Escala logarítmica

Una escala logarítmica (o escala logarítmica ) es un método utilizado para mostrar datos numéricos que abarcan un amplio rango de valores, especialmente cuando existen diferencias significativas entre las magnitudes de los números involucrados.

A diferencia de una escala lineal , en la que cada unidad de distancia corresponde al mismo incremento, en una escala logarítmica cada unidad de longitud es un múltiplo de un valor base elevado a una potencia, y corresponde a la multiplicación del valor anterior de la escala por el valor base. En el uso común, las escalas logarítmicas están en base 10 (a menos que se especifique lo contrario).

Una escala logarítmica no es lineal y, como tal, los números con la misma distancia entre ellos, como 1, 2, 3, 4, 5, no están igualmente espaciados. Los valores igualmente espaciados en una escala logarítmica tienen exponentes que aumentan de manera uniforme. Algunos ejemplos de valores igualmente espaciados son 10, 100, 1000, 10000 y 100000 (es decir, 10 ¹ , 10 ² , 10 ³ , 10 ⁴ , 10 ⁵ ) y 2, 4, 8, 16 y 32 (es decir, 2 ¹ , 2 ² , 2 ³ , 2 ⁴ , 2 ⁵ ).

Las curvas de crecimiento exponencial a menudo se representan en un gráfico de escala logarítmica .

Las marcas en las reglas de cálculo están dispuestas en una escala logarítmica para multiplicar o dividir números sumando o restando longitudes en las escalas.

Los siguientes son ejemplos de escalas logarítmicas comúnmente utilizadas, donde una cantidad mayor da como resultado un valor mayor:

• Escala de magnitud de Richter y escala de magnitud de momento (MMS) para la fuerza de los terremotos y el movimiento en la Tierra

• Nivel de sonido , con la unidad decibel
• Neper para magnitudes de amplitud, campo y potencia
• Nivel de frecuencia , con unidades de centésima , segunda menor , segunda mayor y octava para el tono relativo de las notas en la música.
• Logit para probabilidades en estadística
• Escala de riesgo de impacto técnico de Palermo
• Línea de tiempo logarítmica
• Conteo de números f para relaciones de exposición fotográfica
• La regla de los nueves utilizada para calificar probabilidades bajas
• Entropía en termodinámica
• La información en la teoría de la información
• Curvas de distribución del tamaño de partículas del suelo

Los siguientes son ejemplos de escalas logarítmicas comúnmente utilizadas, donde una cantidad mayor da como resultado un valor menor (o negativo):

• pH para acidez
• Escala de magnitud estelar para el brillo de las estrellas
• Escala de Krumbein para el tamaño de partículas en geología
• Absorbancia de luz por muestras transparentes

Algunos de nuestros sentidos funcionan de manera logarítmica ( ley de Weber-Fechner ), lo que hace que las escalas logarítmicas para estas cantidades de entrada sean especialmente apropiadas. En particular, nuestro sentido del oído percibe proporciones iguales de frecuencias como diferencias iguales en el tono. Además, los estudios de niños pequeños en una tribu aislada han demostrado que las escalas logarítmicas son la representación más natural de los números en algunas culturas. ^[1]

El gráfico superior izquierdo es lineal en los ejes X e Y, y el eje Y varía de 0 a 10. Se utiliza una escala logarítmica de base 10 para el eje Y del gráfico inferior izquierdo, y el eje Y varía de 0,1 a 1000.

El gráfico superior derecho utiliza una escala log-10 solo para el eje X, y el gráfico inferior derecho utiliza una escala log-10 tanto para el eje X como para el eje Y.

La presentación de datos en escala logarítmica puede ser útil cuando los datos:

• cubre un amplio rango de valores, ya que el uso de los logaritmos de los valores en lugar de los valores reales reduce un rango amplio a un tamaño más manejable;
• Puede contener leyes exponenciales o leyes de potencia , ya que estas se mostrarán como líneas rectas.

Una regla de cálculo tiene escalas logarítmicas y los nomogramas suelen emplear escalas logarítmicas. La media geométrica de dos números se encuentra en el punto medio entre ellos. Antes de la llegada de los gráficos por ordenador, el papel cuadriculado logarítmico era una herramienta científica de uso común.

