Mapa lineal discontinuo

En matemáticas , las aplicaciones lineales forman una clase importante de funciones "simples" que conservan la estructura algebraica de los espacios lineales y se utilizan a menudo como aproximaciones a funciones más generales (véase aproximación lineal ). Si los espacios involucrados son también espacios topológicos (es decir, espacios vectoriales topológicos ), entonces tiene sentido preguntarse si todas las aplicaciones lineales son continuas . Resulta que para aplicaciones definidas en espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita (por ejemplo, espacios normados de dimensión infinita ), la respuesta es generalmente no: existen aplicaciones lineales discontinuas . Si el dominio de definición es completo , la situación es más compleja; se puede demostrar la existencia de tales aplicaciones, pero la demostración se basa en el axioma de elección y no proporciona un ejemplo explícito.

Sean X e Y dos espacios normados y${\displaystyle f:X\to Y}$una aplicación lineal de X a Y. Si X es de dimensión finita , elija una base.${\displaystyle \left(e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\right)}$en X que pueden tomarse como vectores unitarios. Entonces, $${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}f(e_{i}),}$$ y así por la desigualdad triangular , $${\displaystyle \|f(x)\|=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}f(e_{i})\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\|f(e_{i})\|.}$$ Alquiler $${\displaystyle M=\sup _{i}\{\|f(e_{i})\|\},}$$ y utilizando el hecho de que $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\leq C\|x\|}$$ Para algún C > 0, lo cual se deduce del hecho de que cualesquiera dos normas en un espacio de dimensión finita son equivalentes , se encuentra: $${\displaystyle \|f(x)\|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\right)M\leq CM\|x\|.}$$ De este modo,${\displaystyle f}$es un operador lineal acotado y, por lo tanto, es continuo. De hecho, para ver esto, simplemente observe que f es lineal y, por lo tanto,${\displaystyle \|f(x)-f(x')\|=\|f(xx')\|\leq K\|xx'\|}$para alguna constante universal K. Por lo tanto, para cualquier${\displaystyle \epsilon >0,}$ podemos elegir${\displaystyle \delta \leq \epsilon /K}$de modo que${\displaystyle f(B(x,\delta ))\subseteq B(f(x),\epsilon )}$(${\displaystyle B(x,\delta )}$y ${\displaystyle B(f(x),\epsilon )}$¿Están las bolas normalizadas alrededor?${\displaystyle x}$y${\displaystyle f(x)}$), lo que da continuidad.

Si X es de dimensión infinita, esta demostración fallará, ya que no hay garantía de que exista el supremo M. Si Y es el espacio cero {0}, la única aplicación entre X e Y es la aplicación cero, que es trivialmente continua. En todos los demás casos, cuando X es de dimensión infinita e Y no es el espacio cero, se puede encontrar una aplicación discontinua de X a Y.

Es fácil construir ejemplos de aplicaciones lineales discontinuas en espacios incompletos; en cualquier secuencia de Cauchy.${\displaystyle e_{i}}$de vectores linealmente independientes que no tienen límite, existe un operador lineal${\displaystyle T}$de tal manera que las cantidades${\displaystyle \|T(e_{i})\|/\|e_{i}\|}$Crecen sin límite. En cierto sentido, los operadores lineales no son continuos porque el espacio tiene "agujeros".

Por ejemplo, considere el espacio${\displaystyle X}$de funciones suaves de valor real en el intervalo [0, 1] con la norma uniforme , es decir, $${\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|.}$$ El mapa de derivadas en un punto , dado por $${\displaystyle T(f)=f'(0)\,}$$ definido en${\displaystyle X}$y con valores reales, es lineal, pero no continua. De hecho, consideremos la secuencia $${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\sin(n^{2}x)}{n}}}$$ para${\displaystyle n\geq 1}$Esta secuencia converge uniformemente a la función constantemente cero, pero $${\displaystyle T(f_{n})={\frac {n^{2}\cos(n^{2}\cdot 0)}{n}}=n\to ​​\infty }$$

como${\displaystyle n\to \infty }$en lugar de${\displaystyle T(f_{n})\to T(0)=0}$, como ocurriría con un mapa continuo. Nótese que${\displaystyle T}$es de valor real, y por lo tanto es en realidad un funcional lineal en${\displaystyle X}$(un elemento del espacio dual algebraico${\displaystyle X^{*}}$). El mapa lineal${\displaystyle X\to X}$que asigna a cada función su derivada es igualmente discontinua. Nótese que aunque el operador de derivada no es continuo, es cerrado .

Es importante destacar que el dominio no es completo en este caso: los operadores discontinuos en espacios completos requieren un poco más de trabajo.

