Teorema de la capa

En mecánica clásica , el teorema de las capas proporciona simplificaciones gravitacionales que pueden aplicarse a objetos dentro o fuera de un cuerpo con simetría esférica . Este teorema tiene una aplicación particular en astronomía .

Isaac Newton demostró el teorema de la capa ^{[ 1 ]} y afirmó que:

1. Un cuerpo con simetría esférica afecta gravitacionalmente a los objetos externos como si toda su masa estuviera concentrada en un punto en su centro.
2. Si el cuerpo es una cáscara con simetría esférica (es decir, una bola hueca), la cáscara no ejerce ninguna fuerza gravitatoria neta sobre ningún objeto en su interior, independientemente de la ubicación del objeto dentro de la cáscara.

Una consecuencia es que dentro de una esfera sólida de densidad constante, la fuerza gravitatoria dentro del objeto varía linealmente con la distancia al centro, llegando a ser cero por simetría en el centro de masa . Esto se puede ver de la siguiente manera: tomemos un punto dentro de dicha esfera, a una distancia${\displaystyle r}$desde el centro de la esfera. Entonces se pueden ignorar todas las capas de mayor radio, según el teorema de la capa (2). Pero el punto puede considerarse externo a la esfera restante de radio r, y según (1) toda la masa de esta esfera puede considerarse concentrada en su centro. La masa restante${\displaystyle m}$es proporcional a${\displaystyle r^{3}}$(porque se basa en el volumen). La fuerza gravitatoria ejercida sobre un cuerpo en un radio r será proporcional a${\displaystyle m/r^{2}}$(la ley del cuadrado inverso ), por lo que el efecto gravitacional general es proporcional a${\displaystyle r^{3}/r^{2}=r}$, por lo que es lineal en${\displaystyle r}$.

Estos resultados fueron importantes para el análisis del movimiento planetario de Newton; no son evidentes a simple vista, pero pueden demostrarse mediante cálculo diferencial . ( La ley de Gauss para la gravedad ofrece una forma alternativa de enunciar el teorema).

Además de la gravedad , el teorema de la capa también puede utilizarse para describir el campo eléctrico generado por una densidad de carga estática con simetría esférica , o de forma similar para cualquier otra interacción cuya fuerza siga una ley del inverso del cuadrado . Las deducciones que se presentan a continuación se centran en la gravedad, pero los resultados pueden generalizarse fácilmente a la fuerza electrostática .

La demostración del teorema de la capa de Newton (1) consta de tres pasos. Primero, se derivará la ecuación del campo gravitatorio generado por un anillo de masa. Al disponer un número infinito de anillos infinitamente delgados para formar un disco, esta ecuación, que involucra un anillo, se utilizará para hallar el campo gravitatorio generado por dicho disco. Finalmente, al disponer un número infinito de discos infinitamente delgados para formar una esfera, esta ecuación, que involucra un disco, se utilizará para hallar el campo gravitatorio generado por dicha esfera.

El campo gravitatorio${\displaystyle E}$en un puesto llamado${\displaystyle P}$en${\displaystyle (x,y)=(-p,0)}$en el eje x debido a un punto de masa${\displaystyle M}$en el origen es$${\displaystyle E_{\text{punto}}={\frac {GM}{p^{2}}}}$$ Supongamos que esta masa se mueve hacia arriba a lo largo del eje y hasta el punto${\displaystyle (0,R)}$. La distancia entre${\displaystyle P}$y la masa puntual ahora es más larga que antes; se convierte en la hipotenusa del triángulo rectángulo con catetos.${\displaystyle p}$y${\displaystyle R}$que es${\estilo de texto {\sqrt {p^{2}+R^{2}}}}$Por lo tanto , el campo gravitatorio del punto elevado es: $${\displaystyle E_{\text{punto elevado}}={\frac {GM}{p^{2}+R^{2}}}}$$

