Álgebra lineal (menor)

Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor de la entrada en la fila i y la columna j (también llamado menor ( i , j ) o primer menor ^{[ 1 ]} ) es el determinante de la submatriz formada al eliminar la fila i y la columna j . Este número se suele denotar M _{i , j} . El cofactor ( i , j ) se obtiene multiplicando el menor por ( −1 ) ^{i + j} , y se suele denotar C _{i , j} .

Para ilustrar estas definiciones, considere la siguiente matriz de 3 × 3 ,

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\\\end{bmatrix}}}$$

Para calcular el menor M _2,3 y el cofactor C _2,3 , encontramos el determinante de la matriz anterior con la fila 2 y la columna 3 eliminadas.

$${\displaystyle M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}1&4&\Box \\\Box &\Box &\Box \\-1&9&\Box \\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&4\\-1&9\\\end{bmatrix}}=9-(-4)=13}$$

Entonces el cofactor de la entrada (2,3) es

$${\displaystyle C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.}$$

Sea A una matriz m × n y k un entero con 0 < k ≤ m y k ≤ n . Un menor k × k de A , también llamado determinante menor de orden k de A o, si m = n , el ( n − k ) -ésimo determinante menor de A (la palabra "determinante" a menudo se omite, y la palabra "grado" se usa a veces en lugar de "orden") es el determinante de una matriz k × k obtenida de A eliminando m − k filas y n − k columnas. A veces el término se usa para referirse a la matriz k × k obtenida de A como se indicó anteriormente (eliminando m − k filas y n − k columnas), pero esta matriz debe denominarse submatriz (cuadrada) de A , dejando el término "menor" para referirse al determinante de esta matriz. Para una matriz A como la anterior, hay un total de${\textstyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$menores de tamaño k × k . El menor de orden cero se define a menudo como 1. Para una matriz cuadrada, el menor de orden cero es simplemente el determinante de la matriz. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Dejar $${\displaystyle {\begin{aligned}I&=1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m,\\[2pt]J&=1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n,\end{aligned}}}$$ sean secuencias ordenadas (en orden natural, como siempre se asume al hablar de menores a menos que se indique lo contrario) de índices. El menor${\textstyle \det {\bigl (}(\mathbf {A} _{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}{\bigr )}}$Lo que corresponde a estas elecciones de índices se denota${\displaystyle \det _{I,J}A}$o${\displaystyle \det \mathbf {A} _ {I,J}}$o${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}}$o${\displaystyle M_{I,J}}$o${\displaystyle M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}}$o${\displaystyle M_{(i),(j)}}$(donde ( i ) denota la secuencia de índices I , etc.), dependiendo de la fuente. Además, existen dos tipos de denotaciones en uso en la literatura: por el menor asociado a secuencias ordenadas de índices I y J , algunos autores ^{[ 4 ]} se refieren al determinante de la matriz que se forma como se indicó anteriormente, tomando los elementos de la matriz original de las filas cuyos índices están en I y las columnas cuyos índices están en J , mientras que otros autores se refieren por un menor asociado a I y J al determinante de la matriz formada a partir de la matriz original eliminando las filas en I y las columnas en J ; ^{[ 2 ]} siempre se debe verificar qué notación se utiliza. En este artículo, utilizamos la definición inclusiva de elegir los elementos de las filas de I y las columnas de J. El caso excepcional es el caso del primer menor o el ( i , j ) -menor descrito anteriormente; en ese caso, el significado exclusivo${\textstyle M_{i,j}=\det {\bigl (}\left(\mathbf {A} _{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}{\bigr )}}$Es un estándar en toda la literatura y también se utiliza en este artículo.

El complemento B _{ijk ..., pqr ...} de un menor M _{ijk ..., pqr ...} de una matriz cuadrada A , se forma mediante el determinante de la matriz A del cual se han eliminado todas las filas ( ijk... ) y columnas ( pqr... ) asociadas con M _{ijk ..., pqr ....} El complemento del primer menor de un elemento a _ij es simplemente ese elemento. ^{[ 5 ]}

