Mapa lineal

En matemáticas , y más específicamente en álgebra lineal , una función lineal (también llamada aplicación lineal , transformación lineal , homomorfismo de espacio vectorial o, en algunos contextos, función lineal ) es una aplicación entre dos espacios vectoriales que conserva las operaciones de adición de vectores y multiplicación escalar . Los mismos nombres y la misma definición también se utilizan para el caso más general de módulos sobre un anillo ; véase Homomorfismo de módulos . ${\displaystyle V\to W}$

Si un mapa lineal es una biyección entonces se llamaisomorfismo lineal . En el caso en que, una función lineal se denominaendomorfismo lineal. A veces el término${\displaystyle V=W}$El operador lineal se refiere a este caso,^[1]pero el término "operador lineal" puede tener diferentes significados para diferentes convenciones: por ejemplo, se puede usar para enfatizar queysonespacios vectorialesreales),^{[ cita requerida ]}o se puede usar para enfatizar quees unespacio de funciones, que es una convención común enel análisis funcional.^[2]A veces, el término función lineal tiene el mismo significado quemapa lineal, mientras que enel análisisno. ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V=W}$${\displaystyle V}$

Una función lineal de a siempre asigna el origen de al origen de . Además, asigna subespacios lineales en a subespacios lineales en (posiblemente de una dimensión menor ); ^[3] por ejemplo, asigna un plano que pasa por el origen en a un plano que pasa por el origen en , una línea que pasa por el origen en o simplemente el origen en . Las funciones lineales a menudo se pueden representar como matrices , y ejemplos simples incluyen transformaciones lineales de rotación y reflexión . ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

En el lenguaje de la teoría de categorías , los mapas lineales son los morfismos de los espacios vectoriales y forman una categoría equivalente a la de las matrices .

Sean y espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo . Se dice que una función es una función lineal si para dos vectores cualesquiera y cualquier escalar se cumplen las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle f:V\to W}$${\textstyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$${\displaystyle c\in K}$

• Aditividad / operación de adición$${\displaystyle f(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=f(\mathbf {u} )+f(\mathbf {v} )}$$
• Homogeneidad de grado 1 / operación de multiplicación escalar$${\displaystyle f(c\mathbf {u} )=cf(\mathbf {u} )}$$

Por lo tanto, se dice que una función lineal preserva las operaciones . En otras palabras, no importa si la función lineal se aplica antes (los lados derechos de los ejemplos anteriores) o después (los lados izquierdos de los ejemplos) de las operaciones de adición y multiplicación escalar.

Por la asociatividad de la operación de adición denotada como +, para cualesquiera vectores y escalares se cumple la siguiente igualdad: ^{[4] [5]} Por lo tanto, una función lineal es una que preserva las combinaciones lineales . ${\textstyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\in V}$${\textstyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in K,}$ $${\displaystyle f(c_{1}\mathbf {u} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {u} _{n})=c_{1}f(\mathbf {u} _{1})+\cdots +c_{n}f(\mathbf {u} _{n}).}$$

Denotando los elementos cero de los espacios vectoriales y por y respectivamente, se sigue que Sea y en la ecuación de homogeneidad de grado 1: ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\textstyle \mathbf {0} _{V}}$${\textstyle \mathbf {0} _{W}}$${\textstyle f(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}.}$${\displaystyle c=0}$${\textstyle \mathbf {v} \in V}$$${\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})=f(0\mathbf {v} )=0f(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}.}$$

Un mapa lineal considerado como un espacio vectorial unidimensional sobre sí mismo se denomina funcional lineal . ^[6]${\displaystyle V\to K}$${\displaystyle K}$

Estas afirmaciones se generalizan a cualquier módulo izquierdo sobre un anillo sin modificación, y a cualquier módulo derecho al invertir la multiplicación escalar. ${\textstyle {}_{R}M}$${\displaystyle R}$

