Integral de Lebesgue

En matemáticas , la integral de una función no negativa de una sola variable puede considerarse, en su caso más simple, como el área comprendida entre la gráfica de dicha función y el eje x . La integral de Lebesgue , que recibe su nombre del matemático francés Henri Lebesgue , es una forma de formalizar este concepto y extenderlo a funciones más generales.

La integral de Lebesgue es más general que la integral de Riemann , a la que sustituyó en gran medida en el análisis matemático desde la primera mitad del siglo XX. Puede incorporar funciones con discontinuidades que surgen en muchas aplicaciones y que resultan problemáticas desde la perspectiva de la integral de Riemann. La integral de Lebesgue también posee, en general, mejores propiedades analíticas. Por ejemplo, bajo ciertas condiciones, es posible intercambiar límites con la integración de Lebesgue, mientras que las condiciones para hacerlo con una integral de Riemann son comparativamente más restrictivas. Además, la integral de Lebesgue puede generalizarse fácilmente a espacios más generales, espacios de medida , como los que surgen en la teoría de la probabilidad .

El término integración de Lebesgue puede referirse tanto a la teoría general de integración de una función con respecto a una medida general , tal como la introdujo Lebesgue, como al caso específico de integración de una función definida en un subdominio de la recta real con respecto a la medida de Lebesgue .

La integral de una función real positiva f entre los límites a y b puede interpretarse como el área bajo la gráfica de f , entre a y b . Esta noción de área se ajusta a algunas funciones, principalmente a las funciones continuas a trozos , incluidas las funciones elementales , como los polinomios . Sin embargo, las gráficas de otras funciones, como la función de Dirichlet , no se ajustan bien a la noción de área. Gráficas como la de esta última plantean la pregunta: "¿Para qué clase de funciones tiene sentido el concepto de 'área bajo la curva'?". La respuesta a esta pregunta tiene gran importancia teórica.

Como parte de un movimiento general hacia el rigor en las matemáticas durante el siglo XIX, los matemáticos intentaron fundamentar el cálculo integral. La integral de Riemann —propuesta por Bernhard Riemann (1826-1866)— representa un intento, en general exitoso, de proporcionar dicho fundamento. La definición de Riemann parte de la construcción de una secuencia de áreas fácilmente calculables que convergen a la integral de una función dada. Esta definición resulta eficaz en el sentido de que proporciona la respuesta esperada para muchos problemas ya resueltos y ofrece resultados útiles para muchos otros.

Sin embargo, la integración de Riemann no se adapta bien a la toma de límites de secuencias de funciones, lo que dificulta el análisis de dichos procesos de límite. Esto es importante, por ejemplo, en el estudio de las series de Fourier , las transformadas de Fourier y otros temas. La integral de Lebesgue describe mejor cómo y cuándo es posible tomar límites bajo el signo integral (mediante el teorema de convergencia monótona y el teorema de convergencia dominada ).

Mientras que la integral de Riemann considera el área bajo una curva como formada por rectángulos verticales, la definición de Lebesgue considera secciones horizontales que no son necesariamente solo rectángulos, por lo que es más flexible. Por esta razón, la definición de Lebesgue permite calcular integrales para una clase más amplia de funciones. Por ejemplo, la función de Dirichlet, que es 1 cuando su argumento es racional y 0 en caso contrario, tiene una integral de Lebesgue, pero no una integral de Riemann. Además, la integral de Lebesgue de esta función es cero, lo que concuerda con la intuición de que al elegir un número real uniformemente al azar del intervalo unitario , la probabilidad de elegir un número racional debería ser cero.

Lebesgue resumió su enfoque de la integración en una carta a Paul Montel :

Tengo que pagar una cierta cantidad que he reunido en mi bolsillo. Saco los billetes y monedas y se los doy al acreedor en el orden en que los encuentro hasta completar la suma total. Esta es la integral de Riemann. Pero puedo proceder de otra manera. Después de sacar todo el dinero de mi bolsillo, ordeno los billetes y monedas según su valor y luego pago los distintos fajos uno tras otro al acreedor. Esta es mi integral.

La idea principal es que se deben poder reordenar libremente los valores de una función, conservando el valor de la integral. Este proceso de reordenamiento puede transformar una función muy problemática en una que sea "agradable" desde el punto de vista de la integración, permitiendo así la integración de dichas funciones problemáticas.