Si tanto el eje vertical como el horizontal de un gráfico están escalados logarítmicamente, el gráfico se denomina gráfico logarítmico-logarítmico .

Si solo la ordenada o la abscisa se escalan logarítmicamente, el gráfico se denomina gráfico semilogarítmico .

Se puede definir una transformación logarítmica modificada para una entrada negativa ( y < 0) para evitar la singularidad para una entrada cero ( y = 0) y así producir gráficos logarítmicos simétricos: ^{[2] [3]}

${\displaystyle Y=\operatorname {sgn}(y)\cdot \log _{10}(1+|y/C|)}$

para una constante C = 1/ln(10).

Una unidad logarítmica es una unidad que se puede utilizar para expresar una magnitud ( física o matemática) en una escala logarítmica, es decir, como proporcional al valor de una función logarítmica aplicada al cociente de la magnitud y una magnitud de referencia del mismo tipo. La elección de la unidad indica generalmente el tipo de magnitud y la base del logaritmo.

Entre los ejemplos de unidades logarítmicas se incluyen las unidades de información y entropía de información ( nat , shannon , ban ) y de nivel de señal ( decibel , bel, neper ). Los niveles de frecuencia o magnitudes de frecuencia logarítmica tienen varias unidades que se utilizan en electrónica ( década , octava ) y para intervalos de tono musical ( octava , semitono , cent , etc.). Otras unidades de escala logarítmica incluyen el punto de la escala de magnitud de Richter .

Además, varias medidas industriales son logarítmicas, como los valores estándar para resistencias , el calibre de cable americano , el calibre de Birmingham utilizado para cables y agujas, etc.

• bit , byte
• Hartley
• natural
• Shannon-chan

• bel , decibel
• nunca

• década , decidecade , savart
• octava , tono , semitono , centésima

Las dos definiciones de decibel son equivalentes, porque una relación de magnitudes de potencia es igual al cuadrado de la relación correspondiente de magnitudes de potencia raíz . ^{[ cita requerida ] [4]}

• Alexander Graham Bell
• Diagrama de Bode
• Media geométrica (media aritmética en escala logarítmica)
• Juan Napier
• Nivel (cantidad logarítmica)
• Gráfica logarítmica
• Logaritmo
• Media logarítmica
• Semianillo de troncos
• Número preferido
• Gráfico semilogarítmico

• Orden de magnitud

• Entropía
• Entropía (teoría de la información)
• pH
• Escala de magnitud de Richter

• Dehaene, Stanislas; Izard, Véronique; Spelke, Elizabeth ; Pica, Pierre (2008). "¿Logaritmo o lineal? Intuiciones distintas de la escala numérica en las culturas indígenas occidentales y amazónicas". Science . 320 (5880): 1217–20. Bibcode :2008Sci...320.1217D. doi :10.1126/science.1156540. PMC  2610411 . PMID  18511690.
• Tuffentsammer, Karl; Schumacher, P. (1953). "Normzahlen – die einstellige Logarithmentafel des Ingenieurs" [Números preferidos: la tabla de logaritmos de un solo dígito del ingeniero]. Werkstattechnik und Maschinenbau (en alemán). 43 (4): 156.
• Tuffentsammer, Karl (1956). "Das Dezilog, eine Brücke zwischen Logarithmen, Dezibel, Neper und Normzahlen" [El decílogo, un puente entre logaritmos, decibeles, neper y números preferidos]. VDI-Zeitschrift (en alemán). 98 : 267–274.
• Ries, Clemens (1962). Normung nach Normzahlen [ Estandarización por números preferidos ] (en alemán) (1 ed.). Berlín, Alemania: Duncker & Humblot Verlag. ISBN 978-3-42801242-8.(135 páginas)
• Paulín, Eugen (1 de septiembre de 2007). Logaritmos, Normzahlen, Dezibel, Neper, Phon - natürlich verwandt! [ Logaritmos, números preferidos, decibeles, neper, phon: ¡relacionados naturalmente! ] (PDF) (en alemán). Archivado (PDF) desde el original el 18 de diciembre de 2016 . Consultado el 18 de diciembre de 2016 .

• "Manual de GNU Emacs Calc: Unidades logarítmicas". Gnu.org . Consultado el 23 de noviembre de 2016 .
• Sitio web sobre cálculo no newtoniano