teoría del modelo interno

En teoría de conjuntos , la teoría de modelos internos estudia ciertos modelos de ZFC o algún fragmento o fortalecimiento del mismo. Por lo general, estos modelos son subconjuntos transitivos o subclases del universo de von Neumann V , o a veces de una extensión genérica de V. La teoría de modelos internos estudia las relaciones de estos modelos con la determinabilidad , los cardinales grandes y la teoría descriptiva de conjuntos . A pesar de su nombre, se considera más una rama de la teoría de conjuntos que de la teoría de modelos .

• La clase de todos los conjuntos es un modelo interno que contiene todos los demás modelos internos.
• El primer ejemplo no trivial de un modelo interno fue el universo constructible L desarrollado por Kurt Gödel . Todo modelo M de ZF tiene un modelo interno L ^M que satisface el axioma de constructibilidad , y este será el modelo interno más pequeño de M que contenga todos los ordinales de M. Independientemente de las propiedades del modelo original, L ^M satisfará la hipótesis del continuo generalizado y axiomas combinatorios como el principio del diamante ◊.
• HOD, la clase de conjuntos que son hereditariamente definibles ordinalmente , forman un modelo interno que satisface ZFC.
• Los conjuntos que se pueden definir hereditariamente sobre una secuencia numerable de ordinales forman un modelo interno, utilizado en el teorema de Solovay .
• L(R) , el modelo interno más pequeño que contiene todos los números reales y todos los ordinales.
• L[ U ], la clase construida en relación con una normal, no principal,${\displaystyle \kappa }$-ultrafiltro U completo sobre un ordinal${\displaystyle \kappa }$(ver daga cero ).

Un uso importante de los modelos internos es la demostración de resultados de consistencia. Si se puede demostrar que todo modelo de un axioma A tiene un modelo interno que satisface el axioma B , entonces si A es consistente , B también debe serlo. Este análisis es más útil cuando A es un axioma independiente de ZFC, por ejemplo, un axioma cardinal grande ; es una de las herramientas utilizadas para clasificar los axiomas según su fuerza de consistencia .

• Jech, Thomas (2003), Teoría de conjuntos , Monografías de Springer en matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag
• Kanamori, Akihiro (2003), El infinito superior  : grandes cardenales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª  ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-00384-7

• Modelo central
• Modelo interior