• Un ejemplo prototípico que da a los mapas lineales su nombre es una función , cuyo gráfico es una línea que pasa por el origen. ^[7]${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto cx}$
• De manera más general, cualquier homotecia centrada en el origen de un espacio vectorial es una función lineal (aquí c es un escalar).${\textstyle \mathbf {v} \mapsto c\mathbf {v} }$
• El mapa cero entre dos espacios vectoriales (sobre el mismo campo ) es lineal.${\textstyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {0} }$
• El mapa de identidad de cualquier módulo es un operador lineal.
• Para números reales, el mapa no es lineal.${\textstyle x\mapsto x^{2}}$
• Para los números reales, la función no es lineal (sino que es una transformación afín ).${\textstyle x\mapsto x+1}$
• Si es una matriz real , entonces define una función lineal de a enviando un vector columna al vector columna . A la inversa, cualquier función lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar de esta manera; consulte el § Matrices, a continuación.${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{m}}$
• Si es una isometría entre espacios normados reales tal que entonces es una función lineal. Este resultado no es necesariamente cierto para espacios normados complejos. ^[8]${\textstyle f:V\to W}$${\textstyle f(0)=0}$${\displaystyle f}$
• La diferenciación define una función lineal desde el espacio de todas las funciones diferenciables al espacio de todas las funciones. También define un operador lineal en el espacio de todas las funciones suaves (un operador lineal es un endomorfismo lineal , es decir, una función lineal con el mismo dominio y codominio ). De hecho,$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(af(x)+bg(x)\right)=a{\frac {df(x)}{dx}}+b{\frac {dg(x)}{dx}}.}$$
• Una integral definida sobre un intervalo I es una función lineal del espacio de todas las funciones integrables de valor real en I a . De hecho,${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \int _{u}^{v}\left(af(x)+bg(x)\right)dx=a\int _{u}^{v}f(x)dx+b\int _{u}^{v}g(x)dx.}$$
• Una integral indefinida (o antiderivada ) con un punto de inicio de integración fijo define una función lineal desde el espacio de todas las funciones integrables de valor real hasta el espacio de todas las funciones diferenciables de valor real en . Sin un punto de inicio fijo, la antiderivada se aplica al espacio cociente de las funciones diferenciables por el espacio lineal de funciones constantes.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Si y son espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo F , de dimensiones respectivas m y n , entonces la función que asigna aplicaciones lineales a matrices n × m de la manera descrita en § Matrices (abajo) es una aplicación lineal, e incluso un isomorfismo lineal .${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\textstyle f:V\to W}$
• El valor esperado de una variable aleatoria (que de hecho es una función y, como tal, un elemento de un espacio vectorial) es lineal, como para las variables aleatorias y tenemos y , pero la varianza de una variable aleatoria no es lineal.${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle E[X+Y]=E[X]+E[Y]}$${\displaystyle E[aX]=aE[X]}$

• 
  La función con es una función lineal. Esta función escala el componente de un vector por el factor .${\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$${\textstyle x}$${\textstyle 2}$
• 
  La función es aditiva: no importa si los vectores primero se suman y luego se asignan o si se asignan y finalmente se suman:${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$${\textstyle f(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=f(\mathbf {a} )+f(\mathbf {b} )}$
• 
  La función es homogénea: no importa si un vector primero se escala y luego se mapea o primero se mapea y luego se escala:${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$${\textstyle f(\lambda \mathbf {a} )=\lambda f(\mathbf {a} )}$

A menudo, un mapa lineal se construye definiéndolo en un subconjunto de un espacio vectorial y luegoextendiéndose por linealidad hasta elespacio linealdel dominio. Supóngaseque yson espacios vectoriales yes unafuncióndefinida en algún subconjunto. Entonces, una${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle S\subseteq X.}$extensión lineal dea${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$si existe, es una función linealdefinida enqueextiende^{[nota 1]}(lo que significa quepara todos) y toma sus valores del codominio de^[9] Cuando el subconjuntoes un subespacio vectorial deentonces se garantiza que existe unaextensión lineal (-valuada) dea todos desi (y solo si)es una función lineal.^[9]En particular, sitiene una extensión lineal aentonces tiene una extensión lineal a todos de${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle F(s)=f(s)}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {span} S,}$${\displaystyle X.}$

