Relación inversa

En matemáticas , la recíproca de una relación binaria es la relación que se produce cuando se invierte el orden de los elementos en la relación. Por ejemplo, la recíproca de la relación 'hijo  de' es la relación 'padre  de'. En términos formales, si${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son conjuntos y${\displaystyle L\subsetequ X\times Y}$es una relación de${\displaystyle X}$a${\displaystyle Y,}$entonces${\displaystyle L^{\operatorname {T} }}$es la relación definida de modo que${\displaystyle yL^{\operatorname {T} }x}$si y solo si${\displaystyle xLy.}$En notación de construcción de conjuntos ,

${\displaystyle L^{\operatorname {T} }=\{(y,x)\in Y\times X:(x,y)\in L\}.}$

Dado que una relación puede representarse mediante una matriz lógica , y la matriz lógica de la relación inversa es la transpuesta de la original, la relación inversa ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} también se denomina relación transpuesta . ^{[ 5 ]} También se la ha denominado opuesta o dual de la relación original, ^{[ 6 ]} la inversa de la relación original, ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} o la recíproca.${\displaystyle L^{\circ }}$de la relación${\displaystyle L.}$^{[ 11 ]}

Otras notaciones para la relación inversa incluyen:${\displaystyle L^{\operatorname {C} },L^{-1},{\breve {L}},L^{\circ },}$o${\displaystyle L^{\vee }.}$

La notación es análoga a la de una función inversa . Aunque muchas funciones no tienen inversa, toda relación tiene una conversa única. La operación unaria que transforma una relación en su conversa es una involución , por lo que induce la estructura de un semigrupo con involución en las relaciones binarias de un conjunto, o, más generalmente, induce una categoría de daga en la categoría de relaciones, como se detalla más adelante . Como operación unaria , tomar la conversa (a veces llamada conversión o transposición ) conmuta con las operaciones relacionadas con el orden del cálculo de relaciones, es decir, conmuta con la unión, la intersección y el complemento.

Para las relaciones de orden usuales (quizás estrictas o parciales) , lo recíproco es el orden "opuesto" que se espera ingenuamente, por ejemplo,${\displaystyle {\leq ^{\operatorname {T} }}={\geq },\quad {<^{\operatorname {T} }}={>}.}$En la teoría del orden, el recíproco de un orden parcial${\displaystyle \leq }$se suele llamar su dual y se denota por${\displaystyle \leq ^{d}}$o por${\displaystyle \leq ^{\ast }}$.

Una relación puede representarse mediante una matriz lógica como por ejemplo: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

Entonces, la relación inversa está representada por su matriz transpuesta : $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&0&1&0\\1&1&0&1\end{pmatrix}}.}$$

Muchas relaciones de parentesco en inglés tienen relaciones inversas que también reciben nombre. Así, la relación "is-a-child-of" tiene como inversa la relación "is-a-parent-of" . De igual modo, la inversa de " is-a- nephew-or-niece -of " es " is-an- uncle -or- aunt -of" . En cuanto a la relación "is-a- sibling -of" , es su propia inversa, ya que es una relación simétrica .

En el monoide de endorrelaciones binarias sobre un conjunto (donde la operación binaria sobre las relaciones es la composición de relaciones ), la relación inversa no satisface la definición de inversa de la teoría de grupos, es decir, si${\displaystyle L}$es una relación arbitraria en${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle L\circ L^{\operatorname {T} }}$no es igual a la relación de identidad en${\displaystyle X}$En general. La relación inversa sí satisface los axiomas (más débiles) de un semigrupo con involución :${\displaystyle \left(L^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=L}$y${\displaystyle (L\circ R)^{\operatorname {T} }=R^{\operatorname {T} }\circ L^{\operatorname {T} }.}$^{[ 12 ]}

Dado que generalmente se pueden considerar relaciones entre conjuntos diferentes (que forman una categoría en lugar de un monoide, a saber, la categoría de relaciones Rel ), en este contexto la relación inversa se ajusta a los axiomas de una categoría daga ( también conocida como categoría con involución). ^{[ 12 ]} Una relación igual a su inversa es una relación simétrica ; en el lenguaje de las categorías daga, es autoadjunta .

