Transponer

La transpuesta de una matriz A , denotada por AT , ^{[ 3 ] TA} , ATr , ^tA o AT ^, puede construirse mediante cualquiera de los ^siguientes métodos ^:

1. Refleja A sobre su diagonal principal (que va desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha) para obtener A ^T
2. Escribe las filas de A como las columnas de A ^T
3. Escribe las columnas de A como las filas de A ^T

Formalmente, el elemento de la i- ésima fila y la j -ésima columna de A ^T es el elemento de la j -ésima fila y la i -ésima columna de A :

${\displaystyle \left[\mathbf {A} ^{\text{T}}\right]_{ij}=\left[\mathbf {A} \right]_{ji}.}$

Si A es una matriz m × n , entonces AT ^es una matriz n × m .

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\text{T}}=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\text{T}}={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\text{T}}={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}}$

Sean A y B matrices y c un escalar .

• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)^{\text{T}}=\mathbf {A} .}$

  La operación de tomar la transpuesta es una involución (autoinversa ) .

• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)^{\text{T}}=\mathbf {A} ^{\text{T}}+\mathbf {B} ^{\text{T}}.}$

  La transposición respeta la suma .

• ${\displaystyle \left(c\mathbf {A} \right)^{\text{T}}=c(\mathbf {A} ^{\text{T}}).}$

  La transpuesta de un escalar es el mismo escalar. Junto con la propiedad anterior, esto implica que la transpuesta es una aplicación lineal del espacio de matrices m × n al espacio de matrices n × m .

• ${\displaystyle \left(\mathbf {AB} \right)^{\text{T}}=\mathbf {B} ^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}}.}$

  El orden de los factores se invierte. Por inducción, este resultado se extiende al caso general de matrices múltiples, por lo que

  ( A ₁ A ₂ ... A _{k −1} A _k ) ^T  = A _k ^T A _{k −1} ^T … A ₂ ^T A ₁ ^T  .

• ${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)=\det(\mathbf {A} ).}$

  El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su transpuesta.

• El producto escalar de dos vectores columna a y b se puede calcular como la única entrada del producto matricial.$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\text{T}}\mathbf {b} .}$$
• Si A tiene solo entradas reales, entonces A ^T A es una matriz semidefinida positiva .
• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\text{T}}.}$

  La transpuesta de una matriz invertible también es invertible, y su inversa es la transpuesta de la inversa de la matriz original. La notación A ^−T se utiliza a veces para representar cualquiera de estas expresiones equivalentes.

• Si A es una matriz cuadrada, entonces sus autovalores son iguales a los autovalores de su transpuesta, ya que comparten el mismo polinomio característico . Esto también se puede ver directamente, véase Autovalores de la transpuesta.
• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} \mathbf {a} \right)\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\mathbf {b} \right)}$para dos vectores columna${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$y el producto escalar estándar .
• Sobre cualquier campo${\displaystyle k}$, una matriz cuadrada${\displaystyle \mathbf {A} }$es similar a${\displaystyle \mathbf {A} ^{\text{T}}}$.

  Esto implica que${\displaystyle \mathbf {A} }$y${\displaystyle \mathbf {A} ^{\text{T}}}$tienen los mismos factores invariantes , lo que implica que comparten el mismo polinomio mínimo, polinomio característico y valores propios, entre otras propiedades.

  Una demostración de esta propiedad utiliza las dos observaciones siguientes.

  • Dejar${\displaystyle \mathbf {A} }$y${\displaystyle \mathbf {B} }$ser${\displaystyle n\times n}$matrices sobre algún campo base${\displaystyle k}$y dejar${\displaystyle L}$ser una extensión de campo de${\displaystyle k}$. Si${\displaystyle \mathbf {A} }$y${\displaystyle \mathbf {B} }$son similares como matrices sobre${\displaystyle L}$, entonces son similares en${\displaystyle k}$En particular, esto se aplica cuando${\displaystyle L}$es el cierre algebraico de${\displaystyle k}$.
  • Si${\displaystyle \mathbf {A} }$es una matriz sobre un cuerpo algebraicamente cerrado en forma normal de Jordan con respecto a alguna base, entonces${\displaystyle \mathbf {A} }$es similar a${\displaystyle \mathbf {A} ^{\text{T}}}$. Esto se reduce aún más a probar el mismo hecho cuando${\displaystyle \mathbf {A} }$es un bloqueo Jordan simple, lo cual es un ejercicio sencillo.

Si A es una matriz m × n y AT es su transpuesta, entonces el resultado de la ^{multiplicación} de matrices con estas dos matrices da como resultado dos matrices cuadradas: AA ^AT es ^m × m y ATA es n × n . Además , estos productos son matrices simétricas . De hecho, el producto matricial AA ^AT tiene entradas que son el producto interno de una fila de A con una columna de AT . Pero las columnas de AT ^son las filas de ^{A , por} lo que la entrada corresponde al producto interno de dos filas de A. Si p _ij es la entrada del producto, se obtiene de las filas i y j en A. La entrada p _ji también se obtiene de estas filas, por lo que p _ij = p _ji , y la matriz producto ( p _ij ) es simétrica. De manera similar, el producto ^ATA es una matriz simétrica.