La magnitud del campo gravitatorio que atraería una partícula en el punto${\displaystyle P}$en la dirección x es el campo gravitatorio multiplicado por${\displaystyle \cos(\theta )}$dónde${\displaystyle \theta }$es el ángulo adyacente al eje x . En este caso,${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {p}{\sqrt {p^{2}+R^{2}}}}}$. Por lo tanto, la magnitud del campo gravitatorio en la dirección x ,${\displaystyle E_{x}}$es: $${\displaystyle E_{x}={\frac {GM\cos {\theta }}{p^{2}+R^{2}}}}$$ Sustituyendo en${\displaystyle \cos(\theta )}$da $${\displaystyle E_{x}={\frac {GMp}{\left(p^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}}}$$ Supongamos que esta masa está distribuida uniformemente en un anillo centrado en el origen y orientado hacia el punto${\displaystyle P}$con el mismo radio${\displaystyle R}$Debido a que toda la masa está ubicada en el mismo ángulo con respecto al eje x , y la distancia entre los puntos en el anillo es la misma que antes, el campo gravitatorio en la dirección x en el punto${\displaystyle P}$debido a que el anillo es lo mismo que una masa puntual ubicada en un punto${\displaystyle R}$unidades por encima del eje y :$${\displaystyle E_{\text{anillo}}={\frac {GMp}{\left(p^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}}}$$

Para hallar el campo gravitatorio en el punto${\displaystyle P}$debido a un disco, un número infinito de anillos infinitamente delgados enfrentados${\displaystyle P}$, cada uno con un radio${\displaystyle y}$, ancho de${\displaystyle dy}$y masa de${\displaystyle dM}$pueden colocarse uno dentro del otro para formar un disco. La masa de cualquiera de los anillos${\displaystyle dM}$es la masa del disco multiplicada por la relación del área del anillo${\displaystyle 2\pi y\,dy}$al área total del disco${\displaystyle \pi R^{2}}$. Entonces,${\textstyle dM={\frac {M\cdot 2y\,dy}{R^{2}}}}$Por lo tanto , un pequeño cambio en el campo gravitatorio,${\displaystyle E}$es: $${\displaystyle dE={\frac {Gp\,dM}{(p^{2}+y^{2})^{3/2}}}}$$

Sustituyendo en${\displaystyle dM}$e integrando ambos lados se obtiene el campo gravitatorio del disco: $${\displaystyle E=\int {\frac {GMp\cdot {\frac {2y\,dy}{R^{2}}}}{(p^{2}+y^{2})^{3/2}}}}$$ Sumando la contribución al campo gravitatorio de cada uno de estos anillos se obtendrá la expresión para el campo gravitatorio debido a un disco. Esto es equivalente a integrar esta expresión anterior desde${\displaystyle y=0}$a${\displaystyle y=R}$, Resultando en: $${\displaystyle E_{\text{disco}}={\frac {2GM}{R^{2}}}\left(1-{\frac {p}{\sqrt {p^{2}+R^{2}}}}\right)}$$ Para hallar el campo gravitatorio en el punto${\displaystyle P}$debido a una esfera centrada en el origen, una cantidad infinita de discos infinitamente delgados orientados hacia el origen${\displaystyle P}$, cada uno con un radio${\displaystyle R}$, ancho de${\displaystyle dx}$y masa de${\displaystyle dM}$pueden colocarse juntos.

Los radios de estos discos${\displaystyle R}$sigue la altura de la sección transversal de una esfera (con radio constante)${\displaystyle a}$) que es la ecuación de un semicírculo:${\textstyle R={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$.${\displaystyle x}$varía de${\displaystyle -a}$a${\displaystyle a}$.

La masa de cualquiera de los discos${\displaystyle dM}$es la masa de la esfera${\displaystyle M}$multiplicado por la razón entre el volumen de un disco infinitamente delgado y el volumen de una esfera (con radio constante)${\displaystyle a}$). El volumen de un disco infinitamente delgado es${\displaystyle \pi R^{2}\,dx}$, o${\textstyle \pi \left(a^{2}-x^{2}\right)dx}$. Entonces,${\textstyle dM={\frac {\pi M(a^{2}-x^{2})\,dx}{{\frac {4}{3}}\pi a^{3}}}}$.  Simplificar da${\textstyle dM={\frac {3M(a^{2}-x^{2})\,dx}{4a^{3}}}}$.

La posición de cada disco lejos de${\displaystyle P}$variará con su posición dentro de la 'esfera' formada por los discos, por lo que${\displaystyle p}$debe ser reemplazado por${\displaystyle p+x}$.

