Ecuación diferencial parcial

Trabajando en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, las derivadas parciales de una función${\displaystyle u}$puede denotarse por $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}}$$ o con un subíndice $${\displaystyle u_{x_{i}}.}$$

Para derivadas múltiples, se puede utilizar la notación de índices múltiples . Por lo tanto, si${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$, la longitud de${\displaystyle \alpha }$se denota por${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$y la iteración parcial se denota por $${\displaystyle D^{\alpha }u={\frac {\partial ^{k}u}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.}$$

En la definición anterior ^{[ 5 ]} de una ecuación diferencial parcial, las potencias de${\displaystyle D}$son los tensores cuyos componentes son las derivadas parciales de${\displaystyle u}$; Por ejemplo${\displaystyle D^{k}u}$es un tensor que tiene${\displaystyle n^{k}}$componentes que son una disposición del conjunto${\displaystyle \{D^{\alpha }u\mid |\alpha |=k\}}$después de tener en cuenta la conmutatividad de las derivadas parciales.

La letra griega Δ denota el operador de Laplace ; si u es una función de n variables, entonces $${\displaystyle \Delta u=u_{11}+u_{22}+\cdots +u_{nn}.}$$ En la literatura física, el operador de Laplace se suele denotar por ∇² ^; en la literatura matemática, ∇²u también puede denotar la matriz hessiana ^de u , que aquí se denota por${\displaystyle D^{2}u}$.

Una EDP se denomina lineal si es lineal en la incógnita y sus derivadas. Por ejemplo, para una función u de x e y , una EDP lineal de segundo orden tiene la forma $${\displaystyle a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+a_{5}(x,y)u_{x}+a_{6}(x,y)u_{y}+a_{7}(x,y)u=f(x,y)}$$ donde a _i y f son funciones únicamente de las variables independientes x e y . (A menudo se igualan las derivadas parciales mixtas u _xy y u _yx , pero esto no es necesario para el análisis de la linealidad). Si las a _i son constantes (independientes de x e y ), la ecuación diferencial parcial se denomina lineal con coeficientes constantes . Si f es cero en todas partes, la ecuación diferencial parcial lineal es homogénea ; de lo contrario, es no homogénea . (Esto es distinto de la homogeneización asintótica , que estudia los efectos de las oscilaciones de alta frecuencia en los coeficientes sobre las soluciones de las ecuaciones diferenciales parciales).

Las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) semilineales son las más cercanas a las lineales , donde solo las derivadas de orden superior aparecen como términos lineales, con coeficientes que son funciones de las variables independientes. Las derivadas de orden inferior y la función desconocida pueden aparecer arbitrariamente. Por ejemplo, una EDP semilineal general de segundo orden en dos variables es: $${\displaystyle a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$$

En una EDP cuasilineal , las derivadas de orden más alto también aparecen solo como términos lineales, pero con coeficientes que posiblemente sean funciones de la incógnita y de las derivadas de orden inferior: $${\displaystyle a_{1}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xx}+a_{2}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xy}+a_{3}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yx}+a_{4}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$$ Muchas de las ecuaciones diferenciales parciales fundamentales en física son cuasilineales, como las ecuaciones de Einstein de la relatividad general y las ecuaciones de Navier-Stokes que describen el movimiento de fluidos.

Una EDP sin propiedades de linealidad se denomina totalmente no lineal y posee no linealidades en una o más de las derivadas de orden superior. Un ejemplo es la ecuación de Monge-Ampère , que surge en geometría diferencial . ^{[ 6 ]}

La clasificación elíptica/parabólica/hiperbólica proporciona una guía para las condiciones iniciales y de contorno apropiadas y para la suavidad de las soluciones. Suponiendo u _xy = u _yx , la EDP lineal general de segundo orden en dos variables independientes tiene la forma $${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+\cdots {\mbox{(lower order terms)}}=0,}$$ donde los coeficientes A , B , C ... pueden depender de x e y . Si A² ⁺ B² + C² > 0 ^en una región del ^plano xy , la EDP es de segundo orden en esa región . Esta forma es análoga a la ecuación de una sección cónica: $${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.}$$

Más precisamente, al reemplazar ∂ _x por X , y de igual manera para otras variables (formalmente esto se hace mediante una transformada de Fourier ), se convierte una EDP de coeficiente constante en un polinomio del mismo grado, siendo los términos de mayor grado (un polinomio homogéneo , en este caso una forma cuadrática ) los más significativos para la clasificación.