El mapa se puede extender a un mapa lineal si y solo si siempre que es un entero, son escalares y son vectores tales que entonces necesariamente ^[10] Si existe una extensión lineal de entonces la extensión lineal es única y se cumple para todos y como se indicó anteriormente. ^[10] Si es linealmente independiente, entonces cada función en cualquier espacio vectorial tiene una extensión lineal a un mapa (lineal) (lo inverso también es cierto). ${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle F:\operatorname {span} S\to Y}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in S}$${\displaystyle 0=c_{1}s_{1}+\cdots +c_{n}s_{n},}$${\displaystyle 0=c_{1}f\left(s_{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(s_{n}\right).}$${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle F:\operatorname {span} S\to Y}$$${\displaystyle F\left(c_{1}s_{1}+\cdots c_{n}s_{n}\right)=c_{1}f\left(s_{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(s_{n}\right)}$$${\displaystyle n,c_{1},\ldots ,c_{n},}$${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle \;\operatorname {span} S\to Y}$

Por ejemplo, si y entonces la asignación y se puede extender linealmente desde el conjunto linealmente independiente de vectores a un mapa lineal en La única extensión lineal es el mapa que envía a ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$${\displaystyle (1,0)\to -1}$${\displaystyle (0,1)\to 2}$${\displaystyle S:=\{(1,0),(0,1)\}}$${\displaystyle \operatorname {span} \{(1,0),(0,1)\}=\mathbb {R} ^{2}.}$${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle (x,y)=x(1,0)+y(0,1)\in \mathbb {R} ^{2}}$$${\displaystyle F(x,y)=x(-1)+y(2)=-x+2y.}$$

Cada funcional lineal (de valor escalar) definido en un subespacio vectorial de un espacio vectorial real o complejo tiene una extensión lineal para todos los de De hecho, el teorema de extensión dominada de Hahn-Banach incluso garantiza que cuando este funcional lineal está dominado por alguna seminorma dada (lo que significa que se cumple para todos en el dominio de ), entonces existe una extensión lineal para que también está dominada por${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle |f(m)|\leq p(m)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p.}$

Si y son espacios vectoriales de dimensión finita y se define una base para cada espacio vectorial, entonces cada función lineal de a puede representarse mediante una matriz . ^[11] Esto es útil porque permite cálculos concretos. Las matrices proporcionan ejemplos de funciones lineales: si es una matriz real , entonces describe una función lineal (véase espacio euclidiano ). ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$

Sea una base para . Entonces cada vector está determinado de forma única por los coeficientes del campo : ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \mathbf {v} =c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}.}$$

Si es un mapa lineal, ${\textstyle f:V\to W}$$${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f(c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n})=c_{1}f(\mathbf {v} _{1})+\cdots +c_{n}f\left(\mathbf {v} _{n}\right),}$$

lo que implica que la función f está completamente determinada por los vectores . Ahora sea una base para . Entonces podemos representar cada vector como ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})}$${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$$${\displaystyle f\left(\mathbf {v} _{j}\right)=a_{1j}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{mj}\mathbf {w} _{m}.}$$

Por lo tanto, la función está completamente determinada por los valores de . Si ponemos estos valores en una matriz , entonces podemos usarla convenientemente para calcular la salida vectorial de para cualquier vector en . Para obtener , cada columna de es un vector correspondiente a como se definió anteriormente. Para definirlo más claramente, para alguna columna que corresponde a la aplicación , donde es la matriz de . En otras palabras, cada columna tiene un vector correspondiente cuyas coordenadas son los elementos de la columna . Una única aplicación lineal puede estar representada por muchas matrices. Esto se debe a que los valores de los elementos de una matriz dependen de las bases elegidas. ${\displaystyle f}$${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle M}$${\displaystyle j}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$$${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}\ \cdots &a_{1j}&\cdots \ \\&\vdots &\\&a_{mj}&\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$${\displaystyle a_{1j},\cdots ,a_{mj}}$${\displaystyle j}$

