Métrica de Kerr

La métrica de Kerr o geometría de Kerr describe la geometría del espacio-tiempo vacío alrededor de un agujero negro rotatorio, sin carga y con simetría axial, cuyo horizonte de sucesos es casi esférico . La métrica de Kerr es una solución exacta de las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general ; estas ecuaciones son altamente no lineales , lo que dificulta enormemente encontrar soluciones exactas.

La métrica de Kerr es una generalización a un cuerpo en rotación de la métrica de Schwarzschild, descubierta por Karl Schwarzschild en 1915, que describía la geometría del espaciotiempo alrededor de un cuerpo sin carga, esféricamente simétrico y sin rotación. La solución correspondiente para un cuerpo cargado , esférico y sin rotación, la métrica de Reissner-Nordström , se descubrió poco después (1916-1918). Sin embargo, la solución exacta para un agujero negro sin carga y en rotación , la métrica de Kerr, permaneció sin resolver hasta 1963, cuando fue descubierta por Roy Kerr . ^{[ 1 ] [ 2 ] : 69-81} La extensión natural a un agujero negro cargado y en rotación, la métrica de Kerr-Newman , se descubrió poco después, en 1965. Estas cuatro soluciones relacionadas se pueden resumir en la siguiente tabla, donde Q representa la carga eléctrica del cuerpo y J representa su momento angular de espín :

Según la métrica de Kerr, un cuerpo en rotación debería exhibir arrastre de marco (también conocido como precesión de Lense-Thirring ), una predicción distintiva de la relatividad general. La primera medición de este efecto de arrastre de marco se realizó en 2011 por el experimento Gravity Probe B. En términos generales, este efecto predice que los objetos que se aproximan a una masa en rotación se verán arrastrados para participar en su rotación, no debido a ninguna fuerza o torque aplicado que se pueda sentir, sino más bien debido a la curvatura en espiral del espacio-tiempo asociada con los cuerpos en rotación. En el caso de un agujero negro en rotación, a distancias suficientemente cortas, todos los objetos,  incluso la luz  , deben rotar con el agujero negro; la región donde esto se cumple se llama ergosfera .

La luz de fuentes distantes puede viajar varias veces alrededor del horizonte de sucesos (si está lo suficientemente cerca), ^creando múltiples imágenes del mismo objeto . Para un observador distante, la distancia perpendicular aparente entre las imágenes disminuye en un factor de e²π ^{(aproximadamente 500} ). Sin embargo, los agujeros negros de rotación rápida tienen menor distancia entre imágenes de multiplicidad. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Los agujeros negros en rotación tienen superficies donde la métrica parece tener singularidades aparentes ; el tamaño y la forma de estas superficies dependen de la masa y el momento angular del agujero negro. La superficie exterior encierra la ergosfera y tiene una forma similar a una esfera aplanada. La superficie interior marca el horizonte de sucesos; los objetos que pasan al interior de este horizonte nunca más pueden comunicarse con el mundo fuera de ese horizonte. Sin embargo, ninguna de las superficies es una verdadera singularidad, ya que su singularidad aparente puede eliminarse en un sistema de coordenadas diferente . Una situación similar se da al considerar la métrica de Schwarzschild, que también parece resultar en una singularidad en ⁠${\displaystyle r=r_{\text{s}}}$⁠ dividiendo el espacio superior e inferior ⁠${\displaystyle r_{\text{s}}}$en dos parches desconectados; utilizando una transformación de coordenadas diferente, se puede relacionar el parche externo extendido con el parche interno (véase la métrica de Schwarzschild §  Singularidades y agujeros negros ); dicha transformación de coordenadas elimina la singularidad aparente donde se encuentran las superficies interna y externa. Los objetos entre estas dos superficies deben corrotar con el agujero negro en rotación, como se indicó anteriormente; esta característica puede utilizarse, en principio, para extraer energía de un agujero negro en rotación, hasta suenergía de masa invariante . ${\displaystyle Mc^{2}}$.​

El experimento LIGO, que detectó por primera vez ondas gravitacionales y fue anunciado en 2016, también proporcionó la primera observación directa de un par de agujeros negros de Kerr . ^{[ 5 ]}