Así como se clasifican ^las secciones cónicas y las formas cuadráticas en parabólicas, hiperbólicas y elípticas según el discriminante B² - 4AC , ^se puede hacer lo mismo para una EDP de segundo orden en un punto dado. Sin embargo, el discriminante en una EDP viene dado por B² - AC debido a la convención de que el término xy sea 2B en lugar de B ; formalmente, el discriminante (de la forma cuadrática asociada) es ( 2B ) ^² - 4AC = 4( B² - AC ) , omitiendo el factor 4 por simplicidad ^.

1. B ² − AC < 0 ( ecuación diferencial parcial elíptica ): Las soluciones de las EDP elípticas son tan suaves como lo permiten los coeficientes, dentro del interior de la región donde se definen la ecuación y las soluciones. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación de Laplace son analíticas dentro del dominio donde se definen, pero pueden asumir valores de contorno que no son suaves. El movimiento de un fluido a velocidades subsónicas se puede aproximar con EDP elípticas, y la ecuación de Euler-Tricomi es elíptica cuando x < 0. Mediante un cambio de variables, la ecuación siempre se puede expresar de la forma:$${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}+\cdots =0,}$$donde x e y corresponden a variables cambiadas. Esto justifica la ecuación de Laplace como un ejemplo de este tipo. ^{[ 7 ]}
2. B² − AC = 0 ( ecuación diferencial parcial parabólica ): Las ecuaciones que son parabólicas en cada punto pueden transformarse en una forma análoga a la ecuación del calor mediante un cambio de variables independientes. Las soluciones se suavizan a medida que aumenta la variable ^de tiempo transformada. La ecuación de Euler-Tricomi tiene un carácter parabólico en la recta donde x = 0. Mediante un cambio de variables, la ecuación siempre puede expresarse de la forma:$${\displaystyle u_{xx}+\cdots =0,}$$donde x corresponde a variables cambiadas. Esto justifica la ecuación del calor , que tiene la forma${\textstyle u_{t}-u_{xx}+\cdots =0}$, como ejemplo de este tipo. ^{[ 7 ]}
3. B² ⁻ AC > 0 ( ecuación diferencial parcial hiperbólica ):las ecuaciones hiperbólicas conservan cualquier discontinuidad de funciones o derivadas en los datos iniciales. Un ejemplo es la ecuación de onda . El movimiento de un fluido a velocidades supersónicas puede aproximarse con EDP hiperbólicas, y la ecuación de Euler-Tricomi es hiperbólica cuando x > 0. Mediante un cambio de variables, la ecuación siempre puede expresarse de la forma:$${\displaystyle u_{xx}-u_{yy}+\cdots =0,}$$donde x e y corresponden a variables modificadas. Esto justifica la ecuación de onda como un ejemplo de este tipo. ^{[ 7 ]}

Si hay n variables independientes x ₁ , x ₂ , …, x _n , una ecuación diferencial parcial lineal general de segundo orden tiene la forma $${\displaystyle Lu=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\quad +{\text{lower-order terms}}=0.}$$

La clasificación depende de la firma de los valores propios de la matriz de coeficientes a _{i , j} .

1. Elíptica: los valores propios son todos positivos o todos negativos.
2. Parabólica: los valores propios son todos positivos o todos negativos, excepto uno que es cero.
3. Hiperbólico: existe un único valor propio negativo y todos los demás son positivos, o bien existe un único valor propio positivo y todos los demás son negativos.
4. Ultrahiperbólico: hay más de un valor propio positivo y más de un valor propio negativo, y no hay valores propios cero. ^{[ 8 ]}

La teoría de las ecuaciones elípticas, parabólicas e hiperbólicas se ha estudiado durante siglos, centrándose principalmente en los ejemplos estándar de la ecuación de Laplace , la ecuación del calor y la ecuación de onda , o basándose en ellos .

