estadística matemática

Una distribución de probabilidad es una función que asigna una probabilidad a cada subconjunto medible de los posibles resultados de un experimento aleatorio , una encuesta o un procedimiento de inferencia estadística . Ejemplos de esto se encuentran en experimentos cuyo espacio muestral no es numérico, donde la distribución sería una distribución categórica ; experimentos cuyo espacio muestral está codificado por variables aleatorias discretas , donde la distribución puede especificarse mediante una función de masa de probabilidad ; y experimentos con espacios muestrales codificados por variables aleatorias continuas, donde la distribución puede especificarse mediante una función de densidad de probabilidad . Los experimentos más complejos, como aquellos que involucran procesos estocásticos definidos en tiempo continuo , pueden requerir el uso de medidas de probabilidad más generales .

Una distribución de probabilidad puede ser univariada o multivariada . Una distribución univariada proporciona las probabilidades de que una única variable aleatoria tome diversos valores alternativos; una distribución multivariada (una distribución de probabilidad conjunta ) proporciona las probabilidades de que un vector aleatorio —un conjunto de dos o más variables aleatorias— tome diversas combinaciones de valores. Entre las distribuciones de probabilidad univariadas importantes y comunes se incluyen la distribución binomial , la distribución hipergeométrica y la distribución normal . La distribución normal multivariada es una distribución multivariada común.

La inferencia estadística es el proceso de extraer conclusiones a partir de datos sujetos a variación aleatoria, por ejemplo, errores de observación o variación muestral. ^{[ 8 ]} Los requisitos iniciales de un sistema de procedimientos de inferencia e inducción son que produzca respuestas razonables al aplicarse a situaciones bien definidas y que sea lo suficientemente general como para aplicarse a diversas situaciones. La estadística inferencial se utiliza para contrastar hipótesis y realizar estimaciones a partir de datos de muestra. Mientras que la estadística descriptiva describe una muestra, la estadística inferencial infiere predicciones sobre una población mayor que la que representa la muestra.

El resultado de la inferencia estadística puede ser una respuesta a la pregunta "¿qué se debe hacer a continuación?", donde esto podría implicar una decisión sobre la realización de experimentos o encuestas adicionales, o sobre la obtención de una conclusión antes de implementar alguna política organizacional o gubernamental. En general, la inferencia estadística formula proposiciones sobre poblaciones, utilizando datos extraídos de la población de interés mediante algún tipo de muestreo aleatorio. De manera más general, los datos sobre un proceso aleatorio se obtienen a partir de su comportamiento observado durante un período de tiempo finito. Dado un parámetro o hipótesis sobre el cual se desea realizar una inferencia, la inferencia estadística suele utilizar:

• un modelo estadístico del proceso aleatorio que se supone que genera los datos, que se conoce cuando se ha utilizado la aleatorización, y
• una realización particular del proceso aleatorio; es decir, un conjunto de datos.

En estadística , el análisis de regresión es un proceso estadístico para estimar las relaciones entre variables. Incluye diversas formas de modelar y analizar varias variables, centrándose en la relación entre una variable dependiente y una o más variables independientes . Más específicamente, el análisis de regresión ayuda a comprender cómo cambia el valor típico de la variable dependiente (o "variable criterio") cuando se varía cualquiera de las variables independientes, mientras que las demás se mantienen fijas. Generalmente, el análisis de regresión estima la esperanza condicional de la variable dependiente dadas las variables independientes; es decir, el valor promedio de la variable dependiente cuando las variables independientes son fijas. Con menos frecuencia, se centra en un cuantil u otro parámetro de localización de la distribución condicional de la variable dependiente dadas las variables independientes. En todos los casos, el objetivo de la estimación es una función de las variables independientes denominada función de regresión . En el análisis de regresión, también es de interés caracterizar la variación de la variable dependiente alrededor de la función de regresión, que puede describirse mediante una distribución de probabilidad .

Se han desarrollado numerosas técnicas para realizar análisis de regresión. Los métodos más conocidos, como la regresión lineal , son paramétricos , ya que la función de regresión se define en términos de un número finito de parámetros desconocidos que se estiman a partir de los datos (por ejemplo, mediante mínimos cuadrados ordinarios ). La regresión no paramétrica se refiere a técnicas que permiten que la función de regresión pertenezca a un conjunto específico de funciones , que pueden ser de dimensión infinita .

La estadística no paramétrica se basa en valores calculados a partir de datos sin utilizar familias parametrizadas de distribuciones de probabilidad . Incluye tanto estadística descriptiva como inferencial . Los parámetros típicos son la esperanza matemática, la varianza, etc. A diferencia de la estadística paramétrica , la estadística no paramétrica no presupone ninguna distribución de probabilidad para las variables evaluadas. ^{[ 9 ]}

Los métodos no paramétricos se utilizan ampliamente para estudiar poblaciones que adoptan un orden jerárquico (como las reseñas de películas con una a cuatro estrellas). El uso de métodos no paramétricos puede ser necesario cuando los datos tienen una clasificación pero carecen de una interpretación numérica clara, como al evaluar preferencias . En términos de niveles de medición , los métodos no paramétricos dan como resultado datos ordinales.

Dado que los métodos no paramétricos requieren menos supuestos, su aplicabilidad es mucho más amplia que la de los métodos paramétricos correspondientes. En particular, pueden aplicarse en situaciones donde se conoce menos sobre la aplicación en cuestión. Además, debido a que dependen de menos supuestos, los métodos no paramétricos son más robustos .

Una desventaja de los métodos no paramétricos es que, al no depender de supuestos, generalmente son menos potentes que sus contrapartes paramétricas. ^{[ 10 ]} Las pruebas no paramétricas de baja potencia son problemáticas porque un uso común de estos métodos es cuando una muestra tiene un tamaño de muestra pequeño. ^{[ 10 ]} Muchos métodos paramétricos han demostrado ser las pruebas más potentes a través de métodos como el lema de Neyman-Pearson y la prueba de razón de verosimilitud .

Otra justificación para el uso de métodos no paramétricos es su simplicidad. En ciertos casos, incluso cuando el uso de métodos paramétricos está justificado, los métodos no paramétricos pueden ser más fáciles de usar. Debido a esta simplicidad y a su mayor robustez, algunos estadísticos consideran que los métodos no paramétricos ofrecen menos margen para un uso incorrecto y malentendidos.