La métrica de Kerr se expresa comúnmente en dos formas: la de Boyer-Lindquist y la de Kerr-Schild. Se puede derivar fácilmente de la métrica de Schwarzschild mediante el algoritmo de Newman-Janis ^{[ 6 ]} , el formalismo de Newman-Penrose (también conocido como formalismo de coeficientes de espín) ^{[ 7 ]} , la ecuación de Ernst ^{[ 8 ]} o la transformación de coordenadas elipsoidales ^{[ 9 ] .}

Si la energía rotacional completa${\displaystyle E_{\rm {rot}}=c^{2}\left(M-M_{\rm {irr}}\right)}$⁠ de un agujero negro se extrae, por ejemplo con el proceso de Penrose , ^{[ 21 ] [ 22 ]} la masa restante no puede reducirse por debajo de la masa irreducible. Por lo tanto, si un agujero negro rota con el espín ⁠${\displaystyle a=M}$⁠ , su masa total equivalente ⁠${\displaystyle M}$es mayor por un factor de${\displaystyle {\sqrt {2}}}$en comparación con un agujero negro de Schwarzschild correspondiente donde${\displaystyle M}$es igual a${\displaystyle M_{\text{irr}}}$La razón de esto es que para que un cuerpo estático gire, se necesita aplicar energía al sistema. Debido a la equivalencia masa-energía, esta energía también tiene un equivalente en masa, que se suma a la masa-energía total del sistema .${\displaystyle M}$.​

La masa total equivalente${\displaystyle M}$( la masa gravitatoria) del cuerpo (incluida su energía rotacional ) y su masa irreducible .${\displaystyle M_{\text{irr}}}$⁠ están relacionados por ^{[ 23 ] [ 24 ]}

${\displaystyle 2M_{\rm {irr}}^{2}=M^{2}+{\sqrt {M^{4}-J^{2}c^{2}/G^{2}}}\Longrightarrow M^{2}=M_{\rm {irr}}^{2}+{\frac {J^{2}c^{2}}{4M_{\rm {irr}}^{2}G^{2}}}.}$

Dado que incluso una verificación directa de la métrica de Kerr implica cálculos engorrosos, los componentes contravariantes ⁠${\displaystyle g^{ik}}$Las expresiones del tensor métrico en coordenadas de Boyer-Lindquist se muestran a continuación en la expresión para el cuadrado del operador de cuatro gradientes : ^{[ 21 ]}

La métrica de Kerr puede reescribirse ( 1 ) de la siguiente forma:

Esta métrica es equivalente a un marco de referencia corrotante que gira con una velocidad angular Ω que depende tanto del radio r como de la colatitud θ , donde Ω se denomina horizonte de Killing . 

Así, un marco de referencia inercial es arrastrado por la masa central giratoria para participar en la rotación de esta última; esto se llama arrastre de marco y ha sido probado experimentalmente. ^{[ 25 ]} Cualitativamente, el arrastre de marco puede verse como el análogo gravitacional de la inducción electromagnética. Una "patinadora sobre hielo", en órbita sobre el ecuador y en reposo rotacional con respecto a las estrellas, extiende sus brazos. El brazo extendido hacia el agujero negro será sometido a un par de torsión en el sentido de giro. El brazo extendido en dirección opuesta al agujero negro será sometido a un par de torsión en sentido contrario al giro. Por lo tanto, su rotación se acelerará, en sentido de contrarrotación al agujero negro. Esto es lo opuesto a lo que sucede en la experiencia cotidiana. Si ya está girando a cierta velocidad cuando extiende sus brazos, los efectos inerciales y los efectos de arrastre de marco se equilibrarán y su giro no cambiará. Debido al principio de equivalencia , los efectos gravitatorios son localmente indistinguibles de los efectos inerciales, por lo que esta velocidad de rotación, a la cual cuando extiende los brazos no sucede nada, es su referencia local de no rotación. Este marco gira con respecto a las estrellas fijas y contrarrota con respecto al agujero negro. Una metáfora útil es un sistema de engranajes planetarios donde el agujero negro es el engranaje solar, la patinadora es un engranaje planetario y el universo exterior es el engranaje anular. Esto también puede interpretarse a través del principio de Mach .