Interpretación intuitiva

Folland (1999) resume la diferencia entre los enfoques de Riemann y Lebesgue de la siguiente manera: "para calcular la integral de Riemann de f , se divide el dominio [ a , b ] en subintervalos", mientras que en la integral de Lebesgue, "en efecto se divide el rango de f " .

Para la integral de Riemann, el dominio se divide en intervalos y se construyen barras que coinciden con la altura de la gráfica. Las áreas de estas barras se suman, lo que aproxima la integral, en efecto, sumando áreas de la forma f ( x ) dx, donde f ( x ) es la altura de un rectángulo y dx es su anchura.

Para la integral de Lebesgue, el rango se divide en intervalos, y así la región bajo la gráfica se divide en "losas" horizontales (que pueden no ser conjuntos conexos). El área de una pequeña "losa" horizontal bajo la gráfica de f , de altura dy , es igual a la medida del ancho de la losa multiplicada por dy : $${\displaystyle \mu \left(\{x\mid f(x)>y\}\right)\,dy.}$$ La integral de Lebesgue se puede definir sumando las áreas de estas secciones horizontales. Desde esta perspectiva, una diferencia clave con la integral de Riemann es que las "secciones" ya no son rectangulares (productos cartesianos de dos intervalos), sino que son productos cartesianos de un conjunto medible con un intervalo.

Funciones simples

Una forma equivalente de introducir la integral de Lebesgue es mediante el uso de las llamadas funciones simples , que generalizan las funciones escalonadas de la integración de Riemann. Consideremos, por ejemplo, la determinación del número acumulado de casos de COVID-19 a partir de un gráfico de casos suavizados cada día (derecha).

El enfoque de Riemann-Darboux

Divide el dominio (periodo de tiempo) en intervalos (ocho, en el ejemplo) y construye barras con alturas que coincidan con la gráfica. El recuento acumulado se obtiene sumando, para todas las barras, el producto del ancho del intervalo (tiempo en días) y la altura de la barra (casos por día).

El enfoque de Lebesgue

Elija un número finito de valores objetivo (ocho, en el ejemplo) dentro del rango de la función. Al construir barras con alturas iguales a estos valores, pero por debajo de la función, se genera una partición del dominio en el mismo número de subconjuntos (los subconjuntos, indicados por color en el ejemplo, no tienen por qué estar conectados). Esta es una "función simple", como se describe a continuación. El recuento acumulado se obtiene sumando, para todos los subconjuntos del dominio, el producto de la medida en ese subconjunto (tiempo total en días) y la altura de la barra (casos por día).

La teoría de la integral de Lebesgue requiere una teoría de conjuntos medibles y medidas sobre estos conjuntos, así como una teoría de funciones medibles e integrales sobre estas funciones.

Mediante funciones sencillas

Una forma de construir la integral de Lebesgue es mediante el uso de las llamadas funciones simples : combinaciones lineales reales y finitas de funciones indicadoras . Las funciones simples que se encuentran directamente debajo de una función f dada se pueden construir dividiendo el rango de f en un número finito de capas. La intersección de la gráfica de f con una capa identifica un conjunto de intervalos en el dominio de f , que, en conjunto, se define como la preimagen del límite inferior de esa capa, bajo la función simple. De esta manera, la partición del rango de f implica una partición de su dominio. La integral de una función simple se obtiene sumando, sobre estos subconjuntos (no necesariamente conexos) del dominio, el producto de la medida del subconjunto y su imagen bajo la función simple (el límite inferior de la capa correspondiente); intuitivamente, este producto es la suma de las áreas de todas las barras de la misma altura. La integral de una función general medible no negativa se define entonces como un supremo apropiado de aproximaciones mediante funciones simples, y la integral de una función medible (no necesariamente positiva) es la diferencia de dos integrales de funciones medibles no negativas. ^{[ 1 ]}

Funciones indicadoras

Para asignar un valor a la integral de la función indicadora 1 _S de un conjunto medible S consistente con la medida μ dada , la única opción razonable es establecer: $${\displaystyle \int 1_{S}\,d\mu =\mu (S).}$$

Nótese que el resultado puede ser igual a +∞ , a menos que μ sea una medida finita .