Reemplazar${\displaystyle M}$con${\displaystyle dM}$,${\displaystyle R}$con${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$, y${\displaystyle p}$con${\displaystyle p+x}$En la ecuación del 'disco' se obtiene: $${\displaystyle dE={\frac {\left({\frac {2G\left[3M\left(a^{2}-x^{2}\right)\right]}{4a^{3}}}\right)}{{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}^{2}}}\cdot \left(1-{\frac {p+x}{\sqrt {(p+x)^{2}+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}^{2}}}}\right)\,dx}$$ Simplificando, $${\displaystyle \int dE=\int _{-a}^{a}{\frac {3GM}{2a^{3}}}\left(1-{\frac {p+x}{\sqrt {p^{2}+a^{2}+2px}}}\right)dx}$$ Integrando el campo gravitatorio de cada disco delgado desde${\displaystyle x=-a}$a${\displaystyle x=+a}$con respecto a${\displaystyle x}$y , realizando algunos cálculos algebraicos cuidadosos, se obtiene el teorema de las capas de Newton: $${\displaystyle E={\frac {GM}{p^{2}}}}$$ dónde${\displaystyle p}$es la distancia entre el centro de la masa esférica y un punto arbitrario${\displaystyle P}$ El campo gravitatorio de una masa esférica se puede calcular tratando toda la masa como una partícula puntual en el centro de la esfera .

Un cuerpo sólido con simetría esférica puede modelarse como un número infinito de capas esféricas concéntricas e infinitesimalmente delgadas. Si una de estas capas puede tratarse como una masa puntual, entonces un sistema de capas (es decir, la esfera) también puede tratarse como una masa puntual. Consideremos una de estas capas (el diagrama muestra una sección transversal):

(Nota: el${\displaystyle d\theta }$En el diagrama se refiere al ángulo pequeño, no a la longitud del arco . La longitud del arco es${\textstyle R\,d\theta }$.)

Aplicando la Ley de Gravitación Universal de Newton , la suma de las fuerzas debidas a los elementos de masa en la banda sombreada es

${\displaystyle dF={\frac {Gm}{s^{2}}}dM.}$

Sin embargo, dado que existe una cancelación parcial debido a la naturaleza vectorial de la fuerza junto con la simetría de la banda circular, el componente restante (en la dirección que apunta hacia${\displaystyle m}$) viene dado por

${\displaystyle dF_{r}={\frac {Gm}{s^{2}}}\cos(\varphi )\,dM}$

La fuerza total sobre${\displaystyle m}$, entonces, es simplemente la suma de la fuerza ejercida por todas las bandas. Al reducir el ancho de cada banda y aumentar el número de bandas, la suma se convierte en una expresión integral:

${\displaystyle F_{r}=\int dF_{r}}$

Desde${\displaystyle G}$y${\displaystyle m}$son constantes, pueden sacarse de la integral:

${\displaystyle F_{r}=Gm\int {\frac {\cos(\varphi )}{s^{2}}}\,dM.}$

Para evaluar esta integral, primero hay que expresar${\displaystyle dM}$como función de${\displaystyle d\theta }$

La superficie total de una capa esférica es

${\displaystyle 4\pi R^{2}}$

mientras que el área de superficie de la rebanada delgada entre${\displaystyle \theta }$y${\displaystyle \theta +d\theta }$es

${\displaystyle 2\pi R\sin(\theta )R\,d\theta =2\pi R^{2}\sin(\theta )\,d\theta }$

Si la masa de la cáscara es${\displaystyle M}$, por lo tanto, se tiene que

${\displaystyle dM={\frac {2\pi R^{2}\sin(\theta )}{4\pi R^{2}}}M\,d\theta ={\frac {1}{2}}M\sin(\theta )\,d\theta }$

y

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{2}}\int {\frac {\sin(\theta )\cos(\varphi )}{s^{2}}}\,d\theta }$

Por la ley de los cosenos ,

${\displaystyle \cos(\varphi )={\frac {r^{2}+s^{2}-R^{2}}{2rs}}}$

y

${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {r^{2}+R^{2}-s^{2}}{2rR}}.}$

Estas dos relaciones vinculan los tres parámetros.${\displaystyle \theta }$,${\displaystyle \varphi }$y${\displaystyle s}$que aparecen juntos en la integral. Como${\displaystyle \theta }$aumenta de${\displaystyle 0}$a${\displaystyle \pi }$radianes,${\displaystyle \varphi }$varía desde el valor inicial 0 hasta un valor máximo antes de finalmente volver a cero en${\displaystyle \theta =\pi }$. Al mismo tiempo,${\displaystyle s}$aumenta desde el valor inicial${\displaystyle r-R}$al valor final${\displaystyle r+R}$como${\displaystyle \theta }$aumenta de 0 a${\displaystyle \pi }$radianes. Esto se ilustra en la siguiente animación:

(Nota: Como se ve desde${\displaystyle m}$, la banda azul sombreada aparece como un anillo delgado cuyos radios interior y exterior convergen a${\displaystyle R\sin(\theta )}$como${\displaystyle d\theta }$desaparece.)

