Suma conectada

En matemáticas , específicamente en topología , la operación de suma conexa es una modificación geométrica de las variedades . Su efecto consiste en unir dos variedades dadas cerca de un punto elegido en cada una. Esta construcción desempeña un papel fundamental en la clasificación de superficies cerradas .

De forma más general, también se pueden unir variedades a lo largo de subvariedades idénticas; esta generalización se suele denominar suma de fibras .

También existe una noción estrechamente relacionada de suma conexa sobre nudos , denominada suma de nudos o composición de nudos.

Una suma conectada de dos variedades m -dimensionales es una variedad formada al eliminar una bola dentro de cada variedad y pegar las esferas límite resultantes .

Si ambas variedades están orientadas , existe una suma conexa única definida por la inversión de la orientación del mapa de pegado. Aunque la construcción utiliza la elección de las bolas, el resultado es único salvo homeomorfismo . También se puede hacer que esta operación funcione en la categoría lisa , y entonces el resultado es único salvo difeomorfismo . Hay problemas sutiles en el caso liso: no todo difeomorfismo entre los límites de las esferas da la misma variedad compuesta, incluso si las orientaciones se eligen correctamente. Por ejemplo, Milnor demostró que dos 7-celdas se pueden pegar a lo largo de su límite de modo que el resultado es una esfera exótica homeomorfa pero no difeomorfa a una 7-esfera.

Sin embargo, existe una forma canónica de elegir el pegado de${\displaystyle M_{1}}$y${\displaystyle M_{2}}$lo que da una suma conectada única y bien definida. ^{[ 1 ]} Elegir incrustaciones${\displaystyle i_{1}:D_{n}\rightarrow M_{1}}$y${\displaystyle i_{2}:D_{n}\rightarrow M_{2}}$de modo que${\displaystyle i_{1}}$conserva la orientación y${\displaystyle i_{2}}$invierte la orientación. Ahora obtenga${\displaystyle M_{1}\mathbin {\#} M_{2}}$de la suma disjunta

${\displaystyle (M_{1}-i_{1}(0))\sqcup (M_{2}-i_{2}(0))}$

mediante la identificación${\displaystyle i_{1}(tu)}$con${\displaystyle i_{2}((1-t)u)}$para cada vector unitario${\displaystyle u\in S^{n-1}}$y cada uno${\displaystyle 0<t<1}$. Elija la orientación para${\displaystyle M_{1}\mathbin {\#} M_{2}}$que es compatible con${\displaystyle M_{1}}$y${\displaystyle M_{2}}$El hecho de que esta construcción esté bien definida depende fundamentalmente del teorema del disco , que no es en absoluto obvio. Para más detalles, véase Kosinski, Differential Manifolds . ^{[ 2 ]}

La operación de suma conectada se denota por${\displaystyle \#}$.

La operación de suma conectada tiene la esfera${\displaystyle S^{m}}$como una identidad ; es decir,${\displaystyle M\mathbin {\#} S^{m}}$es homeomorfo (o difeomorfo) a${\displaystyle M}$.

La clasificación de superficies cerradas, un resultado fundamental e históricamente significativo en topología, establece que cualquier superficie cerrada puede expresarse como la suma conexa de una esfera con algún número${\displaystyle g}$de tori y algún número${\displaystyle k}$de planos proyectivos reales .

La suma conexa se puede definir a lo largo de una subvariedad. ^{[ 3 ] : §1}

Dejar${\displaystyle M_{1}}$y${\displaystyle M_{2}}$sean dos variedades suaves y orientadas de igual dimensión y${\displaystyle V}$una variedad lisa, cerrada y orientada, incrustada como una subvariedad en ambas${\displaystyle M_{1}}$y${\displaystyle M_{2}.}$Supongamos además que existe un isomorfismo de haces normales.

${\ Displaystyle \ psi: N_ {M_ {1}} V \ a N_ {M_ {2}} V}$

que invierte la orientación en cada fibra. Entonces${\displaystyle \psi }$induce un difeomorfismo que preserva la orientación

${\ Displaystyle N_ {1} \ setminus V \ cong N_ {M_ {1}} V \ setminus V \ to N_ {M_ {2}} V \ setminus V \ cong N_ {2} \ setminus V,}$

donde cada haz normal${\displaystyle N_{M_{i}}V}$se identifica difeomórficamente con un vecindario${\displaystyle N_{i}}$de${\displaystyle V}$en${\displaystyle M_{i}}$y el mapa

${\displaystyle N_{M_{1}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V}$

es la involución difeomórfica de inversión de orientación

${\displaystyle v\mapsto v/|v|^{2}}$

sobre vectores normales . La suma conectada de${\displaystyle M_{1}}$y${\displaystyle M_{2}}$a lo largo de${\displaystyle V}$es entonces el espacio

${\ Displaystyle (M_ {1} \ setminus V) \ bigcup _ {N_ {1} \ setminus V = N_ {2} \ setminus V} (M_ {2} \ setminus V)}$

obtenido al pegar los vecindarios eliminados mediante el difeomorfismo que preserva la orientación. La suma se suele denotar

${\displaystyle (M_{1},V)\mathbin {\#} (M_{2},V).}$

Su tipo de difeomorfismo depende de la elección de las dos incrustaciones de${\displaystyle V}$y sobre la elección de${\displaystyle \psi }$.

En términos generales, cada fibra normal de la subunidad${\displaystyle V}$contiene un único punto de${\displaystyle V}$y la suma conectada a lo largo de${\displaystyle V}$es simplemente la suma conectada como se describe en la sección anterior, realizada a lo largo de cada fibra. Por esta razón, la suma conectada a lo largo de${\displaystyle V}$a menudo se le llama suma de fibras .

El caso especial de${\displaystyle V}$un punto recupera la suma conectada de la sección anterior.