Los cofactores ocupan un lugar destacado en la fórmula de Laplace para la expansión de determinantes, que es un método para calcular determinantes mayores en términos de otros menores. Dada una matriz n × n A = ( a _ij ) , el determinante de A , denotado det( A ) , se puede escribir como la suma de los cofactores de cualquier fila o columna de la matriz multiplicados por las entradas que los generaron. En otras palabras, definiendo${\displaystyle C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}}$Entonces, la expansión de cofactores a lo largo de la j -ésima columna da como resultado:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\det(\mathbf {A} )&=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}\\[2pt]&=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\\[2pt]&=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}\end{aligned}}}$$

La expansión de cofactores a lo largo de la i -ésima fila da como resultado:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\det(\mathbf {A} )&=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}\\[2pt]&=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\\[2pt]&=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}\end{aligned}}}$$

Se puede escribir la inversa de una matriz invertible calculando sus cofactores mediante la regla de Cramer , como se muestra a continuación. La matriz formada por todos los cofactores de una matriz cuadrada A se denomina matriz de cofactores (también llamada matriz de cofactores o, a veces, comatriz ):

$${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}}$$

Entonces, la inversa de A es la transpuesta de la matriz de cofactores multiplicada por el recíproco del determinante de A :

$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.}$$

La transpuesta de la matriz de cofactores se llama matriz adjunta (también llamada adjunta clásica ) de A.

La fórmula anterior se puede generalizar de la siguiente manera: Sea $${\displaystyle {\begin{aligned}I&=1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n,\\[2pt]J&=1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n,\end{aligned}}}$$ sean secuencias ordenadas (en orden natural) de índices (aquí A es una matriz n × n ). Entonces ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},}$$

donde I′ , J′ denotan las secuencias ordenadas de índices (los índices están en orden natural de magnitud, como se indicó anteriormente) complementarias a I , J , de modo que cada índice 1, ..., n aparece exactamente una vez en I o en I' , pero no en ambos (de manera similar para J y J' ) y [ A ] _{I , J} denota el determinante de la submatriz de A formada al elegir las filas del conjunto de índices I y las columnas del conjunto de índices J . Además,${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}=\det {\bigl (}(A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}{\bigr )}.}$Se puede dar una demostración sencilla utilizando el producto exterior. En efecto,

$${\displaystyle {\bigl [}\mathbf {A} ^{-1}{\bigr ]}_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},}$$

dónde${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$son los vectores base. Actuando A en ambos lados, se obtiene

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\ {\bigl [}\mathbf {A} ^{-1}{\bigr ]}_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})\\[2pt]=&\ \pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})\\[2pt]=&\ \pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).\end{aligned}}}$$

El letrero se puede calcular como $${\displaystyle (-1)^{\left(\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}\right)},}$$por lo tanto , el signo está determinado por las sumas de los elementos en I y J.

Dada una matriz i × j con entradas reales (o entradas de cualquier otro campo ) y rango r , entonces existe al menos un menor r × r distinto de cero , mientras que todos los menores mayores son cero.

Usaremos la siguiente notación para menores: si A es una matriz i × j , I es un subconjunto de {1, ..., i } con m elementos, y J es un subconjunto de {1, ..., j } con m elementos, entonces escribimos [ A ] _{I , J} para el menor m × m de A que corresponde a las filas con índice en I y las columnas con índice en J .

• Si A es cuadrado e I = J , entonces [ A ] _{I , J} se llama menor principal .
• Si A es cuadrada e I = J = {1, ..., m } , entonces el menor principal [ A ] _{I , J} se llama menor principal principal (de orden m ) o menor (principal) de esquina (de orden m ) . ^{[ 3 ]} Para una matriz cuadrada i × i , hay i menores principales principales.
• Un menor básico de una matriz de rango r es un menor de r × r con valor distinto de cero. ^{[ 3 ]}
• Para matrices hermíticas , los menores principales se pueden usar para comprobar la positividad definida y los menores principales para comprobar la semidefinición positiva . Consulte el criterio de Sylvester para obtener más detalles.

Tanto la fórmula para la multiplicación ordinaria de matrices como la fórmula de Cauchy-Binet para el determinante del producto de dos matrices son casos especiales de la siguiente afirmación general sobre los menores de un producto de dos matrices. Supongamos que A es una matriz i × k , B es una matriz k × j , I es un subconjunto de {1, ..., i } con m elementos y J es un subconjunto de {1, ..., j } con m elementos. Entonces $${\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,}$$ donde la suma se extiende sobre todos los subconjuntos K de {1, ..., k } con m elementos.