0†

En teoría de conjuntos , 0 ^† ( daga cero ) es un subconjunto particular de los números naturales, definido por primera vez por Robert M. Solovay en un trabajo inédito de la década de 1960. ^{[ 1 ]} La definición es un tanto incómoda, porque podría no existir ningún conjunto de números naturales que satisfaga las condiciones. Específicamente, si ZFC es consistente , entonces ZFC + "0 ^† no existe" es consistente. No se sabe que ZFC + "0 ^† existe" sea inconsistente (y la mayoría de los teóricos de conjuntos creen que es consistente). En otras palabras, se cree que es independiente (véase cardinal grande para una discusión). Generalmente se formula de la siguiente manera:

0 ^† existe si y solo si existe una incrustación elemental no trivial j : L [ U ] → L [ U ] para el universo construible de Gödel relativizado L [ U ], donde U es un ultrafiltro que evidencia que algún cardinal κ es medible .  

Si 0 ^† existe, entonces un análisis cuidadoso de las incrustaciones de L [ U ] en sí mismo revela que hay un subconjunto cerrado no acotado de κ , y una clase propia cerrada no acotada de ordinales mayores que κ , que juntos son indiscernibles para la estructura ( L , ∈, U ), y 0 ^† se define como el conjunto de números de Gödel de las fórmulas verdaderas sobre los indiscernibles en L [ U ].

Solovay demostró que la existencia de 0 ^† se deduce de la existencia de dos cardinales medibles. Tradicionalmente se considera un axioma de cardinalidad grande , aunque ni siquiera es un cardinal, y mucho menos uno grande.

• 0 ^# : un conjunto de fórmulas (o subconjunto de los enteros) definidas de manera similar, pero más simples.

• Kanamori, Akihiro (2003). El infinito superior  : grandes cardinales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª  ed.). Saltador. ISBN 3-540-00384-3.

• Definición según "Base de datos matemática Zentralblatt" (PDF)