Funciones simples

Una combinación lineal finita de funciones indicadoras $${\displaystyle \sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}}$$ donde los coeficientes a _k son números reales y S _k son conjuntos medibles disjuntos, se denomina función simple medible . Extendemos la integral por linealidad a funciones simples medibles no negativas . Cuando los coeficientes a _k son positivos, establecemos $${\displaystyle \int \left(\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}\right)\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\int 1_{S_{k}}\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\,\mu (S_{k})}$$ ya sea que esta suma sea finita o +∞ . Una función simple puede escribirse de diferentes maneras como una combinación lineal de funciones indicadoras, pero la integral será la misma debido a la aditividad de las medidas.

Se necesita cierto cuidado al definir la integral de una función simple de valor real , para evitar la expresión indefinida ∞ − ∞ : se supone que la representación $${\displaystyle f=\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}}$$ es tal que μ ( S _k ) < ∞ siempre que a _k ≠ 0 . Entonces la fórmula anterior para la integral de f tiene sentido, y el resultado no depende de la representación particular de f que satisfaga las suposiciones. ^{[ 2 ]} (Es importante que la representación sea una combinación lineal finita , es decir, que k solo tome un número finito de valores.)

Si B es un subconjunto medible de E y s es una función simple medible, se define $${\displaystyle \int _{B}s\,\mathrm {d} \mu =\int 1_{B}\,s\,\mathrm {d} \mu =\sum _{k}a_{k}\,\mu (S_{k}\cap B).}$$

Funciones no negativas

Sea f una función medible no negativa en E , a la que permitimos alcanzar el valor +∞ , es decir, f toma valores no negativos en la recta real extendida . Definimos $${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\sup \left\{\,\int _{E}s\,d\mu :0\leq s\leq f,\ s\ {\text{simple}}\,\right\}.}$$

Necesitamos demostrar que esta integral coincide con la anterior, definida en el conjunto de funciones simples, cuando E es un segmento [ a , b ] . También surge la pregunta de si esto se corresponde de alguna manera con una noción de integración de Riemann. Es posible demostrar que la respuesta a ambas preguntas es afirmativa.

Hemos definido la integral de f para cualquier función medible extendida de valores reales no negativa en E. Para algunas funciones, esta integral${\textstyle \int _ {E}f\,d\mu}$es infinito.

A menudo resulta útil disponer de una secuencia particular de funciones simples que aproxime bien la integral de Lebesgue (de forma análoga a una suma de Riemann). Para una función medible no negativa f , sea s _n ( x ) la función simple cuyo valor es k /2 ⁿ siempre que k /2 ⁿ ≤ f ( x ) < ( k + 1)/2 ⁿ , para k un entero no negativo menor que, por ejemplo, 4 ⁿ . Entonces se puede demostrar directamente que $${\displaystyle \int f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int s_{n}\,d\mu }$$ y que el límite del lado derecho existe como un número real extendido. Esto establece la conexión entre el enfoque de la integral de Lebesgue mediante funciones simples y la motivación para la integral de Lebesgue mediante una partición del rango.

Funciones con signo

Para manejar funciones con signo, necesitamos algunas definiciones más. Si f es una función medible del conjunto E a los números reales (incluyendo ±∞ ), entonces podemos escribir $${\displaystyle f=f^{+}-f^{-},}$$ dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{+}(x)&={\begin{cases}f(x){\hphantom {-}}&{\text{si }}f(x)>0,\\0&{\text{en otro caso}},\end{cases}}\\f^{-}(x)&={\begin{cases}-f(x)&{\text{si }}f(x)<0,\\0&{\text{en otro caso}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Nótese que tanto f ⁺ como f ⁻ son funciones medibles no negativas. Nótese también que $${\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-}.}$$

Decimos que la integral de Lebesgue de la función medible f existe , o está definida, si al menos una de las siguientes condiciones:${\textstyle \int f^{+}\,d\mu }$y${\textstyle \int f^{-}\,d\mu }$es finito: $${\displaystyle \min \left(\int f^{+}\,d\mu ,\int f^{-}\,d\mu \right)<\infty .}$$

En este caso definimos$${\displaystyle \int f\,d\mu =\int f^{+}\,d\mu -\int f^{-}\,d\mu .}$$

Si $${\displaystyle \int |f|\,\mathrm {d} \mu <\infty ,}$$ Decimos que f es integrable de Lebesgue . Es decir, f pertenece al espacio L ¹ . ^{[ 3 ]}

Resulta que esta definición proporciona las propiedades deseables de la integral.

