Función de varias variables reales

La imagen de una función f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) es el conjunto de todos los valores de f cuando la n -tupla ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) recorre todo el dominio de f . Para una función continua (véase más abajo la definición) de valores reales con dominio conexo, la imagen es un intervalo o un único valor. En este último caso, la función es una función constante .

La preimagen de un número real dado c se llama conjunto de nivel . Es el conjunto de soluciones de la ecuación f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) = c .

El dominio de una función de varias variables reales es un subconjunto de R ⁿ que a veces, pero no siempre, se define explícitamente. De hecho, si se restringe el dominio X de una función f a un subconjunto Y ⊂ X , se obtiene formalmente una función diferente, la restricción de f a Y , que se denota${\displaystyle f|_{Y}}$. En la práctica, a menudo (pero no siempre) no es perjudicial identificar f y${\displaystyle f|_{Y}}$y omitir el restrictor | _Y .

Por el contrario, a veces es posible ampliar de forma natural el dominio de una función dada, por ejemplo, mediante continuidad o mediante continuación analítica .

Además, muchas funciones se definen de tal manera que resulta difícil especificar explícitamente su dominio. Por ejemplo, dada una función f , puede ser difícil especificar el dominio de la función.${\displaystyle g({\boldsymbol {x}})=1/f({\boldsymbol {x}}).}$Si f es un polinomio multivariado , (que tiene${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$como dominio), incluso es difícil probar si el dominio de g también lo es.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Esto equivale a comprobar si un polinomio es siempre positivo, y es objeto de un área de investigación activa (véase Polinomio positivo ).

Las operaciones aritméticas habituales con números reales pueden extenderse a funciones de valor real de varias variables reales de la siguiente manera:

• Para cada número real r , la función constante$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto r}$$está definido en todas partes.
• Para cada número real r y cada función f , la función:$${\displaystyle rf:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto rf(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$tiene el mismo dominio que f (o está definido en todas partes si r = 0 ).
• Si f y g son dos funciones de dominios respectivos X e Y tales que X ∩ Y contiene un subconjunto abierto no vacío de R ⁿ , entonces$${\displaystyle f\,g:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,g(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$y$${\displaystyle g\,f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto g(x_{1},\ldots ,x_{n})\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$son funciones que tienen un dominio que contiene X ∩ Y .

De ello se deduce que las funciones de n variables definidas en todas partes y las funciones de n variables definidas en algún entorno de un punto dado forman álgebras conmutativas sobre los números reales ( álgebras R ). Este es un ejemplo prototípico de un espacio de funciones .

De manera similar se puede definir

${\displaystyle 1/f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto 1/f(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

que es una función solo si el conjunto de puntos ( x ₁ , …, x _n ) en el dominio de f tales que f ( x ₁ , …, x _n ) ≠ 0 contiene un subconjunto abierto de R ⁿ . Esta restricción implica que las dos álgebras anteriores no son cuerpos .

Una función en una variable real se puede obtener fácilmente asignando un valor constante a todas las variables excepto a una. Por ejemplo, si (a₁, ..., aₙ) es un punto del _interior del dominio de la función f , los valores de x₂ _{, ...} , xₙ se pueden fijar a a₂ _, ..., aₙ respectivamente, para obtener una función de una _{variable .}

${\displaystyle x\mapsto f(x,a_{2},\ldots ,a_{n}),}$

cuyo dominio contiene un intervalo centrado en a ₁ . Esta función también puede verse como la restricción de la función f a la línea definida por las ecuaciones x _i = a _i para i = 2, …, n .

Se pueden definir otras funciones univariables restringiendo f a cualquier línea que pase por _(a1 , ... , an ₎ . Estas son las funciones

${\displaystyle x\mapsto f(a_{1}+c_{1}x,a_{2}+c_{2}x,\ldots ,a_{n}+c_{n}x),}$

donde los c _i son números reales que no son todos cero.

En la siguiente sección, demostraremos que, si la función multivariable es continua, también lo son todas estas funciones univariables, pero lo contrario no es necesariamente cierto.

Hasta la segunda mitad del siglo XIX, los matemáticos solo consideraban funciones continuas . En aquel entonces, la noción de continuidad se desarrolló para funciones de una o varias variables reales bastante tiempo antes de la definición formal de espacio topológico y de aplicación continua entre espacios topológicos. Dado que las funciones continuas de varias variables reales son omnipresentes en matemáticas, conviene definir esta noción sin hacer referencia a la noción general de aplicaciones continuas entre espacios topológicos.