Para encontrar una función primitiva para el integrando, hay que hacer${\displaystyle s}$la variable de integración independiente en lugar de${\displaystyle \theta }$.

Al realizar una diferenciación implícita de la segunda de las expresiones de la "ley del coseno" anteriores, se obtiene:

${\displaystyle -\sin(\theta )\,d\theta ={\frac {-2s}{2rR}}\,ds}$

y por lo tanto

${\displaystyle \sin(\theta )\,d\theta ={\frac {s}{rR}}\,ds.}$

Resulta que

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{2}}{\frac {1}{rR}}\int {\frac {s\cos(\varphi )}{s^{2}}}\,ds={\frac {GMm}{2rR}}\int {\frac {\cos(\varphi )}{s}}\,ds}$

donde la nueva variable de integración${\displaystyle s}$aumenta de${\displaystyle r-R}$a${\displaystyle r+R}$.

Insertar la expresión para${\displaystyle \cos(\varphi )}$Utilizando la primera de las expresiones de la "ley del coseno" anteriores, finalmente se obtiene que

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int \left(1+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{2}}}\right)\ ds\ .}$

Una función primitiva para el integrando es

${\displaystyle s-{\frac {r^{2}-R^{2}}{s}}\ ,}$

y la inserción de los límites${\displaystyle r-R}$y${\displaystyle r+R}$para la variable de integración${\displaystyle s}$en esta función primitiva, se obtiene que

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{r^{2}}},}$

decir que la fuerza gravitatoria es la misma que la de una masa puntual en el centro de la capa con la misma masa.

Para un punto dentro de la capa, la diferencia es que cuando θ es igual a cero, ϕ toma el valor de π radianes y s el valor de R − r . Cuando θ aumenta de 0 a π radianes, ϕ disminuye desde el valor inicial de π radianes hasta cero y s aumenta desde el valor inicial de R − r hasta el valor de R + r .

Todo esto se puede apreciar en la siguiente figura.

Insertar estos límites en la función primitiva

${\displaystyle s-{\frac {r^{2}-R^{2}}{s}}}$

uno se da cuenta de eso, en este caso

${\displaystyle F_{r}=0,}$

decir que las fuerzas gravitatorias netas que actúan sobre la masa puntual desde los elementos de masa de la capa, fuera del punto de medición, se cancelan.

Generalización: Si${\displaystyle f={\frac {k}{r^{p}}}}$, la fuerza resultante dentro de la cáscara es:

${\displaystyle F(r)={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{R-r}^{R+r}\left({\frac {1}{s^{p-2}}}+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{p}}}\right)\,ds}$

Los resultados anteriores dan como resultado${\displaystyle F(r)}$ser idénticamente cero si y solo si${\displaystyle p=2}$

Fuera de la cáscara (es decir,${\displaystyle r>R}$o${\displaystyle r<-R}$):

${\displaystyle F(r)={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{r-R}^{r+R}\left({\frac {1}{s^{p-2}}}+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{p}}}\right)\,ds}$

El teorema de la capa es una consecuencia inmediata de la ley de Gauss para la gravedad que dice que

${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {g} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=-4\pi GM}$

donde M es la masa de la parte de la distribución de masa esféricamente simétrica que se encuentra dentro de la esfera con radio r y

${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {g} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=\int _{S}{\mathbf {g} }\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS}$

es la integral de superficie del campo gravitatorio${\displaystyle \mathbf {g} }$sobre cualquier superficie cerrada dentro de la cual la masa total es M , el vector unitario${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$siendo la normal exterior a la superficie.

El campo gravitatorio de una distribución de masa esféricamente simétrica, como un punto de masa, una capa esférica o una esfera homogénea, también debe ser esféricamente simétrico.${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$es un vector unitario en la dirección desde el punto de simetría a otro punto el campo gravitatorio en este otro punto debe ser por lo tanto

${\displaystyle \mathbf {g} =g(r){\hat {\mathbf {n} }}}$

donde g ( r ) solo depende de la distancia r al punto de simetría

Seleccionando la superficie cerrada como una esfera de radio r con centro en el punto de simetría, la normal exterior a un punto en la superficie,${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$, es precisamente la dirección que apunta en dirección opuesta al punto de simetría de la distribución de masa.

