Procesos estocásticos y problemas de valores en la frontera

En matemáticas , algunos problemas de valor en la frontera se pueden resolver utilizando los métodos de análisis estocástico . Quizás el ejemplo más famoso sea la solución de Shizuo Kakutani de 1944 del problema de Dirichlet para el operador de Laplace utilizando el movimiento browniano . Sin embargo, resulta que para una gran clase de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden semielípticas, el problema de valor en la frontera de Dirichlet asociado se puede resolver utilizando un proceso de Itō que resuelve una ecuación diferencial estocástica asociada .

Sea un dominio (un conjunto abierto y conexo ) en . Sea el operador de Laplace , sea una función acotada en el límite , y considere el problema: ${\estilo de visualización D}$${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$${\estilo de visualización \Delta}$${\estilo de visualización g}$ ${\displaystyle \partial D}$

${\displaystyle {\begin{cases}-\Delta u(x)=0,&x\in D\\\displaystyle {\lim _{y\to x}u(y)}=g(x),&x\in \partial D\end{cases}}}$

Se puede demostrar que si existe una solución, entonces es el valor esperado de en el primer punto de salida (aleatorio) de para un movimiento browniano canónico que comienza en . Véase el teorema 3 en Kakutani 1944, p. 710. ${\displaystyle u}$${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x}$

Sea un dominio en y sea un operador diferencial semielíptico en de la forma: ${\displaystyle D}$${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle L}$${\textstyle C^{2}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$

${\displaystyle L=\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}}$

donde los coeficientes y son funciones continuas y todos los valores propios de la matriz son no negativos. Sea y . Consideremos el problema de Poisson : ${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle \alpha (x)=a_{ij}(x)}$${\textstyle f\in C(D;\mathbb {R} )}$${\textstyle g\in C(\partial D;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\begin{cases}-Lu(x)=f(x),&x\in D\\\displaystyle {\lim _{y\to x}u(y)}=g(x),&x\in \partial D\end{cases}}\quad {\mbox{(P1)}}}$

La idea del método estocástico para resolver este problema es la siguiente. En primer lugar, se encuentra una difusión de Itō cuyo generador infinitesimal coincide con dos funciones con soporte compacto . Por ejemplo, se puede tomar como la solución de la ecuación diferencial estocástica: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} B_{t}}$

donde es un movimiento browniano n -dimensional, tiene componentes como los anteriores y el campo matricial se elige de modo que: ${\displaystyle B}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (x)\sigma (x)^{\top }=a(x),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}}$

Para un punto , sea la ley de un dato inicial dado , y sea la expectativa con respecto a . Sea el primer tiempo de salida de desde . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{0}=x}$${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$${\displaystyle \tau _{D}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$

En esta notación, la solución candidata para (P1) es:

${\displaystyle u(x)=\mathbb {E} ^{x}\left[g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}\cdot \chi _{\{\tau _{D}<+\infty \}}\right]+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{t})\,\mathrm {d} t\right]}$

siempre que sea una función acotada y que: ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}{\big |}f(X_{t}){\big |}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty }$

Resulta que se requiere una condición más:

${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}{\big (}\tau _{D}<\infty {\big )}=1,\quad \forall x\in D}$

Para todos , el proceso que comienza en casi seguramente termina en un tiempo finito. Bajo este supuesto, la solución candidata anterior se reduce a: ${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle u(x)=\mathbb {E} ^{x}\left[g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}\right]+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{t})\,\mathrm {d} t\right]}$

y resuelve (P1) en el sentido de que si denota el operador característico para (lo cual concuerda con en funciones), entonces: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C^{2}}$

${\displaystyle {\begin{cases}-{\mathcal {A}}u(x)=f(x),&x\in D\\\displaystyle {\lim _{t\uparrow \tau _{D}}u(X_{t})}=g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )},&\mathbb {P} ^{x}{\mbox{-a.s.,}}\;\forall x\in D\end{cases}}\quad {\mbox{(P2)}}}$

Además, si satisface (P2) y existe una constante tal que, para todo : ${\textstyle v\in C^{2}(D;\mathbb {R} )}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x\in D}$

${\displaystyle |v(x)|\leq C\left(1+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}{\big |}g(X_{s}){\big |}\,\mathrm {d} s\right]\right)}$

entonces . ${\displaystyle v=u}$

• Kakutani, Shizuo (1944). "Movimiento browniano bidimensional y funciones armónicas". Proc. Imp. Acad. Tokio . 20 (10): 706–714. doi : 10.3792/pia/1195572706 .
• Kakutani, Shizuo (1944). "Sobre movimientos brownianos en el espacio n". Proc. Imp. Acad. Tokio . 20 (9): 648–652. doi : 10.3792/pia/1195572742 .
• Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (sexta edición). Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1.(Véase la Sección 9)