Sin embargo, la clasificación depende únicamente de la linealidad de los términos de segundo orden y, por lo tanto, también es aplicable a EDP semilineales y cuasilineales. Los tipos básicos también se extienden a ecuaciones híbridas como la ecuación de Euler-Tricomi , que varía de elíptica a hiperbólica en diferentes regiones del dominio, así como a EDP de orden superior, pero este conocimiento es más especializado.

La clasificación de ecuaciones diferenciales parciales puede extenderse a sistemas de ecuaciones de primer orden, donde la incógnita u es ahora un vector con m componentes, y las matrices de coeficientes A _ν son matrices de m × m para ν = 1, 2, …, n . La ecuación diferencial parcial toma la forma $${\displaystyle Lu=\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial u}{\partial x_{\nu }}}+B=0,}$$ donde las matrices de coeficientes A _ν y el vector B pueden depender de x y u . Si una hipersuperficie S se da en la forma implícita $${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,}$$ donde φ tiene un gradiente distinto de cero, entonces S es una superficie característica para el operador L en un punto dado si la forma característica se anula: $${\displaystyle Q\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right)=\det \left[\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\nu }}}\right]=0.}$$

La interpretación geométrica de esta condición es la siguiente: si se prescriben datos para u en la superficie S , entonces es posible determinar la derivada normal de u en S a partir de la ecuación diferencial. Si los datos en S y la ecuación diferencial determinan la derivada normal de u en S , entonces S no es característica. Si los datos en S y la ecuación diferencial no determinan la derivada normal de u en S , entonces la superficie es característica y la ecuación diferencial restringe los datos en S : la ecuación diferencial es interna a S.

1. Un sistema de primer orden Lu = 0 es elíptico si ninguna superficie es característica de L : los valores de u en S y la ecuación diferencial siempre determinan la derivada normal de u en S.
2. Un sistema de primer orden es hiperbólico en un punto si existe una superficie espacial S con normal ξ en ese punto. Esto significa que, dado cualquier vector no trivial η ortogonal a ξ y un multiplicador escalar λ , la ecuación Q ( λξ + η ) = 0 tiene m raíces reales λ₁ _, λ₂ _, ... , λm _. El sistema es estrictamente hiperbólico si estas raíces son siempre distintas. La interpretación geométrica de esta condición es la siguiente: la forma característica Q ( ζ ) = 0 define un cono (el cono normal) con coordenadas homogéneas ζ. En el caso hiperbólico, este cono tiene nm hojas, y el eje ζ = λξ se encuentra dentro de estas hojas: no interseca ninguna de ellas. Pero cuando se desplaza del origen una distancia η, este eje interseca todas las hojas. En el caso elíptico, el cono normal no tiene hojas reales.

Las EDP lineales pueden reducirse a sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias mediante la importante técnica de separación de variables. Esta técnica se basa en una característica de las soluciones de ecuaciones diferenciales: si se puede encontrar una solución que resuelva la ecuación y satisfaga las condiciones de contorno, entonces es la solución (esto también se aplica a las EDO). Suponemos, como hipótesis , que la dependencia de una solución con respecto a los parámetros espacio y tiempo puede expresarse como un producto de términos, cada uno de los cuales depende de un único parámetro, y luego analizamos si esto permite resolver el problema. ^{[ 9 ]}

En el método de separación de variables, una ecuación diferencial parcial se reduce a una ecuación diferencial parcial con menos variables, que es una ecuación diferencial ordinaria si tiene una sola variable; estas, a su vez, son más fáciles de resolver.

Esto es posible para ecuaciones diferenciales parciales simples, llamadas ecuaciones diferenciales parciales separables , cuyo dominio suele ser un rectángulo (producto de intervalos). Las ecuaciones diferenciales parciales separables corresponden a matrices diagonales : al considerar el valor de una x fija como una coordenada, cada coordenada puede entenderse por separado.

Esto se generaliza al método de las características y también se utiliza en las transformadas integrales .