Una base algebraica para los números reales como un espacio vectorial sobre los racionales se conoce como base de Hamel (nótese que algunos autores usan este término en un sentido más amplio para referirse a una base algebraica de cualquier espacio vectorial). Nótese que cualesquiera dos números no conmensurables , digamos 1 y${\displaystyle \pi }$son linealmente independientes. Se puede encontrar una base de Hamel que las contenga y definir una aplicación.${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$de modo que${\displaystyle f(\pi )=0,}$f actúa como la identidad sobre la base de Hamel y se extiende a todo${\displaystyle \mathbb {R} }$por linealidad. Sea { r _n } _n cualquier sucesión de racionales que converge a${\displaystyle \pi }$. Entonces lim _n f ( r _n ) = π, pero${\displaystyle f(\pi )=0.}$ Por construcción, f es lineal sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$(no termina${\displaystyle \mathbb {R} }$), pero no continua. Nótese que f tampoco es medible ; una función real aditiva es lineal si y solo si es medible, por lo que para cada función de este tipo existe un conjunto de Vitali . La construcción de f se basa en el axioma de elección.

Este ejemplo puede extenderse a un teorema general sobre la existencia de aplicaciones lineales discontinuas en cualquier espacio normado de dimensión infinita (siempre que el codominio no sea trivial).

Se puede demostrar que existen aplicaciones lineales discontinuas de forma más general, incluso si el espacio es completo. Sean X e Y espacios normados sobre el cuerpo K donde${\displaystyle K=\mathbb {R} }$o${\displaystyle K=\mathbb {C} .}$Supongamos que X es de dimensión infinita y que Y no es el espacio cero. Encontraremos una aplicación lineal discontinua f de X a K , lo que implicará la existencia de una aplicación lineal discontinua g de X a Y dada por la fórmula${\displaystyle g(x)=f(x)y_{0}}$dónde${\displaystyle y_{0}}$es un vector no nulo arbitrario en Y.

Si X es de dimensión infinita, demostrar la existencia de un funcional lineal que no es continuo equivale a construir f que no está acotada. Para ello, consideremos una sucesión ( e _n ) _n (${\displaystyle n\geq 1}$) de vectores linealmente independientes en X , que normalizamos. Luego, definimos $${\displaystyle T(e_{n})=n\|e_{n}\|\,}$$ para cada${\displaystyle n=1,2,\ldots }$Completa esta secuencia de vectores linealmente independientes para formar una base de espacio vectorial X definiendo T como cero en los demás vectores de la base. T, así definida , se extenderá de forma única a una aplicación lineal en X , y dado que claramente no está acotada, no es continua.

Nótese que, al utilizar el hecho de que cualquier conjunto de vectores linealmente independientes puede completarse a una base, utilizamos implícitamente el axioma de elección, que no era necesario para el ejemplo concreto de la sección anterior.

Como se mencionó anteriormente, el axioma de elección (AC) se utiliza en el teorema general de existencia de aplicaciones lineales discontinuas. De hecho, no existen ejemplos constructivos de aplicaciones lineales discontinuas con dominio completo (por ejemplo, espacios de Banach ). En el análisis tal como lo practican habitualmente los matemáticos, el axioma de elección se emplea siempre (es un axioma de la teoría de conjuntos ZFC ); por lo tanto, para el analista, todos los espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita admiten aplicaciones lineales discontinuas.

Por otro lado, en 1970 Robert M. Solovay presentó un modelo de teoría de conjuntos en el que todo conjunto de números reales es medible. ^{[ 1 ]} Esto implica que no existen funciones reales lineales discontinuas. Claramente, la condición AC no se cumple en este modelo.

El resultado de Solovay muestra que no es necesario asumir que todos los espacios vectoriales de dimensión infinita admiten aplicaciones lineales discontinuas, y existen escuelas de análisis que adoptan un punto de vista más constructivista . Por ejemplo, HG Garnir, en su búsqueda de los llamados "espacios de ensueño" (espacios vectoriales topológicos en los que toda aplicación lineal a un espacio normado es continua), llegó a adoptar ZF + DC + BP (la elección dependiente es una forma debilitada y la propiedad de Baire es una negación de AC fuerte) como sus axiomas para demostrar el teorema del grafo cerrado de Garnir-Wright , que establece, entre otras cosas, que cualquier aplicación lineal de un espacio F a un TVS es continua. En el extremo del constructivismo , está el teorema de Ceitin , que establece que toda función es continua (esto debe entenderse en la terminología del constructivismo, según la cual solo las funciones representables se consideran funciones). ^{[ 2 ]} Tales posturas son sostenidas solo por una pequeña minoría de matemáticos en activo.

En resumen, la existencia de aplicaciones lineales discontinuas depende de AC; es consistente con la teoría de conjuntos sin AC que no existan aplicaciones lineales discontinuas en espacios completos. En particular, ninguna construcción concreta, como la derivada, puede definir una aplicación lineal discontinua en cualquier punto de un espacio completo.

Muchos operadores lineales discontinuos que aparecen de forma natural son cerrados , una clase de operadores que comparten algunas características con los operadores continuos. Resulta lógico preguntarse qué operadores lineales en un espacio dado son cerrados. El teorema del grafo cerrado afirma que un operador cerrado definido en todo un dominio completo es continuo; por lo tanto, para obtener un operador cerrado discontinuo, se deben permitir operadores que no estén definidos en todas partes.