En la métrica de Kerr ( 1 ) existen varias superficies importantes . La superficie interna corresponde a un horizonte de sucesos similar al observado en la métrica de Schwarzschild; esto ocurre cuando la componente puramente radial g _rr de la métrica tiende a infinito. Al resolver la ecuación cuadrática 1 / g _rr = 0 se obtiene la solución:

${\displaystyle r_{\rm {H}}^{\pm }={\frac {r_{\text{s}}\pm {\sqrt {r_{\text{s}}^{2}-4a^{2}}}}{2}}}$

que en unidades naturales (que dan ⁠${\displaystyle G=M=c=1}$) se simplifica a:

${\displaystyle r_{\rm {H}}^{\pm }=1\pm {\sqrt {1-a^{2}}}}$

Mientras que en la métrica de Schwarzschild el horizonte de sucesos es también el punto donde el componente puramente temporal g _tt de la métrica cambia de signo de positivo a negativo, en la métrica de Kerr esto ocurre a una distancia diferente. Resolviendo de nuevo una ecuación cuadrática g _tt = 0 se obtiene la solución:

${\displaystyle r_{\rm {E}}^{\pm }={\frac {r_{\text{s}}\pm {\sqrt {r_{\text{s}}^{2}-4a^{2}\cos ^{2}\theta }}}{2}}}$

o en unidades naturales:

${\displaystyle r_{\rm {E}}^{\pm }=1\pm {\sqrt {1-a^{2}\cos ^{2}\theta }}}$

Debido al término cos ² θ en la raíz cuadrada, esta superficie exterior se asemeja a una esfera aplanada que toca la superficie interior en los polos del eje de rotación, donde la colatitud θ es igual a 0 o π ; el espacio entre estas dos superficies se llama ergosfera. Dentro de este volumen, el componente puramente temporal g _tt es negativo, es decir, actúa como un componente métrico puramente espacial. En consecuencia, las partículas dentro de esta ergosfera deben corrotar con la masa interior, si quieren conservar su carácter temporal. Una partícula en movimiento experimenta un tiempo propio positivo a lo largo de su línea de universo , su trayectoria a través del espaciotiempo. Sin embargo, esto es imposible dentro de la ergosfera, donde g _tt es negativo, a menos que la partícula corrote alrededor de la masa interior . ${\displaystyle M}$con una velocidad angular de al menos ${\displaystyle \Omega }$Por lo tanto, ninguna partícula puede moverse en la dirección opuesta a la rotación de la masa central dentro de la ergosfera.

Al igual que con el horizonte de sucesos en la métrica de Schwarzschild, la singularidad aparente en r _H se debe a la elección de coordenadas (es decir, es una singularidad de coordenadas ). De hecho, el espaciotiempo puede continuarse suavemente a través de ella mediante una elección apropiada de coordenadas. A su vez, el límite exterior de la ergosfera en r _E no es singular por sí mismo, incluso en coordenadas de Kerr, debido a que no es cero .${\displaystyle dt\ d\phi }$término .

Un agujero negro, en general, está rodeado por una superficie, denominada horizonte de sucesos, que se sitúa en el radio de Schwarzschild para un agujero negro no giratorio, donde la velocidad de escape es igual a la velocidad de la luz. Dentro de esta superficie, ningún observador o partícula puede mantenerse a un radio constante. Se ve obligado a caer hacia el interior, por lo que a veces se le denomina límite estático .

Un agujero negro en rotación tiene el mismo límite estático en su horizonte de sucesos, pero hay una superficie adicional fuera del horizonte de sucesos llamada "ergosuperficie" dada por

${\displaystyle (r-M)^{2}=M^{2}-J^{2}\cos ^{2}\theta }$

En coordenadas de Boyer-Lindquist , que pueden caracterizarse intuitivamente como la esfera donde "la velocidad de rotación del espacio circundante" es arrastrada junto con la velocidad de la luz. Dentro de esta esfera, el arrastre es mayor que la velocidad de la luz, y cualquier observador/partícula se ve obligado a corrotar.