La superficie característica en un espacio n = 2 - dimensional se llama curva característica . ^{[ 10 ]} En casos especiales, se pueden encontrar curvas características en las que la EDP de primer orden se reduce a una EDO: cambiar las coordenadas en el dominio para enderezar estas curvas permite la separación de variables y se llama método de las características .

En términos más generales, al aplicar el método a ecuaciones diferenciales parciales de primer orden en dimensiones superiores, se pueden encontrar superficies características.

Una transformación integral puede convertir la ecuación diferencial parcial en una más simple, en particular, una ecuación diferencial parcial separable. Esto corresponde a diagonalizar un operador.

Un ejemplo importante de esto es el análisis de Fourier , que diagonaliza la ecuación del calor utilizando la base de autovalores de las ondas sinusoidales.

Si el dominio es finito o periódico, resulta apropiada una suma infinita de soluciones, como una serie de Fourier ; sin embargo, para dominios infinitos, generalmente se requiere una integral de soluciones, como una integral de Fourier . La solución para una fuente puntual en la ecuación del calor mencionada anteriormente es un ejemplo del uso de una integral de Fourier.

A menudo, una ecuación diferencial parcial se puede reducir a una forma más simple con una solución conocida mediante un cambio de variables adecuado . Por ejemplo, la ecuación de Black-Scholes.$${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}$$ es reducible a la ecuación del calor$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$$ por el cambio de variables ^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}V(S,t)&=v(x,\tau ),\\x&=\ln \left(S\right),\\\tau &={\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t),\\v(x,\tau )&=e^{-\alpha x-\beta \tau }u(x,\tau ).\end{aligned}}}$$

Las ecuaciones no homogéneas a menudo se pueden resolver (para EDP con coeficientes constantes, siempre se pueden resolver) encontrando la solución fundamental (la solución para una fuente puntual).${\displaystyle P(D)u=\delta }$), luego tomando la convolución con las condiciones de contorno para obtener la solución.

En el procesamiento de señales, esto es análogo a comprender un filtro mediante su respuesta impulsional .

El principio de superposición se aplica a cualquier sistema lineal, incluidos los sistemas lineales de EDP. Una visualización común de este concepto es la interacción de dos ondas en fase que se combinan para dar como resultado una amplitud mayor, por ejemplo, sen x + sen x = 2 sen x . El mismo principio se puede observar en EDP cuyas soluciones pueden ser reales o complejas y aditivas. Si u ₁ y u ₂ son soluciones de una EDP lineal en algún espacio funcional R , entonces u = c ₁ u ₁ + c ₂ u ₂ con cualesquiera constantes c ₁ y c ₂ también es una solución de esa EDP en el mismo espacio funcional.

No existen métodos analíticos de aplicación general para resolver ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Sin embargo, a menudo es posible obtener resultados de existencia y unicidad (como el teorema de Cauchy-Kowalevski ), así como demostraciones de importantes propiedades cualitativas y cuantitativas de las soluciones (obtener estos resultados es una parte fundamental del análisis ).

No obstante, algunas técnicas pueden utilizarse para diversos tipos de ecuaciones. El principio h es el método más eficaz para resolver ecuaciones subdeterminadas . La teoría de Riquier-Janet es un método efectivo para obtener información sobre muchos sistemas analíticos sobredeterminados .

El método de las características puede utilizarse en algunos casos muy especiales para resolver ecuaciones diferenciales parciales no lineales. ^{[ 12 ]}

En algunos casos, una ecuación diferencial parcial (EDP) puede resolverse mediante análisis de perturbación, donde la solución se considera una corrección a una ecuación con solución conocida. Otras alternativas son las técnicas de análisis numérico , desde esquemas sencillos de diferencias finitas hasta los métodos más avanzados de multigrid y elementos finitos . Muchos problemas interesantes en ciencia e ingeniería se resuelven de esta manera utilizando ordenadores , a veces superordenadores de alto rendimiento .