Para definir la continuidad, es útil considerar la función de distancia de R ⁿ , que es una función definida en todas partes de 2 n variables reales:

${\displaystyle d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})=d(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}}$

Una función f es continua en un punto a = ( a ₁ , …, a _n ) que se encuentra dentro de su dominio, si, para cada número real positivo ε , existe un número real positivo φ tal que | f ( x ) − f ( a )| < ε para todo x tal que d ( x , a ) < φ . En otras palabras, φ puede elegirse lo suficientemente pequeño como para que la imagen de f de la bola de radio φ centrada en a esté contenida en el intervalo de longitud 2 ε centrado en f ( a ) . Una función es continua si es continua en cada punto de su dominio.

_Si una función es continua en f ( a ) , entonces todas las funciones univariadas que se obtienen al fijar todas las variables xᵢ excepto una en el valor aᵢ , son _continuas en f ( a ) . Lo contrario es falso; esto significa que todas estas funciones univariadas pueden ser continuas para una función que no es continua en f ( a ) . Por ejemplo, consideremos la función f tal que f (0, 0) = 0 , y que de otro modo se define por

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}.}$

Las funciones x ↦ f ( x , 0) e y ↦ f (0, y ) son ambas constantes e iguales a cero, y por lo tanto son continuas. La función f no es continua en (0, 0) , porque, si ε < 1/2 y y = x ² ≠ 0 , tenemos f ( x , y ) = 1/2 , incluso si | x | es muy pequeño. Aunque no es continua, esta función tiene además la propiedad de que todas las funciones univariadas obtenidas al restringirla a una línea que pasa por (0, 0) también son continuas. De hecho, tenemos

${\displaystyle f(x,\lambda x)={\frac {\lambda x}{x^{2}+\lambda ^{2}}}}$

para λ ≠ 0 .

El límite en un punto de una función de valores reales de varias variables reales se define de la siguiente manera. ^{[ 1 ]} Sea a = ( a ₁ , a ₂ , …, a _n ) un punto en la clausura topológica del dominio X de la función f . La función f tiene un límite L cuando x tiende hacia a , denotado

${\displaystyle L=\lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}f({\boldsymbol {x}}),}$

Si se cumple la siguiente condición: Para cada número real positivo ε > 0 , existe un número real positivo δ > 0 tal que

${\displaystyle |f({\boldsymbol {x}})-L|<\varepsilon }$

para todo x en el dominio tal que

${\displaystyle d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {a}})<\delta .}$

Si el límite existe, es único. Si a está en el interior del dominio, el límite existe si y solo si la función es continua en a . En este caso, tenemos

${\displaystyle f({\boldsymbol {a}})=\lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}f({\boldsymbol {x}}).}$

Cuando a está en el límite del dominio de f , y si f tiene un límite en a , la última fórmula permite "extender por continuidad" el dominio de f hasta a .

Las derivadas parciales se pueden definir con respecto a cada variable:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).}$

_Las derivadas parciales son funciones, cada una de las cuales representa la tasa de cambio de _{f paralela a uno de los ejes x₁} , x₂ , ... , _xn en todos los puntos del dominio (si las derivadas existen y son continuas; véase también más adelante). Una primera derivada es positiva si la función aumenta en la dirección del eje correspondiente, negativa si disminuye y cero si no hay aumento ni disminución. Al evaluar una derivada parcial en un punto del dominio, se obtiene la tasa de cambio de la función en ese punto en la dirección paralela a un eje determinado, un número real.

Para funciones de valor real de una variable real, y = f ( x ) , su derivada ordinaria dy / dx es geométricamente el gradiente de la recta tangente a la curva y = f ( x ) en todos los puntos del dominio. Las derivadas parciales extienden esta idea a los hiperplanos tangentes a una curva.

Las derivadas parciales de segundo orden se pueden calcular para cada par de variables:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).}$

Geométricamente, están relacionadas con la curvatura local de la imagen de la función en todos los puntos del dominio. En cualquier punto donde la función esté bien definida, podría estar aumentando a lo largo de algunos ejes, disminuyendo a lo largo de otros o no aumentar ni disminuir en absoluto a lo largo de otros ejes.

