Mapa multilineal alterno

En matemáticas , más específicamente en álgebra multilineal , una función multilineal alternada es una función multilineal cuyos argumentos pertenecen al mismo espacio vectorial (por ejemplo, una forma bilineal o una forma multilineal ) que es cero siempre que cualquier par de sus argumentos sea igual. Esto se generaliza directamente a un módulo sobre un anillo conmutativo .

La noción de alternatización (o alternatización ) se utiliza para derivar un mapa multilineal alterno de cualquier mapa multilineal cuyos argumentos pertenecen al mismo espacio.

Sea un anillo conmutativo y , módulos sobre . Se dice que una función multilineal de la forma es alterna si satisface las siguientes condiciones equivalentes: ${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización W}$${\estilo de visualización R}$${\displaystyle f:V^{n}\to W}$

1. siempre que exista tal que entonces . ^{[1] [2]}${\textstyle 1\leq i\leq n-1}$${\displaystyle x_{i}=x_{i+1}}$${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$
2. siempre que exista tal que entonces . ^{[1] [3]}${\textstyle 1\leq i\neq j\leq n}$${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

Sean espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo. Entonces, una función multilineal de la forma es alternada si satisface la siguiente condición: ${\estilo de visualización V,W}$${\displaystyle f:V^{n}\to W}$

• Si son linealmente dependientes entonces .${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

En un álgebra de Lie , el corchete de Lie es una función bilineal alternada. El determinante de una matriz es una función alternada multilineal de las filas o columnas de la matriz.

Si cualquier componente de un mapa multilineal alterno se reemplaza por para cualquier y en el anillo base , entonces el valor de ese mapa no cambia. ^[3]$Estilo de visualización x_{i}}$$Estilo de visualización x_{i}+cx_{j}}$${\displaystyle j\neq i}$${\estilo de visualización c}$ ${\estilo de visualización R}$

Toda función multilineal alternada es antisimétrica, ^[4] lo que significa que ^[1] o equivalentemente, donde denota el grupo de permutación de grado y es el signo de . ^[5] Si es una unidad en el anillo base , entonces toda forma antisimétrica -multilineal es alternada. $${\displaystyle f(\puntos ,x_{i},x_{i+1},\puntos )=-f(\puntos ,x_{i+1},x_{i},\puntos )\quad {\text{ para cualquier }}1\leq i\leq n-1,}$$$${\displaystyle f(x_{\sigma (1)},\puntos ,x_{\sigma (n)})=(\operatorname {sgn} \sigma )f(x_{1},\puntos ,x_{n})\quad {\text{ para cualquier }}\sigma \in \mathrm {S} _{n},}$$${\displaystyle \mathrm {S}_{n}}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle \nombreoperador {sgn} \sigma }$${\estilo de visualización \sigma}$${\estilo de visualización n!}$${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización n}$

Dado un mapa multilineal de la forma el mapa multilineal alterno definido por se dice que es la alternatización de . ${\displaystyle f:V^{n}\to W,}$${\displaystyle g:V^{n}\to W}$$${\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n})\mathrel {:=} \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})}$$${\displaystyle f}$

Propiedades

• La alternatización de una función alternada -multilineal es multiplicada por sí misma.${\displaystyle n}$${\displaystyle n!}$
• La alternatización de una función simétrica es cero.
• La alternancia de una función bilineal es bilineal. En particular, la alternancia de cualquier cociclo es bilineal. Este hecho desempeña un papel crucial en la identificación del segundo grupo de cohomología de una red con el grupo de formas bilineales alternantes en una red.

• Álgebra alternada
• Mapa bilineal
• Álgebra exterior § Formas multilineales alternas
• Mapa (matemáticas)
• Álgebra multilineal
• Mapa multilineal
• Forma multilineal
• Simetrización

• Bourbaki, N. (2007). Elementos matemáticos . vol. Algèbre Chapitres 1 à 3 (reimpresión ed.). Saltador.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). Wiley.
• Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 211 (3.ª edición revisada). Springer. ISBN 978-0-387-95385-4.OCLC 48176673  .
• Rotman, Joseph J. (1995). Introducción a la teoría de grupos . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 148 (4.ª ed.). Springer. ISBN 0-387-94285-8.OCLC 30028913  .
• Tu, Loring W. (2011). Introducción a las variedades . Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 978-1-4419-7400-6.