La región fuera del horizonte de sucesos pero dentro de la superficie donde la velocidad de rotación es la velocidad de la luz, se llama ergosfera (del griego ergon, que significa trabajo ). Las partículas que caen dentro de la ergosfera se ven obligadas a rotar más rápido y, por lo tanto, ganan energía. Como todavía están fuera del horizonte de sucesos, pueden escapar del agujero negro. El proceso neto es que el agujero negro en rotación emite partículas energéticas a costa de su propia energía total. La posibilidad de extraer energía de espín de un agujero negro en rotación fue propuesta por primera vez por el matemático Roger Penrose en 1969 y por eso se llama proceso de Penrose. En astrofísica, los agujeros negros en rotación son una fuente potencial de grandes cantidades de energía y se utilizan para explicar fenómenos energéticos, como los estallidos de rayos gamma .

La geometría de Kerr exhibe muchas características notables: la extensión analítica máxima incluye una secuencia de regiones exteriores asintóticamente planas , cada una asociada con una ergosfera , superficies límite estacionarias, horizontes de eventos , horizontes de Cauchy , curvas temporales cerradas y una singularidad de curvatura en forma de anillo . La ecuación geodésica puede resolverse exactamente en forma cerrada. Además de dos campos vectoriales de Killing (correspondientes a la traslación temporal y la simetría axial ), la geometría de Kerr admite un notable tensor de Killing . Hay un par de congruencias nulas principales (una entrante y otra saliente ). El tensor de Weyl es algebraicamente especial , de hecho tiene el tipo D de Petrov .

Cabe señalar que la geometría interna de Kerr es inestable con respecto a las perturbaciones en la región interior. Esta inestabilidad implica que, si bien la métrica de Kerr es axisimétrica, un agujero negro creado por colapso gravitacional podría no serlo. ^{[ 13 ]} Esta inestabilidad también implica que muchas de las características de la geometría de Kerr descritas anteriormente podrían no estar presentes dentro de dicho agujero negro. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

Una superficie sobre la cual la luz puede orbitar un agujero negro se llama esfera de fotones. La solución de Kerr tiene infinitas esferas de fotones , situadas entre una interior y una exterior. En la solución de Schwarzschild no rotatoria, con${\displaystyle a=0}$⁠ , las esferas de fotones interna y externa degeneran, de modo que solo hay una esfera de fotones en un único radio. Cuanto mayor sea el giro de un agujero negro, más lejos se mueven entre sí las esferas de fotones interna y externa. Un haz de luz que viaja en una dirección opuesta al giro del agujero negro orbitará circularmente el agujero en la esfera de fotones externa. Un haz de luz que viaja en la misma dirección que el giro del agujero negro orbitará circularmente en la esfera de fotones interna. Las geodésicas orbitales con cierto momento angular perpendicular al eje de rotación del agujero negro orbitarán en esferas de fotones entre estos dos extremos. Debido a que el espaciotiempo está rotando, tales órbitas exhiben una precesión, ya que hay un desplazamiento en el ⁠${\displaystyle \phi }$variable después de completar un período en el${\displaystyle \theta }$variable .

Ecuaciones de trayectoria

Las ecuaciones de movimiento para partículas de prueba en el espaciotiempo de Kerr se rigen por cuatro constantes de movimiento . ^{[ 29 ]} La primera es la masa invariante .${\displaystyle \mu }$de la partícula de prueba, definida por la relación $${\displaystyle -\mu ^{2}=p^{\alpha }g_{\alpha \beta }p^{\beta },}$$ donde​${\displaystyle p^{\alpha }}$⁠ es el cuadrimomento de la partícula. Además, hay dos constantes de movimiento dadas por las simetrías de traslación y rotación temporal del espaciotiempo de Kerr, la energía ⁠${\displaystyle E}$y la componente del momento angular orbital paralela al giro del agujero negro .${\displaystyle L_{z}}$⁠ . ^{[ 21 ] [ 30 ]}$${\displaystyle E=-p_{t},}$$y $${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }}$$

Utilizando la teoría de Hamilton-Jacobi , Brandon Carter demostró que existe una cuarta constante de movimiento, ⁠${\displaystyle Q}$⁠ , ^{[ 29 ]} ahora denominada constante de Carter . Está relacionada con el momento angular total de la partícula y viene dada por $${\displaystyle Q=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu ^{2}-E^{2}\right)+\left({\frac {L_{z}}{\sin \theta }}\right)^{2}\right).}$$

Dado que existen cuatro constantes de movimiento (independientes) para los grados de libertad, las ecuaciones de movimiento para una partícula de prueba en el espacio-tiempo de Kerr son integrables .

