Geopotencial

El geopotencial (símbolo W ) es el potencial del campo gravitatorio terrestre . Sus unidades en el Sistema Internacional (SI) son metros cuadrados por segundo al cuadrado (m² ^/ s² ⁾ . Para mayor comodidad, se suele definir como el negativo de la energía potencial por unidad de masa , de modo que el vector gravitatorio se obtiene como el gradiente del geopotencial, sin la negación. Además del potencial real (el geopotencial), también se puede definir un potencial normal teórico (símbolo U ) y su diferencia, el potencial perturbador ( T = W − U ).

Para aplicaciones geofísicas , la gravedad se distingue de la gravitación . La gravedad se define como la fuerza resultante de la gravitación y la fuerza centrífuga causada por la rotación de la Tierra . Asimismo, los potenciales escalares respectivos , potencial gravitatorio y potencial centrífugo , se pueden sumar para formar un potencial efectivo llamado geopotencial.${\displaystyle W}$Las superficies de geopotencial constante o isosuperficies del geopotencial se denominan superficies equigeopotenciales (a veces abreviadas como geop ), ^{[ 1 ]} también conocidas como superficies de nivel geopotencial , superficies equipotenciales o simplemente superficies de nivel . ^{[ 2 ]}

La superficie media global del mar se aproxima a un equigeopotencial denominado geoide . ^{[ 3 ]} La figura ilustra cómo la fuerza gravitatoria y la fuerza centrífuga se suman para formar una fuerza ortogonal al geoide (sin escala). A 50° de latitud, la diferencia entre la fuerza gravitatoria (línea roja en la figura) y la vertical local (línea verde en la figura) es de 0,098°. Para un punto de masa (atmósfera) en movimiento, la fuerza centrífuga ya no coincide con la gravitatoria y la suma vectorial no es exactamente ortogonal a la superficie terrestre. Esta es la causa del efecto Coriolis en el movimiento atmosférico.

El geoide es una superficie suavemente ondulada debido a la distribución irregular de masa dentro de la Tierra; sin embargo, puede aproximarse mediante un elipsoide de revolución llamado elipsoide de referencia . El elipsoide de referencia más utilizado actualmente, el del Sistema de Referencia Geodésica de 1980 ( GRS80 ), aproxima el geoide con una precisión de poco más de ±100 m. Se puede construir un modelo geopotencial simple.${\displaystyle U}$que tiene como una de sus superficies equipotenciales este elipsoide de referencia, con el mismo potencial modelo.${\displaystyle U_{0}}$como el verdadero potencial${\displaystyle W_{0}}$del geoide; este modelo se denomina potencial normal . La diferencia${\displaystyle T=WU}$Se denomina potencial perturbador . Muchas magnitudes observables del campo gravitatorio, como las anomalías gravitatorias y las desviaciones de la vertical ( plomada ), pueden expresarse mediante este potencial perturbador.

La ley de gravitación universal de Newton establece que la fuerza gravitatoria F que actúa entre dos masas puntuales m ₁ y m ₂ con una separación entre centros de masa r viene dada por: $${\displaystyle \mathbf {F} =-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ,}$$ donde G es la constante gravitacional y r̂ es el vector unitario radial . Para un objeto no puntual de distribución de masa continua, cada elemento de masa dm puede tratarse como masa distribuida sobre un pequeño volumen, por lo que la integral de volumen sobre la extensión del objeto 2 da

con el potencial gravitatorio correspondiente

donde ρ ₂ = ρ( x , y , z ) es la densidad de masa en el elemento de volumen y en la dirección desde el elemento de volumen hasta la masa puntual 1.${\displaystyle u}$es la energía potencial gravitatoria por unidad de masa.

El campo gravitatorio de la Tierra se puede derivar de un campo de potencial gravitatorio ( geopotencial ) de la siguiente manera: $${\displaystyle \mathbf {g} =\nabla W=\operatorname {grad} W={\frac {\partial W}{\partial X}}\mathbf {i} +{\frac {\partial W}{\partial Y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial W}{\partial Z}}\mathbf {k} ,}$$ que expresa el vector de aceleración de la gravedad como el gradiente de${\displaystyle W}$, el potencial de gravedad. La tríada vectorial${\displaystyle \{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}}$es el conjunto ortonormal de vectores base en el espacio, apuntando a lo largo de la${\displaystyle X,Y,Z}$ejes de coordenadas. Aquí,${\displaystyle X}$,${\displaystyle Y}$y${\displaystyle Z}$son coordenadas geocéntricas .

Tanto la gravedad como su potencial contienen una contribución de la pseudofuerza centrífuga debida a la rotación de la Tierra. Podemos escribir $${\displaystyle W=V+\Phi ,}$$ dónde${\displaystyle V}$es el potencial del campo gravitatorio ,${\displaystyle W}$el del campo gravitatorio y${\displaystyle \Phi }$el del campo centrífugo .

En el caso especial de una esfera con una densidad de masa esféricamente simétrica, ρ = ρ( s ); es decir, la densidad depende solo de la distancia radial. $${\displaystyle s={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.}$$

Estas integrales pueden evaluarse analíticamente. Este es el teorema de la capa que establece que en este caso:

con el potencial correspondiente

dónde${\displaystyle M=\int _{V}\rho (s)\,dx\,dy\,dz}$es la masa total de la esfera.

Para los estudios de mecánica orbital de satélites , el geopotencial se describe típicamente mediante un desarrollo en serie de armónicos esféricos (representación espectral). En este contexto, el geopotencial se considera como el potencial del campo gravitatorio terrestre, es decir, sin tener en cuenta el potencial centrífugo.

Cálculo del geopotencial en el caso simple de una esfera no giratoria, en unidades de [m ² /s ² ] o [J/kg]: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \Psi (h)=\int _{0}^{h}g\,dz,}$$$${\displaystyle \Psi =\int _{0}^{z}{\frac {Gm}{(a+z)^{2}}}\,dz.}$$

Integrar para obtener $${\displaystyle \Psi =Gm\left({\frac {1}{a}}-{\frac {1}{a+z}}\right),}$$ dónde

G =6,673 × 10 ⁻¹¹  Nm ² /kg ² es la constante gravitacional,

m =5,975 × 10²⁴ kg es ^la  masa de la Tierra,

a =6,378 × 10⁶ m  es el radio medio de la Tierra ^,

z es la altura geométrica en metros.

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