Las matrices de una transformación lineal se pueden representar visualmente:

1. Matriz para relativo a :${\textstyle T}$${\textstyle B}$${\textstyle A}$
2. Matriz para relativo a :${\textstyle T}$${\textstyle B'}$${\textstyle A'}$
3. Matriz de transición de a :${\textstyle B'}$${\textstyle B}$${\textstyle P}$
4. Matriz de transición de a :${\textstyle B}$${\textstyle B'}$${\textstyle P^{-1}}$

De modo que, comenzando en la esquina inferior izquierda y buscando la esquina inferior derecha , se multiplicaría por la izquierda, es decir, . El método equivalente sería el método "más largo" que se ejecuta en el sentido de las agujas del reloj desde el mismo punto, de modo que se multiplica por la izquierda con , o . ${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$${\textstyle \left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$${\textstyle A'\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$${\textstyle P^{-1}AP}$${\textstyle P^{-1}AP\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$

En el espacio bidimensional R ² se describen aplicaciones lineales mediante matrices de 2 × 2. Estos son algunos ejemplos:

• rotación
  • 90 grados en sentido antihorario:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$$
  • por un ángulo θ en sentido antihorario:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$$
• reflexión
  • a través del eje x :$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$$
  • a través del eje y :$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$$
  • a través de una línea que forma un ángulo θ con el origen:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix}}}$$
• escalando por 2 en todas las direcciones:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}=2\mathbf {I} }$$
• mapeo de cizallamiento horizontal :$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}}$$
• inclinación del eje y en un ángulo θ :$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&-\sin \theta \\0&\cos \theta \end{pmatrix}}}$$
• mapeo de compresión :$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}k&0\\0&{\frac {1}{k}}\end{pmatrix}}}$$
• proyección sobre el eje y :$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$$

Si un mapa lineal solo se compone de rotación, reflexión y/o escala uniforme, entonces el mapa lineal es una transformación lineal conforme .

La composición de las aplicaciones lineales es lineal: si y son lineales, entonces también lo es su composición . De esto se sigue que la clase de todos los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado K , junto con las aplicaciones K -lineales como morfismos , forma una categoría . ${\displaystyle f:V\to W}$${\textstyle g:W\to Z}$ ${\textstyle g\circ f:V\to Z}$

La inversa de un mapa lineal, cuando se define, es nuevamente un mapa lineal.

Si y son lineales, entonces también lo es su suma puntual , que está definida por . ${\textstyle f_{1}:V\to W}$${\textstyle f_{2}:V\to W}$${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$${\displaystyle (f_{1}+f_{2})(\mathbf {x} )=f_{1}(\mathbf {x} )+f_{2}(\mathbf {x} )}$

Si es lineal y es un elemento del campo base , entonces el mapa , definido por , también es lineal. ${\textstyle f:V\to W}$${\textstyle \alpha }$${\textstyle K}$${\textstyle \alpha f}$${\textstyle (\alpha f)(\mathbf {x} )=\alpha (f(\mathbf {x} ))}$

Así, el conjunto de aplicaciones lineales de a sí mismo forma un espacio vectorial sobre , ^[12] a veces denotado . ^[13] Además, en el caso de que , este espacio vectorial, denotado , es un álgebra asociativa bajo composición de aplicaciones , ya que la composición de dos aplicaciones lineales es nuevamente una aplicación lineal, y la composición de aplicaciones es siempre asociativa. Este caso se analiza con más detalle a continuación. ${\textstyle {\mathcal {L}}(V,W)}$${\textstyle V}$${\textstyle W}$${\textstyle K}$${\textstyle \operatorname {Hom} (V,W)}$${\textstyle V=W}$${\textstyle \operatorname {End} (V)}$

Dado nuevamente el caso de dimensión finita, si se han elegido bases, entonces la composición de aplicaciones lineales corresponde a la multiplicación de matrices , la adición de aplicaciones lineales corresponde a la adición de matrices , y la multiplicación de aplicaciones lineales con escalares corresponde a la multiplicación de matrices con escalares.