Utilizando estas constantes de movimiento, se pueden escribir las ecuaciones de trayectoria para una partícula de prueba (utilizando unidades naturales de ⁠${\displaystyle G=M=c=1}$⁠ ), ^{[ 29 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma {\frac {dr}{d\lambda }}&=\pm {\sqrt {R(r)}}\\\Sigma {\frac {d\theta }{d\lambda }}&=\pm {\sqrt {\Theta (\theta )}}\\\Sigma {\frac {d\phi }{d\lambda }}&=-\left(aE-{\frac {L_{z}}{\sin ^{2}\theta }}\right)+{\frac {a}{\Delta }}P(r)\\\Sigma {\frac {dt}{d\lambda }}&=-a\left(aE\sin ^{2}\theta -L_{z}\right)+{\frac {r^{2}+a^{2}}{\Delta }}P(r)\end{aligned}}}$$ con

• ${\displaystyle \Theta (\theta )=Q-\cos ^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu ^{2}-E^{2}\right)+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)}$
• ${\displaystyle P(r)=E\left(r^{2}+a^{2}\right)-aL_{z}}$
• ${\displaystyle R(r)=P(r)^{2}-\Delta \left(\mu ^{2}r^{2}+(L_{z}-aE)^{2}+Q\right)}$

donde​${\displaystyle \lambda }$es un parámetro afín tal que${\displaystyle {\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}=p^{\alpha }}$⁠ . En particular, cuando ⁠${\displaystyle \mu >0}$el parámetro afín${\displaystyle \lambda }$⁠ , está relacionado con el tiempo adecuado ⁠${\displaystyle \tau }$a través de${\displaystyle \lambda =\tau /\mu }$.​

Debido al efecto de arrastre de marco , un observador de momento angular cero (ZAMO) corrota con la velocidad angular ⁠${\displaystyle \Omega }$que se define con respecto al tiempo de coordenadas del contable${\displaystyle t}$⁠ . ^{[ 31 ]} La velocidad local ⁠${\displaystyle v}$La velocidad de la partícula de prueba se mide en relación con una sonda que corrota con ella .${\displaystyle \Omega }$⁠ . La dilatación del tiempo gravitacional entre un ZAMO en un punto fijo ⁠${\displaystyle r}$y un observador estacionario lejos de la masa es $${\displaystyle {\frac {t}{\tau }}={\sqrt {\frac {\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\Delta \sin ^{2}\theta }{\Delta \ \Sigma }}}.}$$ En coordenadas cartesianas de Kerr-Schild, las ecuaciones para un fotón son ^{[ 32 ].}$${\displaystyle {\ddot {x}}+i{\ddot {y}}=4iMa{\frac {r}{\Sigma ^{2}}}W\left[{\dot {x}}+i{\dot {y}}-{\frac {x+iy}{r}}{\dot {r}}\right]-M(x+iy)\left({\frac {4r^{2}}{\Sigma }}-1\right){\frac {C-a^{2}W^{2}}{r\Sigma ^{2}}}}$$$${\displaystyle {\ddot {z}}=-Mz\left({\frac {4r^{2}}{\Sigma }}-1\right){\frac {C}{r\Sigma ^{2}}}}$$ donde​${\displaystyle C}$⁠ es análogo a la constante de Carter y ⁠${\displaystyle W}$es una cantidad útil $${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+\left(aE\sin {\theta }-{\frac {L_{z}}{\sin {\theta }}}\right)^{2}}$$$${\displaystyle W={\dot {t}}-a\sin ^{2}{\theta }{\dot {\phi }}}$$

Si establecemos${\displaystyle a=0}$⁠ , se restablecenlas geodésicas de Schwarzschild .

El grupo de isometrías de la métrica de Kerr es un subgrupo del grupo de Poincaré de diez dimensiones que toma el lugar geométrico bidimensional de la singularidad. Conserva las traslaciones temporales (una dimensión) y las rotaciones alrededor de su eje de rotación (una dimensión). Por lo tanto, tiene dos dimensiones. Al igual que el grupo de Poincaré, tiene cuatro componentes conexas: la componente de la identidad; la componente que invierte el tiempo y la longitud; la componente que refleja a través del plano ecuatorial; y la componente que realiza ambas. Estas isometrías están codificadas en los vectores de Killing temporales y azimutales.