Para ser más concretos, dejemos que...${\displaystyle T}$ser un mapa de${\displaystyle X}$a${\displaystyle Y}$con dominio${\displaystyle \operatorname {Dom} (T),}$escrito${\displaystyle T:\operatorname {Dom} (T)\subseteq X\to Y.}$No perdemos mucho si reemplazamos X por el cierre de${\displaystyle \operatorname {Dom} (T).}$Es decir, al estudiar operadores que no están definidos en todas partes, uno puede restringir su atención a operadores densamente definidos sin pérdida de generalidad.

Si el gráfico${\displaystyle \Gamma (T)}$de${\displaystyle T}$está cerrado en${\displaystyle X\times Y,}$Llamamos a T cerrado . De lo contrario, consideremos su cierre.${\displaystyle {\overline {\Gamma (T)}}}$en${\displaystyle X\times Y.}$ Si${\displaystyle {\overline {\Gamma (T)}}}$es en sí mismo la gráfica de algún operador${\displaystyle {\overline {T}},}$${\displaystyle T}$se llama cerrable y${\displaystyle {\overline {T}}}$se llama el cierre de${\displaystyle T.}$

Así pues, la pregunta natural que surge al plantearse acerca de los operadores lineales que no están definidos en todas partes es si son cerrables. La respuesta es: «no necesariamente»; de hecho, todo espacio normado de dimensión infinita admite operadores lineales que no son cerrables. Al igual que en el caso de los operadores discontinuos considerados anteriormente, la demostración requiere el axioma de elección y, por lo tanto, en general no es constructiva, aunque, de nuevo, si X no es completo, existen ejemplos construibles.

De hecho, incluso existe un ejemplo de un operador lineal cuya gráfica tiene cierre en todos los casos.${\displaystyle X\times Y.}$ Dicho operador no es cerrable. Sea X el espacio de funciones polinómicas de [0,1] a${\displaystyle \mathbb {R} }$y Y el espacio de funciones polinómicas de [2,3] a${\displaystyle \mathbb {R} }$Son subespacios de C ([0,1]) y C ([2,3]) respectivamente, y por lo tanto espacios normados. Definimos un operador T que transforma la función polinómica x ↦ p ( x ) en [0,1] en la misma función en [2,3]. Como consecuencia del teorema de Stone-Weierstrass , la gráfica de este operador es densa en${\displaystyle X\times Y,}$Esto proporciona una especie de aplicación lineal máximamente discontinua (que no tiene continuidad en ningún punto ). Nótese que X no es completa aquí, como debe ser el caso cuando existe una aplicación constructable de este tipo.

El espacio dual de un espacio vectorial topológico es el conjunto de aplicaciones lineales continuas del espacio al cuerpo subyacente. Por lo tanto, el hecho de que algunas aplicaciones lineales no sean continuas para espacios normados de dimensión infinita implica que, para estos espacios, es necesario distinguir el espacio dual algebraico del espacio dual continuo, que es un subconjunto propio. Esto ilustra la necesidad de extremar las precauciones al analizar espacios de dimensión infinita en comparación con los de dimensión finita.

El argumento a favor de la existencia de aplicaciones lineales discontinuas en espacios normados puede generalizarse a todos los espacios vectoriales topológicos metrizables, especialmente a todos los espacios de Fréchet, pero existen espacios vectoriales topológicos localmente convexos de dimensión infinita tales que cada funcional es continuo. ^{[ 3 ]} Por otro lado, el teorema de Hahn-Banach , que se aplica a todos los espacios localmente convexos, garantiza la existencia de muchos funcionales lineales continuos y, por lo tanto, un gran espacio dual. De hecho, a cada conjunto convexo, el calibre de Minkowski asocia un funcional lineal continuo . La consecuencia es que los espacios con menos conjuntos convexos tienen menos funcionales y, en el peor de los casos, un espacio puede no tener ningún funcional aparte del funcional cero. Este es el caso para el${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ,dx)}$espacios con${\displaystyle 0<p<1,}$De lo cual se deduce que estos espacios no son convexos. Nótese que aquí se indica la medida de Lebesgue en la recta real. Hay otras${\displaystyle L^{p}}$espacios con${\displaystyle 0<p<1}$que sí tienen espacios duales no triviales.

Otro ejemplo de este tipo es el espacio de funciones medibles de valor real en el intervalo unitario con cuasinorma dada por $${\displaystyle \|f\|=\int _{I}{\frac {|f(x)|}{1+|f(x)|}}dx.}$$ Este espacio no localmente convexo tiene un espacio dual trivial.

Se pueden considerar espacios aún más generales. Por ejemplo, la existencia de un homomorfismo entre grupos métricos separables completos también puede demostrarse de forma no constructiva.

• Topología localmente convexa más fina : espacio con topología generada por conjuntos convexos. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección. 
• Función sublineal : un tipo de función en álgebra lineal. 

• Constantin Costara, Dumitru Popa, Ejercicios de análisis funcional , Springer, 2003. ISBN 1-4020-1560-7.
• Schechter, Eric , Manual de análisis y sus fundamentos , Academic Press, 1997. ISBN 0-12-622760-8.