Una transformación lineal es un endomorfismo de ; el conjunto de todos esos endomorfismos junto con la adición, la composición y la multiplicación escalar como se definió anteriormente forma un álgebra asociativa con elemento identidad sobre el cuerpo (y en particular un anillo ). El elemento identidad multiplicativo de esta álgebra es la función identidad . ${\textstyle f:V\to V}$${\textstyle V}$${\textstyle \operatorname {End} (V)}$${\textstyle K}$ ${\textstyle \operatorname {id} :V\to V}$

Un endomorfismo de que es también un isomorfismo se llama automorfismo de . La composición de dos automorfismos es de nuevo un automorfismo, y el conjunto de todos los automorfismos de forma un grupo , cuyo grupo de automorfismos se denota por o . Puesto que los automorfismos son precisamente aquellos endomorfismos que poseen inversas bajo composición, es el grupo de unidades en el anillo . ${\textstyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle \operatorname {Aut} (V)}$${\textstyle \operatorname {GL} (V)}$${\textstyle \operatorname {Aut} (V)}$${\textstyle \operatorname {End} (V)}$

Si tiene dimensión finita , entonces es isomorfo al álgebra asociativa de todas las matrices con entradas en . El grupo de automorfismos de es isomorfo al grupo lineal general de todas las matrices invertibles con entradas en . ${\textstyle V}$${\textstyle n}$${\textstyle \operatorname {End} (V)}$${\textstyle n\times n}$${\textstyle K}$${\textstyle V}$ ${\textstyle \operatorname {GL} (n,K)}$${\textstyle n\times n}$${\textstyle K}$

Si es lineal, definimos el núcleo y la imagen o rango de por ${\textstyle f:V\to W}$${\textstyle f}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ker(f)&=\{\,\mathbf {x} \in V:f(\mathbf {x} )=\mathbf {0} \,\}\\\operatorname {im} (f)&=\{\,\mathbf {w} \in W:\mathbf {w} =f(\mathbf {x} ),\mathbf {x} \in V\,\}\end{aligned}}}$$

${\textstyle \ker(f)}$es un subespacio de y es un subespacio de . La siguiente fórmula de dimensión se conoce como teorema de rango-nulidad : ^[14]${\textstyle V}$${\textstyle \operatorname {im} (f)}$${\textstyle W}$ $${\displaystyle \dim(\ker(f))+\dim(\operatorname {im} (f))=\dim(V).}$$

El número también se llama rango de y se escribe como , o a veces, ; ^{[15] [16]} el número se llama nulidad de y se escribe como o . ^{[15] [16]} Si y son de dimensión finita, se han elegido bases y está representado por la matriz , entonces el rango y la nulidad de son iguales al rango y la nulidad de la matriz , respectivamente. ${\textstyle \dim(\operatorname {im} (f))}$${\textstyle f}$${\textstyle \operatorname {rank} (f)}$${\textstyle \rho (f)}$${\textstyle \dim(\ker(f))}$${\textstyle f}$${\textstyle \operatorname {null} (f)}$${\textstyle \nu (f)}$${\textstyle V}$${\textstyle W}$${\textstyle f}$${\textstyle A}$${\textstyle f}$${\textstyle A}$

Un invariante más sutil de una transformación lineal es el co- núcleo , que se define como ${\textstyle f:V\to W}$$${\displaystyle \operatorname {coker} (f):=W/f(V)=W/\operatorname {im} (f).}$$

Esta es la noción dual del núcleo: así como el núcleo es un subespacio del dominio, el co-núcleo es un espacio cociente del objetivo. Formalmente, se tiene la secuencia exacta $${\displaystyle 0\to \ker(f)\to V\to W\to \operatorname {coker} (f)\to 0.}$$

Estos pueden interpretarse así: dada una ecuación lineal f ( v ) = w para resolver,

• el núcleo es el espacio de soluciones de la ecuación homogénea f ( v ) = 0, y su dimensión es el número de grados de libertad en el espacio de soluciones, si no está vacío;
• El co-núcleo es el espacio de restricciones que las soluciones deben satisfacer, y su dimensión es el número máximo de restricciones independientes.