Consideremos la función indicadora de los números racionales, 1 _Q , también conocida como función de Dirichlet. Esta función no es continua en ningún punto .

• ${\displaystyle 1_{\mathbf {Q} }}$no es integrable de Riemann en [ 0, 1 ] : independientemente de cómo se divida el conjunto [ 0, 1 ] en subintervalos, cada partición contiene al menos un número racional y al menos un número irracional, ya que tanto los racionales como los irracionales son densos en los números reales. Por lo tanto, las sumas de Darboux superiores son todas uno, y las sumas de Darboux inferiores son todas cero.
• ${\displaystyle 1_{\mathbf {Q} }}$es integrable según Lebesgue en [ 0, 1 ] usando la medida de Lebesgue : De hecho, es la función indicadora de los racionales, por lo que por definición$${\displaystyle \int _{[0,1]}1_{\mathbf {Q} }\,d\mu =\mu (\mathbf {Q} \cap [0,1])=0,}$$porque Q es contable .

Un problema técnico en la integración de Lebesgue es que el dominio de integración se define como un conjunto (un subconjunto de un espacio de medida), sin noción de orientación . En cálculo elemental, la integración se define con respecto a una orientación: $${\displaystyle \int _{b}^{a}f=-\int _{a}^{b}f.}$$ Generalizar esto a dimensiones superiores produce la integración de formas diferenciales en variedades y el teorema de Stokes como la generalización del teorema fundamental del cálculo . Por el contrario, la integración de Lebesgue proporciona una generalización alternativa, integrando sobre subconjuntos con respecto a una medida; esto se puede notar como $${\displaystyle \int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu }$$ para indicar la integración sobre un subconjunto A. Para más detalles sobre la relación entre estas generalizaciones, véase Forma diferencial §  Relación con medidas . La principal teoría que vincula estas ideas es la de la integración homológica (a veces llamada teoría de la integración geométrica), iniciada por Georges de Rham y Hassler Whitney . ^{[ 8 ]}

Con la llegada de las series de Fourier , surgieron muchos problemas analíticos que involucran integrales cuya solución satisfactoria requería intercambiar procesos límite y signos integrales. Sin embargo, las condiciones bajo las cuales las integrales $${\displaystyle \sum _{k}\int f_{k}(x)\,dx\quad {\text{y}}\quad \int \left[\sum _{k}f_{k}(x)\right]dx}$$ Se ha demostrado que la igualdad es bastante difícil de alcanzar en el marco de Riemann. Existen otras dificultades técnicas con la integral de Riemann. Estas están relacionadas con la dificultad de tomar límites que se mencionó anteriormente.

Se dice que dos funciones son iguales casi en todas partes (${\displaystyle f\ {\stackrel {\text{ae}}{=}}\ g}$(abreviado) si${\displaystyle \{x\mid f(x)\neq g(x)\}}$es un subconjunto de un conjunto nulo . Medibilidad del conjunto ${\displaystyle \{x\mid f(x)\neq g(x)\}}$No es necesario.

Los siguientes teoremas se demuestran en la mayoría de los libros de texto sobre teoría de la medida e integración de Lebesgue. ^{[ 9 ]}

• Si f y g son funciones medibles no negativas (posiblemente tomando el valor +∞ ) tales que f = g casi en todas partes, entonces$${\displaystyle \int f\,d\mu =\int g\,d\mu .}$$Es decir, la integral respeta la relación de equivalencia de igualdad casi en todas partes.
• Si f y g son funciones tales que f = g casi en todas partes, entonces f es integrable de Lebesgue si y solo si g es integrable de Lebesgue, y las integrales de f y g son iguales si existen.
• Linealidad : Si f y g son funciones integrables de Lebesgue y a y b son números reales, entonces af + bg es integrable de Lebesgue y$${\displaystyle \int (af+bg)\,d\mu =a\int f\,d\mu +b\int g\,d\mu .}$$
• Monotonicidad : Si f ≤ g , entonces$${\displaystyle \int f\,d\mu \leq \int g\,d\mu .}$$
• Teorema de convergencia monótona : Supongamos que { f _k } _{k ∈ N} es una sucesión de funciones medibles no negativas tales que$${\displaystyle f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\quad \forall k\in \mathbb {N} ,\,\forall x\in E.}$$Entonces, el límite puntual f de f _k es medible según Lebesgue y$${\displaystyle \lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .}$$El valor de cualquiera de las integrales puede ser infinito.
• Lema de Fatou : Si { f _k } _{k ∈ N} es una sucesión de funciones medibles no negativas, entonces$${\displaystyle \int \liminf _{k}f_{k}\,d\mu \leq \liminf _{k}\int f_{k}\,d\mu .}$$Nuevamente, el valor de cualquiera de las integrales puede ser infinito.
• Teorema de convergencia dominada : Supongamos que { f _k } _{k ∈ N} es una sucesión de funciones medibles complejas con límite puntual f , y existe una función integrable de Lebesgue g (es decir, g pertenece al espacio L ¹ ) tal que | f _k | ≤ g para todo k . Entonces f es integrable de Lebesgue y$${\displaystyle \lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .}$$

