \sin \theta ,\sin \lambda \sin \theta ,\cos \theta ),(\lambda ,\theta )\in [-\pi ,\pi ]\times [0,\pi ].}$

La función es periódica en , pero no periódica en . La periodicidad en la dirección latitudinal se ha perdido. Para recuperarla, la función se "duplica" y se define una función relacionada en como ${\displaystyle f(\lambda ,\theta )}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle [-\pi,\pi]\times [-\pi,\pi]}$

${\displaystyle {\tilde {f}}(\lambda ,\theta )={\begin{cases}g(\lambda +\pi ,\theta ),&(\lambda ,\theta )\in [-\pi ,0]\times [0,\pi ],\\h(\lambda ,\theta ),&(\lambda ,\theta )\in [0,\pi ]\times [0,\pi ],\\g(\lambda ,-\theta ),&(\lambda ,\theta )\in [0,\pi ]\times [-\pi ,0],\\h(\lambda +\pi ,-\theta ),&(\lambda ,\theta )\in [-\pi ,0]\times [-\pi ,0],\\\end{cases}}}$

donde y para . La nueva función es -periódica en y , y es constante a lo largo de las líneas y , correspondientes a los polos. ${\displaystyle g(\lambda ,\theta )=f(\lambda -\pi ,\theta )}$${\displaystyle h(\lambda ,\theta )=f(\lambda ,\theta )}$${\displaystyle (\lambda ,\theta )\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]}$${\displaystyle {\tilde {f}}}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta =0}$${\displaystyle \theta =\pm \pi }$

La función se puede expandir en una serie de Fourier doble. ${\displaystyle {\tilde {f}}}$

${\displaystyle {\tilde {f}}\approx \sum _{j=-n}^{n}\sum _{k=-n}^{n}a_{jk}e^{ij\theta }e^{ik\lambda }}$

El método DFS fue propuesto por Merilees ^{[ 1 ]} y desarrollado posteriormente por Steven Orszag ^{[ 2 ]} . Desde entonces, el método DFS ha sido objeto de relativamente pocas investigaciones (una notable excepción es el trabajo de Fornberg) ^{[ 3 ]} , quizás debido al predominio de las expansiones en armónicos esféricos . En los últimos quince años, ha comenzado a utilizarse para el cálculo de campos gravitatorios cerca de agujeros negros ^{[ 4 ]} y para un novedoso análisis espectral espaciotemporal ^{[ 5 ]} .