La dimensión del co-núcleo y la dimensión de la imagen (el rango) se suman para dar la dimensión del espacio objetivo. Para dimensiones finitas, esto significa que la dimensión del espacio cociente W / f ( V ) es la dimensión del espacio objetivo menos la dimensión de la imagen.

Como ejemplo simple, considere la función f : R ² → R ² , dada por f ( x , y ) = (0, y ). Entonces, para que una ecuación f ( x , y ) = ( a , b ) tenga una solución, debemos tener a = 0 (una restricción), y en ese caso el espacio de solución es ( x , b ) o, expresado de manera equivalente, (0, b ) + ( x , 0), (un grado de libertad). El núcleo puede expresarse como el subespacio ( x , 0) < V : el valor de x es la libertad en una solución, mientras que el conúcleo puede expresarse mediante la función W → R , : dado un vector ( a , b ), el valor de a es la obstrucción para que haya una solución. ${\textstyle (a,b)\mapsto (a)}$

Un ejemplo que ilustra el caso de dimensión infinita lo proporciona la función f : R ^∞ → R ^∞ , con b ₁ = 0 y b _{n + 1} = a _n para n > 0. Su imagen consiste en todas las secuencias con primer elemento 0, y por lo tanto su co-núcleo consiste en las clases de secuencias con primer elemento idéntico. Por lo tanto, mientras que su núcleo tiene dimensión 0 (asigna solo la secuencia cero a la secuencia cero), su co-núcleo tiene dimensión 1. Dado que el dominio y el espacio objetivo son los mismos, el rango y la dimensión del núcleo suman la misma suma que el rango y la dimensión del co-núcleo ( ), pero en el caso de dimensión infinita no se puede inferir que el núcleo y el co-núcleo de un endomorfismo tengan la misma dimensión (0 ≠ 1). La situación inversa se obtiene para la función h : R ^∞ → R ^∞ , con c _n = a _{n + 1} . Su imagen es todo el espacio objetivo y, por lo tanto, su co-núcleo tiene dimensión 0, pero como asigna todas las secuencias en las que solo el primer elemento no es cero a la secuencia cero, su núcleo tiene dimensión 1. ${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{b_{n}\right\}}$${\textstyle \aleph _{0}+0=\aleph _{0}+1}$${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{c_{n}\right\}}$

Para un operador lineal con núcleo y co-núcleo de dimensión finita, se puede definir el índice como: es decir, los grados de libertad menos el número de restricciones. $${\displaystyle \operatorname {ind} (f):=\dim(\ker(f))-\dim(\operatorname {coker} (f)),}$$

Para una transformación entre espacios vectoriales de dimensión finita, esta es simplemente la diferencia dim( V ) − dim( W ), por rango–nulidad. Esto da una indicación de cuántas soluciones o cuántas restricciones uno tiene: si se aplica un mapeo de un espacio más grande a uno más pequeño, el mapeo puede ser sobreyectivo y, por lo tanto, tendrá grados de libertad incluso sin restricciones. Por el contrario, si se aplica un mapeo de un espacio más pequeño a uno más grande, el mapeo no puede ser sobreyectivo y, por lo tanto, uno tendrá restricciones incluso sin grados de libertad.

El índice de un operador es precisamente la característica de Euler del complejo de 2 términos 0 → V → W → 0. En la teoría de operadores , el índice de los operadores de Fredholm es un objeto de estudio, siendo un resultado importante el teorema del índice de Atiyah-Singer . ^[17]

Ninguna clasificación de aplicaciones lineales podría ser exhaustiva. La siguiente lista incompleta enumera algunas clasificaciones importantes que no requieren ninguna estructura adicional en el espacio vectorial.

Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo F y sea T : V → W una función lineal.

Se dice que T es inyectiva o un monomorfismo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. T es uno a uno como un mapa de conjuntos .
2. voltaje T = {0 _V }
3. atenuación(ker T ) = 0
4. T es mónico o cancelable por la izquierda, es decir, para cualquier espacio vectorial U y cualquier par de aplicaciones lineales R : U → V y S : U → V , la ecuación TR = TS implica R = S .
5. T es invertible por la izquierda , lo que significa que existe una función lineal S : W → V tal que ST es la función identidad en V .

Se dice que T es sobreyectiva o un epimorfismo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. T es sobre un mapa de conjuntos.
2. coquizador T = {0 _W }
3. T is epic or right-cancellable, which is to say, for any vector space U and any pair of linear maps R: W → U and S: W → U, the equation RT = ST implies R = S.
4. T is right-invertible, which is to say there exists a linear map S: W → V such that TS is the identity map on W.

T is said to be an isomorphism if it is both left- and right-invertible. This is equivalent to T being both one-to-one and onto (a bijection of sets) or also to T being both epic and monic, and so being a bimorphism.

If T: V → V is an endomorphism, then:

• If, for some positive integer n, the n-th iterate of T, Tⁿ, is identically zero, then T is said to be nilpotent.
• If T² = T, then T is said to be idempotent
• If T = kI, where k is some scalar, then T is said to be a scaling transformation or scalar multiplication map; see scalar matrix.

Given a linear map which is an endomorphism whose matrix is A, in the basis B of the space it transforms vector coordinates [u] as [v] = A[u]. As vectors change with the inverse of B (vectors coordinates are contravariant) its inverse transformation is [v] = B[v'].

Substituting this in the first expression $${\displaystyle B\left[v'\right]=AB\left[u'\right]}$$ hence $${\displaystyle \left[v'\right]=B^{-1}AB\left[u'\right]=A'\left[u'\right].}$$

Therefore, the matrix in the new basis is A′ = B⁻¹AB, being B the matrix of the given basis.

Therefore, linear maps are said to be 1-co- 1-contra-variant objects, or type (1, 1) tensors.

A linear transformation between topological vector spaces, for example normed spaces, may be continuous. If its domain and codomain are the same, it will then be a continuous linear operator. A linear operator on a normed linear space is continuous if and only if it is bounded, for example, when the domain is finite-dimensional.^[18] An infinite-dimensional domain may have discontinuous linear operators.

An example of an unbounded, hence discontinuous, linear transformation is differentiation on the space of smooth functions equipped with the supremum norm (a function with small values can have a derivative with large values, while the derivative of 0 is 0). For a specific example, sin(nx)/n converges to 0, but its derivative cos(nx) does not, so differentiation is not continuous at 0 (and by a variation of this argument, it is not continuous anywhere).

A specific application of linear maps is for geometric transformations, such as those performed in computer graphics, where the translation, rotation and scaling of 2D or 3D objects is performed by the use of a transformation matrix. Linear mappings also are used as a mechanism for describing change: for example in calculus correspond to derivatives; or in relativity, used as a device to keep track of the local transformations of reference frames.

Another application of these transformations is in compiler optimizations of nested-loop code, and in parallelizing compiler techniques.

• Additive map – Z-module homomorphism
• Antilinear map – Conjugate homogeneous additive map
• Bent function – Special type of Boolean function
• Bounded operator – Linear transformation between topological vector spaces
• Cauchy's functional equation – Functional equation
• Continuous linear operator
• Linear functional – Linear map from a vector space to its field of scalarsPages displaying short descriptions of redirect targets
• Linear isometry – Distance-preserving mathematical transformationPages displaying short descriptions of redirect targets
• Category of matrices
• Quasilinearization

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