Cafiero demostró las condiciones necesarias y suficientes para el intercambio de límites e integrales, ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} generalizando trabajos anteriores de Renato Caccioppoli, Vladimir Dubrovskii y Gaetano Fichera. ^{[ 14 ]}

Es posible desarrollar la integral con respecto a la medida de Lebesgue sin recurrir a toda la maquinaria de la teoría de la medida. Un ejemplo de este enfoque lo proporciona la integral de Daniell .

También existe un enfoque alternativo para desarrollar la teoría de la integración mediante métodos de análisis funcional . La integral de Riemann existe para cualquier función continua f de soporte compacto definida en R ⁿ (o en un subconjunto abierto fijo). A partir de estas integrales, se pueden construir integrales de funciones más generales.

Sea C _{c el espacio de todas las funciones continuas de} R con soporte compacto y valores reales . Definimos una norma en C _c mediante $${\displaystyle \left\|f\right\|=\int |f(x)|\,dx.}$$

Entonces C _c es un espacio vectorial normado (y en particular, es un espacio métrico). Todos los espacios métricos tienen completaciones de Hausdorff , así que sea L ¹ su completación. Este espacio es isomorfo al espacio de funciones integrables de Lebesgue módulo el subespacio de funciones con integral cero. Además, la integral de Riemann ∫ es un funcional uniformemente continuo con respecto a la norma en C _c , que es densa en L ^1. Por lo tanto , ∫ tiene una extensión única a todo L ^1. Esta integral es precisamente la integral de Lebesgue.

De forma más general, cuando el espacio de medidas sobre el que se definen las funciones es también un espacio topológico localmente compacto (como ocurre con los números reales R ), medidas compatibles con la topología en un sentido adecuado ( medidas de Radon , de las cuales la medida de Lebesgue es un ejemplo), se puede definir una integral con respecto a ellas de la misma manera, partiendo de las integrales de funciones continuas con soporte compacto . Más precisamente, las funciones con soporte compacto forman un espacio vectorial que posee una topología natural , y una medida (de Radon) se define como un funcional lineal continuo en este espacio. El valor de una medida en una función con soporte compacto es entonces, por definición, la integral de la función. A continuación, se procede a extender la medida (la integral) a funciones más generales por continuidad, y se define la medida de un conjunto como la integral de su función indicadora. Este es el enfoque adoptado por Nicolas Bourbaki ^{[ 15 ]} y otros autores. Para más detalles, véase Medidas de Radon .

El objetivo principal de la integral de Lebesgue es proporcionar una noción integral donde los límites de las integrales se cumplen bajo supuestos poco restrictivos. No hay garantía de que toda función sea integrable según Lebesgue. Sin embargo, puede ocurrir que existan integrales impropias para funciones que no son integrables según Lebesgue. Un ejemplo sería la función sinc : $${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$$ sobre toda la recta real. Esta función no es integrable de Lebesgue, ya que $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|dx=\infty .}$$ Por otro lado,${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx}$Existe como una integral impropia y se puede calcular que es finita; es el doble de la integral de Dirichlet e igual a π .

• Henri Lebesgue , para una descripción no técnica de la integración de Lebesgue.
• Conjunto nulo
• Integración
• Medida
• Álgebra sigma
• espacio Lebesgue
• Integración Lebesgue-Stieltjes
• Integral de Riemann
• Integral de Henstock-Kurzweil

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