En física, las simetrías suelen asociarse con constantes de movimiento conservadas, de acuerdo con el teorema de Noether . Como se muestra arriba, las ecuaciones geodésicas tienen cuatro cantidades conservadas: una proviene de la definición de geodésica y dos surgen de la simetría de traslación y rotación temporal de la geometría de Kerr. La cuarta cantidad conservada no surge de una simetría en el sentido estándar y se conoce comúnmente como simetría oculta. Esta simetría está codificada en un tensor de Killing, cuyas cantidades conservadas son cuadráticas en los momentos.

La ubicación del horizonte de eventos está determinada por la raíz mayor de ⁠${\displaystyle \Delta =0}$⁠ . Cuando ⁠${\displaystyle r_{\text{s}}/2<a}$⁠ (es decir ⁠${\displaystyle GM^{2}<Jc}$⁠ ), no hay soluciones (de valor real) para esta ecuación, y no hay horizonte de sucesos. Sin horizontes de sucesos que lo oculten del resto del universo, el agujero negro deja de ser un agujero negro y se convierte en una singularidad desnuda . ^{[ 33 ]}

Aunque la solución de Kerr parece ser singular en las raíces de ⁠${\displaystyle \Delta =0}$⁠ , en realidad se trata de singularidades de coordenadas y, con una elección apropiada de nuevas coordenadas, la solución de Kerr puede extenderse suavemente a través de los valores de ⁠${\displaystyle r}$⁠ correspondientes a estas raíces. La mayor de estas raíces determina la ubicación del horizonte de sucesos, y la menor determina la ubicación de un horizonte de Cauchy . Una curva (dirigida hacia el futuro, de tipo temporal) puede comenzar en el exterior y pasar a través del horizonte de sucesos. Una vez que ha pasado a través del horizonte de sucesos, la ⁠${\displaystyle r}$La coordenada ahora se comporta como una coordenada temporal, por lo que debe disminuir hasta que la curva pase por el horizonte de Cauchy. ^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]}

La métrica de Kerr, que describe la geometría del espaciotiempo alrededor de un agujero negro en rotación, puede extenderse más allá del horizonte de sucesos interno. En el sistema de coordenadas de Boyer-Lindquist${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$, este horizonte interior se encuentra en

${\displaystyle r_{-}=M-{\sqrt {M^{2}-a^{2}}}.}$

Al cruzar este horizonte interior, la coordenada radial${\displaystyle r}$continúa disminuyendo, llegando incluso a ser negativo.

La geometría de Kerr es un ejemplo particular de una solución de vacío estacionaria axialmente simétrica para la ecuación de campo de Einstein . La familia de todas las soluciones de vacío estacionarias axialmente simétricas para la ecuación de campo de Einstein son los vacíos de Ernst .

La solución de Kerr también está relacionada con diversas soluciones que no son de vacío y que modelan agujeros negros. Por ejemplo, el modelo de electrovacío de Kerr-Newman modela un agujero negro (en rotación) dotado de una carga eléctrica, mientras que el modelo de polvo nulo de Kerr-Vaidya modela un agujero (en rotación) con radiación electromagnética incidente.

El caso especial${\displaystyle a=0}$La transformación de la métrica de Kerr produce la métrica de Schwarzschild, que modela unagujero negro no giratorio , estático y con simetría esférica , en las coordenadas de Schwarzschild . (En este caso, todos los momentos de Geroch, excepto la masa, se anulan).

El interior de la geometría de Kerr, o más bien una parte de ella, es localmente isométrico al vacío CPW de Chandrasekhar-Ferrari , un ejemplo de un modelo de ondas planas en colisión . Esto es particularmente interesante, porque la estructura global de esta solución CPW es bastante diferente de la de la geometría de Kerr, y en principio, un experimentador podría esperar estudiar la geometría de (la parte exterior de) el interior de Kerr organizando la colisión de dos ondas planas gravitacionales adecuadas .