Esto da lugar a una variedad de posibles puntos estacionarios : máximos globales o locales, mínimos globales o locales y puntos de silla , el análogo multidimensional de los puntos de inflexión para funciones reales de una variable real. La matriz hessiana es una matriz de todas las derivadas parciales de segundo orden, que se utilizan para investigar los puntos estacionarios de la función, importantes para la optimización matemática .

En general, las derivadas parciales de orden superior p tienen la forma:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\equiv {\frac {\partial ^{p_{1}}}{\partial x_{1}^{p_{1}}}}{\frac {\partial ^{p_{2}}}{\partial x_{2}^{p_{2}}}}\cdots {\frac {\partial ^{p_{n}}}{\partial x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

donde p ₁ , p ₂ , …, p _n son enteros entre 0 y p tales que p ₁ + p ₂ + ⋯ + p _n = p , utilizando las definiciones de derivadas parciales de orden cero como operadores identidad :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{1}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad \ldots ,\,{\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{n}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,.}$

El número de derivadas parciales posibles aumenta con p , aunque algunas derivadas parciales mixtas (aquellas con respecto a más de una variable) son superfluas, debido a la simetría de las derivadas parciales de segundo orden . Esto reduce el número de derivadas parciales a calcular para algún p .

Una función f ( x ) es diferenciable en un entorno de un punto a si existe una n -tupla de números que dependen de a en general, A ( a ) = ( A ₁ ( a ), A ₂ ( a ), …, A _n ( a )) , de modo que: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+\alpha ({\boldsymbol {x}})|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|}$

dónde${\displaystyle \alpha ({\boldsymbol {x}})\to 0}$como${\displaystyle |{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|\to 0}$Esto significa que si f es diferenciable en un punto a , entonces f es continua en x = a , aunque lo contrario no es cierto: la continuidad en el dominio no implica diferenciabilidad en el dominio. Si f es diferenciable en a, entonces

${\displaystyle \left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}=A_{i}({\boldsymbol {a}})}$

para i = 1, 2, …, n , que se puede encontrar a partir de las definiciones de las derivadas parciales individuales , por lo que existen las derivadas parciales de f .

Suponiendo un análogo n -dimensional de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares , estas derivadas parciales pueden usarse para formar un operador diferencial lineal vectorial , llamado gradiente (también conocido como " nabla " o " del ") en este sistema de coordenadas:

${\displaystyle \nabla f({\boldsymbol {x}})=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)f({\boldsymbol {x}})}$

Se utiliza ampliamente en el cálculo vectorial , porque resulta útil para construir otros operadores diferenciales y formular teoremas de forma compacta en dicho cálculo.

Luego, sustituyendo el gradiente ∇ f (evaluado en x = a ) en la ecuación anterior con una ligera reordenación, se obtiene:

${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})-f({\boldsymbol {a}})=\nabla f({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+\alpha |{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|}$

donde · denota el producto escalar . Esta ecuación representa la mejor aproximación lineal de la función f en todos los puntos x dentro de un entorno de a . Para cambios infinitesimales en f y x cuando x → a :

${\displaystyle df=\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{1}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{1}+\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{2}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{2}+\dots +\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{n}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{n}=\nabla f({\boldsymbol {a}})\cdot d{\boldsymbol {x}}}$

que se define como el diferencial total , o simplemente diferencial , de f , en a . Esta expresión corresponde al cambio infinitesimal total de f , sumando todos los cambios infinitesimales de f en todas las direcciones x _i . Además, df puede interpretarse como un covector con vectores base como los infinitesimales dx _i en cada dirección y derivadas parciales de f como componentes.

Geométricamente, ∇ f es perpendicular a los conjuntos de nivel de f , dados por f ( x ) = c que, para alguna constante c, describe una hipersuperficie ( n − 1) dimensional. El diferencial de una constante es cero:

${\displaystyle df=(\nabla f)\cdot d{\boldsymbol {x}}=0}$

en la que d x es un cambio infinitesimal en x en la hipersuperficie f ( x ) = c , y dado que el producto escalar de ∇ f y d x es cero, esto significa que ∇ f es perpendicular a d x .