Otro caso especial importante ocurre cuando la dimensión de${\displaystyle V}$es dos menos que el de${\displaystyle M_{i}}$. Entonces el isomorfismo${\displaystyle \psi }$Existe un conjunto normal de fibrados siempre que sus clases de Euler sean opuestas:

${\displaystyle e\left(N_{M_{1}}V\right)=-e\left(N_{M_{2}}V\right).}$

Además, en este caso el grupo de estructura de los haces normales es el grupo de círculos.${\displaystyle SO(2)}$; de ello se deduce que la elección de incrustaciones puede identificarse canónicamente con el grupo de clases de homotopía de mapas de${\displaystyle V}$al círculo , que a su vez es igual al primer grupo de cohomología integral.${\displaystyle H^{1}(V)}$. Por lo tanto, el tipo de difeomorfismo de la suma depende de la elección de${\displaystyle \psi }$y una selección de elementos de${\displaystyle H^{1}(V)}$.

Una suma conectada a lo largo de una codimensión dos${\displaystyle V}$También se puede llevar a cabo en la categoría de variedades simplécticas ; esta elaboración se llama suma simpléctica .

La suma conexa es una operación local en variedades, lo que significa que altera los sumandos solo en un entorno de${\displaystyle V}$Esto implica, por ejemplo, que la suma se puede realizar sobre una sola variedad.${\displaystyle M}$que contiene dos copias disjuntas de${\displaystyle V}$, con el efecto de pegar${\displaystyle M}$a sí mismo. Por ejemplo, la suma conexa de una 2-esfera en dos puntos distintos de la esfera produce el 2-toro.

Existe una noción estrechamente relacionada de suma conexa de dos nudos. De hecho, si se considera un nudo simplemente como una 1-variedad, entonces la suma conexa de dos nudos es simplemente su suma conexa como una variedad unidimensional. Sin embargo, la propiedad esencial de un nudo no es su estructura de variedad (bajo la cual todo nudo es equivalente a un círculo), sino más bien su incrustación en el espacio ambiente . Por lo tanto, la suma conexa de nudos tiene una definición más elaborada que produce una incrustación bien definida, como se muestra a continuación.

Este procedimiento da como resultado la proyección de un nuevo nudo, una suma conexa (o suma de nudos , o composición ) de los nudos originales. Para que la suma conexa de nudos esté bien definida, es necesario considerar nudos orientados en el espacio tridimensional. Para definir la suma conexa para dos nudos orientados:

1. Consideremos una proyección plana de cada nudo y supongamos que estas proyecciones son disjuntas.
2. Encuentra un rectángulo en el plano donde un par de lados sean arcos a lo largo de cada nudo, pero que por lo demás sea disjunto de los nudos y de manera que los arcos de los nudos en los lados del rectángulo estén orientados alrededor del límite del rectángulo en la misma dirección .
3. Ahora, une los dos nudos eliminando estos arcos de los nudos y añadiendo los arcos que forman el otro par de lados del rectángulo.

El nudo suma conectado resultante hereda una orientación consistente con las orientaciones de los dos nudos originales, y la clase de isotopía ambiental orientada del resultado está bien definida, dependiendo únicamente de las clases de isotopía ambiental orientadas de los dos nudos originales.

Bajo esta operación, los nudos orientados en el espacio tridimensional forman un monoide conmutativo con factorización prima única , lo que nos permite definir qué se entiende por nudo primo . La prueba de la conmutatividad se puede ver haciendo que un sumando se contraiga hasta que sea muy pequeño y luego tirando de él a lo largo del otro nudo. El nudo no es la unidad. Los dos nudos de trébol son los nudos primos más simples. Se pueden agregar nudos de dimensiones superiores empalmando los${\displaystyle n}$-esferas.

En tres dimensiones, el nudo no puede escribirse como la suma de dos nudos no triviales. Este hecho se deduce de la aditividad del género de los nudos ; otra demostración se basa en una construcción infinita, a veces denominada el truco de Mazur . En dimensiones superiores (con codimensión al menos tres), es posible obtener un nudo no trivial sumando dos nudos no triviales.

Si no se tienen en cuenta las orientaciones de los nudos, la operación de suma conexa no está bien definida en clases isotópicas de nudos (no orientados). Para ver esto, consideremos dos nudos no invertibles K y L que no son equivalentes (como nudos no orientados); por ejemplo, tomemos los dos nudos pretzel K = P (3, 5, 7) y L = P (3, 5, 9). Sean K + _y K − _K con sus dos orientaciones no equivalentes, y sean L + _y L − _L con sus dos orientaciones no equivalentes. Hay cuatro sumas conexas orientadas que podemos formar:

• A = K ₊ # L ₊
• B = K ₋ # L ₋
• C = K ₊ # L ₋
• D = K ₋ # L ₊

Las clases de isotopía ambiental orientadas de estos cuatro nudos orientados son todas distintas, y, cuando se considera la isotopía ambiental de los nudos sin tener en cuenta la orientación, existen dos clases de equivalencia distintas: { A ~ B } y { C ~ D }. Para ver que A y B son equivalentes sin orientación, basta con observar que ambos pueden construirse a partir del mismo par de proyecciones de nudos disjuntos como se indicó anteriormente, siendo la única diferencia la orientación de los nudos. De manera similar, se observa que C y D pueden construirse a partir del mismo par de proyecciones de nudos disjuntos.

• Suma de bandas
• Descomposición prima (3-variedad)
• Descomposición de variedades
• Nudo de satélite

• Robert Gompf : Una nueva construcción de variedades simplécticas, Annals of Mathematics 142 (1995), 527–595
• William S. Massey , Curso básico de topología algebraica , Springer-Verlag, 1991. ISBN 0-387-97430-X.