Cada vacío de Ernst asintóticamente plano puede caracterizarse mediante la secuencia infinita de momentos multipolares relativistas , los dos primeros de los cuales pueden interpretarse como la masa y el momento angular de la fuente del campo. Existen formulaciones alternativas de momentos multipolares relativistas debidas a Hansen, Thorne y Geroch, que resultan coincidir entre sí. Los momentos multipolares relativistas de la geometría de Kerr fueron calculados por Hansen; resultan ser

${\displaystyle M_{n}=M[ia]^{n}}$

Así, el caso especial del vacío de Schwarzschild ( ⁠${\displaystyle a=0}$⁠ ) ​​da la " fuente puntual monopolar " de la relatividad general. ^{[ a ]}

Los momentos multipolares de Weyl surgen al tratar una cierta función métrica (que corresponde formalmente al potencial gravitatorio newtoniano) que aparece en el diagrama de Weyl-Papapetrou para la familia de Ernst de todas las soluciones de vacío axisimétricas estacionarias utilizando los momentos multipolares escalares euclidianos estándar . Son distintos de los momentos calculados por Hansen, arriba. En cierto sentido, los momentos de Weyl solo caracterizan (indirectamente) la "distribución de masa" de una fuente aislada, y resultan depender solo de los momentos relativistas de orden par . En el caso de soluciones simétricas a través del plano ecuatorial, los momentos de Weyl de orden impar se anulan. Para las soluciones de vacío de Kerr, los primeros momentos de Weyl vienen dados por

${\displaystyle a_{0}=M,\qquad a_{1}=0,\qquad a_{2}=M\left({\frac {M^{2}}{3}}-a^{2}\right).}$

En particular, vemos que el vacío de Schwarzschild tiene un momento de Weyl de segundo orden distinto de cero, lo que corresponde al hecho de que el "monopolo de Weyl" es la solución de vacío de Chazy-Curzon , no la solución de vacío de Schwarzschild, que surge del potencial newtoniano de una cierta varilla delgada de densidad uniforme y longitud finita .

En la relatividad general de campo débil, resulta conveniente tratar las fuentes aisladas mediante otro tipo de multipolo, que generaliza los momentos de Weyl a momentos multipolares de masa y de momento , caracterizando respectivamente la distribución de masa y de momento de la fuente. Estas son cantidades multiindexadas cuyas partes simetrizadas y antisimetrizadas, según corresponda, pueden relacionarse con las partes real e imaginaria de los momentos relativistas para la teoría no lineal completa de una manera bastante compleja.

Pérez y Moreschi han dado una noción alternativa de "soluciones monopolares" al expandir la tétrada NP estándar de los vacíos de Ernst en potencias de ⁠${\displaystyle r}$( la coordenada radial en la carta de Weyl-Papapetrou). Según esta formulación:

• La fuente monopolar de masa aislada con momento angular cero es la familia de vacío de Schwarzschild (un parámetro),
• La fuente monopolar de masa aislada con momento angular radial es la familia de vacío Taub-NUT (dos parámetros; no del todo asintóticamente plana),
• La fuente monopolar de masa aislada con momento angular axial es la familia de vacío de Kerr (dos parámetros).

En este sentido, los vacíos de Kerr son las soluciones de vacío estacionarias axisimétricas asintóticamente planas más simples en la relatividad general.

The Kerr geometry is often used as a model of a rotating black hole but if the solution is held to be valid only outside some compact region (subject to certain restrictions), in principle, it should be able to be used as an exterior solution to model the gravitational field around a rotating massive object other than a black hole such as a neutron star, or the Earth. This works out very nicely for the non-rotating case, where the Schwarzschild vacuum exterior can be matched to a Schwarzschild fluid interior, and indeed to more general static spherically symmetric perfect fluid solutions. However, the problem of finding a rotating perfect-fluid interior which can be matched to a Kerr exterior, or indeed to any asymptotically flat vacuum exterior solution, has proven very difficult. In particular, the Wahlquist fluid, which was once thought to be a candidate for matching to a Kerr exterior, is now known not to admit any such matching. At present, it seems that only approximate solutions modeling slowly rotating fluid balls are known (These are the relativistic analog of oblate spheroidal balls with nonzero mass and angular momentum but vanishing higher multipole moments). However, the exterior of the Neugebauer–Meinel disk, an exact dust solution which models a rotating thin disk, approaches in a limiting case the ⁠${\displaystyle GM^{2}=cJ}$⁠ Kerr geometry. Physical thin-disk solutions obtained by identifying parts of the Kerr spacetime are also known.^[38]