En sistemas de coordenadas curvilíneas arbitrarias de n dimensiones, la expresión explícita para el gradiente no sería tan simple: habría factores de escala en términos del tensor métrico para ese sistema de coordenadas. Para el caso anterior utilizado a lo largo de este artículo, la métrica es simplemente la delta de Kronecker y todos los factores de escala son 1.

Si todas las derivadas parciales de primer orden se evalúan en un punto a del dominio:

${\displaystyle \left.{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}\,,\quad \left.{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}\,,\ldots ,\left.{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}}$

Existen y son continuas para todo a en el dominio, f tiene clase de diferenciabilidad C ¹ . En general, si todas las derivadas parciales de orden p se evalúan en un punto a :

${\displaystyle \left.{\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{n}^{p_{n}}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}}$

existen y son continuos, donde p ₁ , p ₂ , …, p _n , y p son como arriba, para todo a en el dominio, entonces f es diferenciable hasta el orden p en todo el dominio y tiene clase de diferenciabilidad C ^p .

Si f pertenece a la clase de diferenciabilidad C ^∞ , tiene derivadas parciales continuas de cualquier orden y se denomina suave . Si f es una función analítica y es igual a su serie de Taylor en cualquier punto del dominio, la notación C ^ω denota esta clase de diferenciabilidad.

La integración definida puede extenderse a la integración múltiple sobre varias variables reales con la notación;

${\displaystyle \int _{R_{n}}\cdots \int _{R_{2}}\int _{R_{1}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}\equiv \int _{R}f({\boldsymbol {x}})\,d^{n}{\boldsymbol {x}}}$

donde cada región R ₁ , R ₂ , …, R _n es un subconjunto de o de toda la recta real:

${\displaystyle R_{1}\subseteq \mathbb {R} \,,\quad R_{2}\subseteq \mathbb {R} \,,\ldots ,R_{n}\subseteq \mathbb {R} ,}$

y su producto cartesiano da como resultado la región sobre la que integrar como un único conjunto:

${\displaystyle R=R_{1}\times R_{2}\times \dots \times R_{n}\,,\quad R\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,,}$

Un hipervolumen n- dimensional . Al evaluarse, una integral definida es un número real si converge en la región R de integración (el resultado de una integral definida puede divergir al infinito en una región dada; en tales casos, la integral permanece mal definida). Las variables se tratan como variables "muñecas" o "ligadas" que se sustituyen por números en el proceso de integración.

La integral de una función de valor real de una variable real y = f ( x ) con respecto a x tiene una interpretación geométrica como el área delimitada por la curva y = f ( x ) y el eje x . Las integrales múltiples extienden la dimensionalidad de este concepto: suponiendo un análogo n -dimensional de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares , la integral definida anterior tiene la interpretación geométrica como el hipervolumen n- dimensional delimitado por f ( x ) y los ejes x ₁ , x ₂ , …, x _n , que puede ser positivo, negativo o cero, dependiendo de la función que se esté integrando (si la integral es convergente).

Si bien el hipervolumen acotado es una idea útil, la noción más importante de las integrales definidas es que representan cantidades totales dentro del espacio. Esto tiene relevancia en matemáticas aplicadas y física: si f es un campo de densidad escalar y x son las coordenadas del vector de posición , es decir, una cantidad escalar por unidad de hipervolumen n- dimensional, entonces la integración sobre la región R da la cantidad total en R. Las nociones más formales de hipervolumen son objeto de la teoría de la medida . Arriba usamos la medida de Lebesgue ; consulte la integración de Lebesgue para más información sobre este tema.

Con las definiciones de integración múltiple y derivadas parciales, se pueden formular teoremas clave, incluyendo el teorema fundamental del cálculo en varias variables reales (es decir, el teorema de Stokes ), la integración por partes en varias variables reales, la simetría de las derivadas parciales de orden superior y el teorema de Taylor para funciones multivariables . La evaluación de una mezcla de integrales y derivadas parciales se puede realizar utilizando la diferenciación de teoremas bajo el signo integral .