Además, el semigrupo de endorrelaciones sobre un conjunto es también una estructura parcialmente ordenada (con inclusión de relaciones como conjuntos) y, de hecho, un cuantal involutivo . De manera similar, la categoría de relaciones heterogéneas , Rel, también es una categoría ordenada. ^{[ 12 ]}

En el cálculo de relaciones , la conversión (la operación unaria de tomar la relación inversa) conmuta con otras operaciones binarias de unión e intersección. La conversión también conmuta con la operación unaria de complementación , así como con la toma de supremas e ínfimos. La conversión también es compatible con el ordenamiento de relaciones por inclusión. ^{[ 5 ]}

Si una relación es reflexiva , irreflexiva , simétrica , antisimétrica , asimétrica , transitiva , conexa , tricotómica , de orden parcial , de orden total , de orden débil estricto , de preorden total (orden débil) o una relación de equivalencia , su recíproca también lo es.

Si${\displaystyle I}$representa la relación de identidad, luego una relación${\displaystyle R}$puede tener una inversa como sigue:${\displaystyle R}$se llama

invertible por la derecha

si existe una relación${\displaystyle X,}$llamado uninverso derecho de${\displaystyle R,}$que satisface${\displaystyle R\circ X=I.}$

invertible por la izquierda

si existe una relación ${\displaystyle Y,}$llamado un inverso izquierdo de${\displaystyle R,}$que satisface${\displaystyle Y\circ R=I.}$

invertible

si es invertible tanto por la derecha como por la izquierda.

Para una relación homogénea invertible${\displaystyle R,}$todos los inversos derechos e izquierdos coinciden; este conjunto único se llama suinversa y se denota por${\displaystyle R^{-1}.}$En este caso,${\displaystyle R^{-1}=R^{\operatorname {T} }}$sostiene. ^{[ 5 ] : 79}

Mediante la composición de relaciones , una relación puede componerse con su recíproca.

Para la relación de subconjunto${\displaystyle \subseteq }$en el conjunto de potencia${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)}$de un universo${\displaystyle U}$, ambas composiciones con su recíproco son la relación universal en${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)}$:

${\displaystyle (\subseteq )\circ (\supseteq )={\mathcal {P}}(U)\times {\mathcal {P}}(U)\quad {\text{and}}\quad (\supseteq )\circ (\subseteq )={\mathcal {P}}(U)\times {\mathcal {P}}(U).}$

De hecho, para cualquier${\displaystyle A,C\subseteq U}$,

${\displaystyle A{\big (}(\subseteq )\circ (\supseteq ){\big )}C\iff \exists B\subseteq U:\ A\subseteq B\land C\subseteq B}$

que se sostiene tomando${\displaystyle B=A\cup C}$; similarmente,

${\displaystyle A{\big (}(\supseteq )\circ (\subseteq ){\big )}C\iff \exists B\subseteq U:\ B\subseteq A\land B\subseteq C,}$

que se sostiene tomando${\displaystyle B=A\cap C}$.

Ahora consideremos la relación de pertenencia al conjunto.${\displaystyle \in \;\subseteq \ U\times {\mathcal {P}}(U)}$y su recíproco${\displaystyle \ni \;\subseteq \ {\mathcal {P}}(U)\times U}$. Para conjuntos${\displaystyle A,B\subseteq U}$,

${\displaystyle A\,(\ni \circ \in )\,B\iff \exists z\in U:\ z\in A\land z\in B\iff A\cap B\neq \emptyset ,}$

entonces${\displaystyle \ni \circ \in }$es la relación de "intersección no vacía" en${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)}$. Por el contrario, para los elementos${\displaystyle x,y\in U}$,

${\displaystyle x\,(\in \circ \ni )\,y\iff \exists A\subseteq U:\ x\in A\land y\in A,}$

lo cual siempre se cumple (por ejemplo, para${\displaystyle A=\{x,y\}}$); por eso${\displaystyle \in \circ \ni =U\times U}$es la relación universal en${\displaystyle U}$.

Las composiciones se utilizan para clasificar las relaciones según su tipo: para una relación Q , cuando la relación identidad en el rango de Q contiene Q ^T Q , entonces Q se denomina univalente . Cuando la relación identidad en el dominio de Q está contenida en QQ ^T , entonces Q se denomina total . Cuando Q es a la vez univalente y total, entonces es una función . Cuando Q ^T es univalente, entonces Q se denomina inyectiva . Cuando Q ^T es total, Q se denomina sobreyectiva . ^{[ 13 ]}

Si Q es univalente, entonces QQ ^T es una relación de equivalencia en el dominio de Q , ver Relación transitiva#Propiedades relacionadas .

• Dualidad (teoría del orden) – Término en el área matemática de la teoría del orden. 
• Grafo transpuesto : grafo dirigido con aristas invertidas 

• Halmos, Paul R. (1974), Teoría ingenua de conjuntos , Springer, p. 40 , ISBN  978-0-387-90092-6