• Schwarzschild metric
• De Sitter–Schwarzschild metric
• Kerr–Newman metric
• Kerr–Newman–de–Sitter metric
• Reissner–Nordström metric
• Hartle–Thorne metric
• Spin-flip
• Rotating black hole

• Wiltshire, David L.; Visser, Matt; Scott, Susan M. , eds. (2009). El espaciotiempo de Kerr: agujeros negros en rotación en la relatividad general . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88512-6.
• Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius; Herlt, Eduard (2003). Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46136-8.
• Meinel, Reinhard ; Ansorg, Marcos; Kleinwachter, Andreas; Neugebauer, Gernot; Petrov, David (2008). Figuras relativistas de equilibrio . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-86383-4.
• O'Neill, Barrett (1995). La geometría de los agujeros negros de Kerr . Wellesley, Massachusetts: AK Peters. ISBN 978-1-56881-019-5.
• D'Inverno, Ray (1992). Introducción a la relatividad de Einstein . Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-859686-8.Consulte el capítulo 19 para obtener una introducción accesible a nivel de estudiante universitario avanzado.
• Chandrasekhar, S. (1992). La teoría matemática de los agujeros negros . Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850370-5.Consulte los capítulos 6 a 10 para un estudio muy completo a nivel de posgrado avanzado.
• Griffiths, JB (1991). Ondas planas en colisión en la relatividad general . Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853209-5.Consulte el capítulo 13 para ver el modelo CPW de Chandrasekhar/Ferrari.
• Adler, Ronald; Bazin, Maurice; Schiffer, Menahem (1975). Introducción a la relatividad general (Segunda  edición). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000423-8.Véase el capítulo 7 .
• Penrose, R. (1968). ed. C. de Witt y J. Wheeler (ed.). Battelle Rencontres . WA Benjamín, Nueva York. pag.  222.
• Pérez, Alejandro; Moreschi, Osvaldo M. (2000). "Caracterización de soluciones exactas a partir de conceptos físicos asintóticos". arXiv : gr-qc/0012100v1 .Caracterización de tres familias estándar de soluciones de vacío, como se indicó anteriormente.
• Sotiriou, Thomas P.; Apostolatos, Theocharis A. (2004). "Correcciones y comentarios sobre los momentos multipolares de los espaciotiempos electrovacío axisimétricos". Class. Quantum Grav . 21 (24): 5727– 5733. arXiv : gr-qc/0407064 . Bibcode : 2004CQGra..21.5727S . doi : 10.1088/0264-9381/21/24/003 . S2CID 16858122 . Proporciona los momentos multipolares relativistas para los vacíos de Ernst (además de los momentos multipolares relativistas electromagnéticos y gravitacionales para la generalización cargada).
• Carter, B. (1971). "Agujero negro axisimétrico tiene solo dos grados de libertad". Physical Review Letters . 26 (6): 331– 333. Bibcode : 1971PhRvL..26..331C . doi : 10.1103/PhysRevLett.26.331 .
• Wald, RM (1984). Relatividad general . Chicago: The University of Chicago Press. pp. 312–324 . ISBN  978-0-226-87032-8.
• Kerr, RP; Schild, A. (2009). "Republicación de: Una nueva clase de soluciones de vacío de las ecuaciones de campo de Einstein". Relatividad general y gravitación . 41 (10): 2485– 2499. Bibcode : 2009GReGr..41.2485K . doi : 10.1007/s10714-009-0857-z . S2CID 361088 . 
• Krasiński, Andrzej; Verdaguer, Enric; Kerr, Roy Patrick (2009). "Nota editorial a: RP Kerr y A. Schild, Una nueva clase de soluciones de vacío de las ecuaciones de campo de Einstein" . Relatividad general y gravitación . 41 (10): 2469– 2484. Bibcode : 2009GReGr..41.2469K . doi : 10.1007/s10714-009-0856-0 ."...  Esta nota pretende ser una guía para aquellos lectores que deseen verificar todos los detalles [de la derivación de la solución de Kerr]  ..."