Desde 1870, la obra de Sophus Lie sentó las bases más sólidas para la teoría de las ecuaciones diferenciales. Demostró que las teorías de integración de los matemáticos clásicos, mediante la introducción de lo que hoy se denomina grupos de Lie , pueden vincularse a una fuente común; y que las ecuaciones diferenciales ordinarias que admiten las mismas transformaciones infinitesimales presentan dificultades de integración comparables. Asimismo, hizo hincapié en el tema de las transformaciones de contacto .

Un enfoque general para resolver ecuaciones diferenciales parciales utiliza la propiedad de simetría de las ecuaciones diferenciales, las transformaciones infinitesimales continuas de soluciones a soluciones ( teoría de Lie ). La teoría de grupos continuos , las álgebras de Lie y la geometría diferencial se utilizan para comprender la estructura de las ecuaciones diferenciales parciales lineales y no lineales, generar ecuaciones integrables, encontrar sus pares de Lax , operadores de recursión, la transformada de Bäcklund y, finalmente, hallar soluciones analíticas exactas para la ecuación diferencial parcial.

Los métodos de simetría se han reconocido para estudiar ecuaciones diferenciales que surgen en matemáticas, física, ingeniería y muchas otras disciplinas.

El método de descomposición de Adomian , ^{[ 13 ]} el método de parámetros pequeños artificiales de Lyapunov y su método de perturbación homotópica son todos casos especiales del método de análisis homotópico más general . ^{[ 14 ]} Estos son métodos de expansión en serie y, a excepción del método de Lyapunov, son independientes de parámetros físicos pequeños en comparación con la conocida teoría de perturbación , lo que les confiere mayor flexibilidad y generalidad de solución.

El método de elementos finitos (MEF) (cuya aplicación práctica se conoce a menudo como análisis de elementos finitos (AEF)) es una técnica numérica para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) y de ecuaciones integrales mediante un conjunto finito de funciones. ^{[ 15 ] [ 16 ]} El enfoque de solución se basa en eliminar completamente la ecuación diferencial (problemas de estado estacionario) o en transformar la EDP en un sistema aproximado de ecuaciones diferenciales ordinarias, que luego se integran numéricamente utilizando técnicas estándar como el método de Euler, Runge-Kutta, etc.

Los métodos de diferencias finitas son métodos numéricos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales utilizando ecuaciones de diferencias finitas para aproximar las derivadas.

De forma similar al método de diferencias finitas o al método de elementos finitos, los valores se calculan en puntos discretos de una geometría mallada. El término "volumen finito" se refiere al pequeño volumen que rodea cada nodo de la malla. En el método de volumen finito, las integrales de superficie de una ecuación diferencial parcial que contienen un término de divergencia se convierten en integrales de volumen, utilizando el teorema de la divergencia . Estos términos se evalúan como flujos en las superficies de cada volumen finito. Dado que el flujo que entra en un volumen determinado es idéntico al que sale del volumen adyacente, estos métodos conservan la masa por diseño.

La buena formulación se refiere a un conjunto común de información esquemática sobre una ecuación diferencial parcial (EDP). Para decir que una EDP está bien formulada, se debe tener:

• un teorema de existencia y unicidad, que afirma que mediante la prescripción de algunas funciones elegidas libremente, se puede seleccionar una solución específica de la ecuación diferencial parcial.
• Al cambiar continuamente las opciones libres, se cambia continuamente la solución correspondiente.

Esto, debido a la necesidad de ser aplicable a varias EDP diferentes, resulta algo vago. El requisito de "continuidad", en particular, es ambiguo, ya que generalmente existen muchos métodos no equivalentes para definirlo rigurosamente. Sin embargo, es poco común estudiar una EDP sin especificar una forma en que esté bien planteada.

La regularidad se refiere a la integrabilidad y diferenciabilidad de soluciones débiles, que a menudo pueden representarse mediante espacios de Sobolev .

Este problema surge debido a la dificultad de encontrar soluciones clásicas. Los investigadores suelen buscar primero soluciones débiles y luego determinar si son lo suficientemente suaves como para considerarse soluciones clásicas.

Los resultados del análisis funcional se utilizan con frecuencia en este campo de estudio.