Principio del diamante

En matemáticas , y particularmente en la teoría axiomática de conjuntos , el principio del diamante${\displaystyle \Diamond }$es un principio combinatorio introducido por Ronald Jensen en Jensen (1972) que se cumple en el universo constructible y que implica la hipótesis del continuo . Jensen extrajo el principio del diamante de su demostración de que el axioma de constructibilidad implica la existencia de un árbol de Suslin .

El principio del diamante ◊ dice que existe un◊-secuencia , una familia de conjuntos A _α ⊆ α para α < ω ₁ tal que para cualquier subconjunto A deω ₁ el conjunto de α con A ∩ α = A _α esestacionarioen ω ₁ .

Hay varias formas equivalentes del principio del diamante. Una establece que hay una colección numerable A _α de subconjuntos de α para cada ordinal numerable α tal que para cualquier subconjunto A de ω ₁ hay un subconjunto estacionario C de ω ₁ tal que para todo α en C tenemos A ∩ α ∈ A _α y C ∩ α ∈ A _α . Nótese que una forma debilitada que establece que existen conjuntos A _α ⊆ α para α < ω ₁ tales que para cualquier subconjunto A de ω ₁ hay al menos un α infinito con A ∩ α = A _α , es equivalente a la Hipótesis del Continuo .

De forma más general, para un número cardinal κ dado y un conjunto estacionario S ⊆ κ , la afirmación ◊ _S (a veces escrita ◊( S ) o ◊ _κ ( S ) ) es la afirmación de que existe una sucesión ⟨ A _α  : α ∈ S ⟩ tal que

• cada A _α ⊆ α
• para cada A ⊆ κ , { α ∈ S  : A ∩ α = A _α } es estacionario en κ

El principio ◊ _{ω 1} es el mismo que ◊ .

El principio diamante-plus ◊ ⁺ establece que existe una ◊ ⁺ -secuencia , en otras palabras una colección numerable A _α de subconjuntos de α para cada ordinal numerable α tal que para cualquier subconjunto A de ω ₁ hay un subconjunto cerrado no acotado C de ω ₁ tal que para todo α en C tenemos A ∩ α ∈ A _α y C ∩ α ∈ A _α .

Jensen (1972) demostró que el principio del diamante ◊ implica la existencia de árboles de Suslin . También demostró que V = L implica el principio diamante-plus, que implica el principio diamante, que implica CH . En particular, tanto el principio del diamante como el principio diamante-plus son independientes de los axiomas de ZFC . Además, ♣ + CH implica ◊ , pero Shelah dio modelos de ♣ + ¬ CH , por lo que ◊ y ♣ no son equivalentes (más bien, ♣ es más débil que ◊ ).

Matet demostró el principio${\displaystyle \diamondsuit _{\kappa }}$equivalente a una propiedad de particiones de${\displaystyle \kappa }$con intersección diagonal de segmentos iniciales de las particiones estacionarias en${\displaystyle \kappa }$. ^{[ 1 ]}

El principio del diamante ◊ no implica la existencia de un árbol Kurepa , pero el principio ◊ ⁺ más fuerte implica tanto el principio ◊ como la existencia de un árbol Kurepa.

Akemann y Weaver (2004) utilizaron ◊ para construir un álgebra C * que sirve como contraejemplo al problema de Naimark .

Para todos los cardinales κ y subconjuntos estacionarios S ⊆ κ ⁺ , ◊ _S se cumple en el universo construible . Shelah (2010) demostró que para κ > ℵ ₀ , ◊ _{κ ⁺} ( S ) se deduce de 2 ^κ = κ ⁺ para S estacionarios que no contienen ordinales de cofinalidad κ .

Shelah demostró que el principio del diamante resuelve el problema de Whitehead al implicar que todo grupo de Whitehead es libre.

• Lista de declaraciones independientes de ZFC
• Afirmaciones verdaderas en L