Por lo tanto, uno tiene que

${\displaystyle \mathbf {g} =g(r){\hat {\mathbf {n} }}}$

y

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {g} \cdot \,d{\mathbf {S} }=g(r)\int _{S}\,dS=g(r)4\pi r^{2}}$

ya que el área de la esfera es 4 π r ² .

De la ley de Gauss se deduce entonces que

${\displaystyle g(r)4\pi r^{2}=-4\pi GM,}$

o,

${\displaystyle g(r)=-{\frac {GM}{r^{2}}}.}$

Es natural preguntarse si el recíproco del teorema de la capa es cierto, es decir, si el resultado del teorema implica la ley de gravitación universal, o si existe alguna ley de fuerza más general para la cual el teorema se cumple. Si solo requerimos que la fuerza fuera de una capa esférica sea la misma que para una masa puntual igual en su centro, entonces hay un grado de libertad adicional para las leyes de fuerza. ^{[ 2 ] [ 3 ]} La fuerza más general, según lo dado por el teorema de Gurzadyan , es: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle F(r)=-{\frac {GMm}{r^{2}}}+{\frac {\Lambda mc^{2}r}{3}}}$

dónde${\displaystyle G}$y${\displaystyle \Lambda }$pueden ser constantes que toman cualquier valor. El primer término es la conocida ley de gravitación universal; el segundo es una fuerza adicional, análoga al término de la constante cosmológica en la relatividad general . Sin embargo, el potencial inverso al cuadrado es el único potencial tal que la fuerza neta dentro de la capa también es cero. ^{[ 2 ]}

La fuerza descrita por el potencial de Yukawa

${\displaystyle U(r)=-{\frac {GMm}{r}}e^{-\lambda r}}$

tiene la propiedad de que la fuerza fuera de una capa esférica también es un potencial de Yukawa con el mismo rango${\displaystyle 1/\lambda }$y centrado en el centro de la concha, pero para${\displaystyle \lambda >0}$La masa puntual equivalente no es la misma que la masa de la capa. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} Para una capa de radio${\displaystyle R}$y masa${\displaystyle M}$, la masa puntual equivalente es:

${\displaystyle M_{\text{eff}}=M{\frac {\sinh \lambda r}{\lambda r}}}$.

Para una capa elipsoidal , las dos partes del teorema de la capa se generalizan mediante diferentes tipos de capas. La capa delimitada por dos elipsoides concéntricos , semejantes y alineados (un homeoide ) no ejerce fuerza gravitatoria sobre un punto en su interior. ^{[ 7 ]} Por otro lado, la capa delimitada por dos elipsoides concéntricos y confocales (un focaloide ) tiene la propiedad de que la fuerza gravitatoria fuera de dos focaloides concéntricos y confocales es la misma. ^{[ 8 ]}

En un artículo reciente, Lima ha demostrado que las fuerzas gravitacionales de tipo Weber producen una fuerza integrada no nula desde una capa esférica de masa M que actúa sobre un corpúsculo de masa m ubicado dentro de la capa cuando esta se acelera. ^{[ 9 ]}

Existe un análogo del teorema de las capas en la relatividad general (RG).

La simetría esférica implica que la métrica tiene geometría de Schwarzschild independiente del tiempo, incluso si una masa central está experimentando un colapso gravitacional (Misner et al. 1973; véase el teorema de Birkhoff ). La métrica, por lo tanto, tiene forma

${\displaystyle ds^{2}=-(1-2M/r)\,dt^{2}+(1-2M/r)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}\,d\Omega ^{2}}$

(utilizando unidades geometrizadas , donde${\displaystyle G=c=1}$). Para${\displaystyle r>R>0}$(dónde${\displaystyle R}$es el radio de alguna capa de masa), la masa actúa como una función delta en el origen. Para${\displaystyle r<R}$, pueden existir capas de masa externamente, pero para que la métrica sea no singular en el origen,${\displaystyle M}$debe ser cero en la métrica. Esto reduce la métrica al espacio plano de Minkowski ; por lo tanto, las capas externas no tienen efecto gravitacional.

Este resultado ilumina el colapso gravitacional que conduce a un agujero negro y su efecto en el movimiento de los rayos de luz y las partículas fuera y dentro del horizonte de sucesos (Hartle 2003, capítulo 12).

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