Se puede recopilar una serie de funciones, cada una de ellas con varias variables reales, por ejemplo

${\displaystyle y_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad y_{2}=f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\ldots ,y_{m}=f_{m}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})}$

en una m -tupla, o a veces como un vector columna o un vector fila , respectivamente:

${\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m})\leftrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\f_{2}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&\cdots &f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}}$

Todos se tratan en igualdad de condiciones como un campo vectorial de m componentes , y se utiliza la forma que resulte más conveniente. Todas las notaciones anteriores comparten una notación compacta común: y = f ( x ) . El cálculo de dichos campos vectoriales se denomina cálculo vectorial . Para más información sobre el tratamiento de vectores fila y columna de funciones multivariables, consulte el cálculo matricial .

Ejemplos en mecánica de medios continuos incluyen la densidad de masa local ρ de una distribución de masa, un campo escalar que depende de las coordenadas de posición espacial (aquí cartesianas para ejemplificar), r = ( x , y , z ) , y el tiempo t :

${\displaystyle \rho =\rho (\mathbf {r} ,t)=\rho (x,y,z,t)}$

Lo mismo ocurre con la densidad de carga eléctrica de los objetos cargados eléctricamente y con muchos otros campos de potencial escalar .

Otro ejemplo es el campo de velocidad , un campo vectorial , que tiene componentes de velocidad v = ( v _x , v _y , v _z ) que son funciones multivariables de coordenadas espaciales y tiempo de manera similar:

${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (x,y,z,t)=[v_{x}(x,y,z,t),v_{y}(x,y,z,t),v_{z}(x,y,z,t)]}$

De forma similar, ocurre con otros campos vectoriales físicos, como los campos eléctricos y magnéticos , y los campos de potencial vectorial .

Otro ejemplo importante es la ecuación de estado en termodinámica , una ecuación que relaciona la presión P , la temperatura T y el volumen V de un fluido; en general, tiene una forma implícita:

${\displaystyle f(P,V,T)=0}$

El ejemplo más sencillo es la ley de los gases ideales :

${\displaystyle f(P,V,T)=PV-nRT=0}$

donde n es el número de moles , constante para una cantidad fija de sustancia , y R la constante de los gases . Se han derivado empíricamente ecuaciones de estado mucho más complejas, pero todas tienen la forma implícita anterior.

Las funciones de valor real de varias variables reales aparecen de forma generalizada en economía . En los fundamentos de la teoría del consumidor, la utilidad se expresa como una función de las cantidades de diversos bienes consumidos, siendo cada cantidad un argumento de la función de utilidad. El resultado de maximizar la utilidad es un conjunto de funciones de demanda , cada una de las cuales expresa la cantidad demandada de un bien en particular como una función de los precios de los diversos bienes y del ingreso o la riqueza. En la teoría del productor , se suele suponer que una empresa maximiza el beneficio como una función de las cantidades de diversos bienes producidos y de las cantidades de diversos factores de producción empleados. El resultado de la optimización es un conjunto de funciones de demanda para los diversos factores de producción y un conjunto de funciones de oferta para los diversos productos; cada una de estas funciones tiene como argumentos los precios de los bienes y de los factores de producción.

Algunas "magnitudes físicas" pueden tener valores complejos, como la impedancia compleja , la permitividad compleja , la permeabilidad compleja y el índice de refracción complejo . Estas también son funciones de variables reales, como la frecuencia o el tiempo, así como de la temperatura.

En mecánica de fluidos bidimensional , específicamente en la teoría de los flujos potenciales utilizada para describir el movimiento de fluidos en 2D, el potencial complejo

${\displaystyle F(x,y,\ldots )=\varphi (x,y,\ldots )+i\psi (x,y,\ldots )}$

es una función de valor complejo de las dos coordenadas espaciales x e y , y otras variables reales asociadas con el sistema. La parte real es el potencial de velocidad y la parte imaginaria es la función de corriente .

Los armónicos esféricos aparecen en física e ingeniería como la solución de la ecuación de Laplace , así como las funciones propias del operador de momento angular de componente z , que son funciones de valor complejo de ángulos polares esféricos de valor real :

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}=Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )}$

En mecánica cuántica , la función de onda es necesariamente de valor complejo, pero es una función de coordenadas espaciales reales (o componentes del momento ), así como del tiempo t :

${\displaystyle \Psi =\Psi (\mathbf {r} ,t)=\Psi (x,y,z,t)\,,\quad \Phi =\Phi (\mathbf {p} ,t)=\Phi (p_{x},p_{y},p_{z},t)}$

donde cada uno está relacionado por una transformada de Fourier .