Una prueba rápida de la simetría de AA ^T resulta del hecho de que es su propia transpuesta:

${\displaystyle \left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\text{T}}\right)^{\text{T}}=\left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}}=\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\text{T}}.}$^{[ 4 ]}

En un ordenador , a menudo se puede evitar transponer explícitamente una matriz en memoria simplemente accediendo a los mismos datos en un orden diferente. Por ejemplo, las bibliotecas de software para álgebra lineal , como BLAS , suelen ofrecer opciones para especificar que ciertas matrices se interpreten en orden transpuesto, evitando así la necesidad de mover los datos.

Sin embargo, aún existen varias circunstancias en las que es necesario o conveniente reordenar físicamente una matriz en memoria a su orden transpuesto. Por ejemplo, con una matriz almacenada en orden de filas , las filas de la matriz son contiguas en memoria y las columnas no lo son. Si se necesitan realizar operaciones repetidas en las columnas, por ejemplo, en un algoritmo de transformada rápida de Fourier , transponer la matriz en memoria (para que las columnas sean contiguas) puede mejorar el rendimiento al aumentar la localidad de la memoria .

Idealmente, se esperaría transponer una matriz con un mínimo de almacenamiento adicional. Esto lleva al problema de transponer una matriz n × m in situ , con un almacenamiento adicional de O(1) o, como máximo, mucho menor que mn . Para n ≠ m , esto implica una permutación compleja de los elementos de datos que no es trivial de implementar in situ. Por lo tanto, la transposición eficiente de matrices in situ ha sido objeto de numerosas publicaciones de investigación en ciencias de la computación desde finales de la década de 1950, y se han desarrollado varios algoritmos.

Sea X ^# el espacio dual algebraico de un R - módulo X. Sean X e Y R- módulos. Si u  : X → Y es una aplicación lineal , entonces su adjunto algebraico o dual , ^{[ 5 ]} es la aplicación u ^#  : Y ^# → X ^# definida por f ↦ f ∘ u . El funcional resultante u ^# ( f ) se llama retroceso de f por u . La siguiente relación caracteriza al adjunto algebraico de u ^{[ 6 ]}

⟨ u ^# ​​( f ), x ⟩ = ⟨ f , u ( x ) ⟩ para todo f ∈ Y ^# y x ∈ X

donde ⟨ • , • ⟩ es el emparejamiento natural (es decir, definido por ⟨ h , z ⟩  := h ( z ) ). Esta definición también se aplica sin cambios a los módulos izquierdos y a los espacios vectoriales. ^{[ 7 ]}

Puede verse que la definición de la transpuesta es independiente de cualquier forma bilineal en los módulos, a diferencia de la adjunta ( abajo ).

El espacio dual continuo de un espacio vectorial topológico (TVS) X se denota por X ′ . Si X e Y son TVS, entonces una aplicación lineal u  : X → Y es débilmente continua si y solo si u ^# ( Y ′ ) ⊆ X ′ , en cuyo caso denotamos ^{por t} u  : Y ′ → X ′ la restricción de u ^# a Y ′ . La aplicación ^t u se llama la transpuesta ^{[ 8 ]} de u .

Si la matriz A describe una aplicación lineal con respecto a ^las bases de V y W , entonces la matriz AT describe la transpuesta de esa aplicación lineal con respecto a las bases duales .

Cada aplicación lineal al espacio dual u  : X → X ^# define una forma bilineal B  : X × X → F , con la relación B ( x , y ) = u ( x )( y ) . Al definir la transpuesta de esta forma bilineal como la forma bilineal ^t B definida por la transpuesta ^t u  : X ^## → X ^# es decir, ^t B ( y , x ) = ^t u (Ψ( y ))( x ) , encontramos que B ( x , y ) = ^t B ( y , x ) . Aquí, Ψ es el homomorfismo natural X → X ^## en el doble dual .

Si los espacios vectoriales X e Y tienen respectivamente formas bilineales no degeneradas B _X y B _Y , se puede definir un concepto conocido como adjunto , que está estrechamente relacionado con la transpuesta:

Si u  : X → Y es una aplicación lineal entre los espacios vectoriales X e Y , definimos g como el adjunto de u si g  : Y → X satisface

${\displaystyle B_{X}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{Y}{\big (}u(x),y{\big )}}$para todo x ∈ X e y ∈ Y .

Estas formas bilineales definen un isomorfismo entre X y X ^# , y entre Y y Y ^# , lo que resulta en un isomorfismo entre la transpuesta y la adjunta de u . La matriz de la adjunta de una aplicación es la matriz transpuesta solo si las bases son ortonormales con respecto a sus formas bilineales. En este contexto, sin embargo, muchos autores utilizan el término transpuesta para referirse a la adjunta tal como se define aquí.

El adjunto nos permite considerar si g  : Y → X es igual a u ⁻¹  : Y → X . En particular, esto permite definir el grupo ortogonal sobre un espacio vectorial X con forma cuadrática sin referencia a matrices (ni a sus componentes) como el conjunto de todas las aplicaciones lineales X → X para las cuales el adjunto es igual al inverso.

En un espacio vectorial complejo, se suele trabajar con formas sesquilineales (conjugadas lineales en un argumento) en lugar de formas bilineales. El adjunto hermitiano de una aplicación entre dichos espacios se define de forma similar, y la matriz del adjunto hermitiano viene dada por la matriz transpuesta conjugada si las bases son ortonormales.