Modelo central

En la teoría de conjuntos , el modelo central es un modelo interno definible del universo de todos los conjuntos . Aunque los teóricos de conjuntos se refieren al "modelo central", no es un objeto matemático identificado de forma única . Más bien, es una clase de modelos internos que, bajo las suposiciones adecuadas de la teoría de conjuntos, poseen propiedades muy especiales, sobre todo propiedades de cobertura . Intuitivamente, el modelo central es "el modelo interno canónico más grande que existe" ^{[ 1 ]} (aquí "canónico" es un término indefinido) ^{[ 2 ] pág. 28} y se asocia típicamente con una noción de cardinal grande . Si Φ es una noción de cardinal grande, entonces la frase "modelo central por debajo de Φ" se refiere al modelo interno definible que exhibe las propiedades especiales bajo la suposición de que no existe un cardinal que satisfaga Φ. El programa del modelo central busca analizar los axiomas de cardinal grande determinando los modelos centrales por debajo de ellos.

El primer modelo central fue el universo constructible L de Kurt Gödel . Ronald Jensen demostró el lema de recubrimiento para L en la década de 1970 bajo el supuesto de la no existencia de cero agudo , estableciendo que L es el "modelo central por debajo de cero agudo". El trabajo de Solovay aisló otro modelo central L [ U ], para U un ultrafiltro en un cardinal medible (y su "agudo" asociado, daga cero ). Junto con Tony Dodd, Jensen construyó el modelo central de Dodd-Jensen ("el modelo central por debajo de un cardinal medible") y demostró el lema de recubrimiento para él y un lema de recubrimiento generalizado para L [ U ].

Mitchell utilizó secuencias coherentes de medidas para desarrollar modelos centrales que contenían múltiples o más medidas de orden superior. Más tarde, el modelo central de Steel utilizó extensores y árboles de iteración para construir un modelo central por debajo de un cardinal de Woodin .

Los modelos centrales se construyen mediante recursión transfinita a partir de pequeños fragmentos del modelo central, denominados ratones . Un ingrediente importante de la construcción es el lema de comparación, que permite establecer un buen ordenamiento de los ratones relevantes.

En el nivel de cardinales fuertes y superiores, se construye un modelo central certificado contable intermedio K ^c , y luego, si es posible, se extrae K de K ^c .

K _c (y por lo tanto K) es un modelo extensor numerable iterable de estructura fina por debajo de extensores largos. (Actualmente no se sabe cómo tratar con extensores largos, que establecen que un cardinal es superfuerte ). Aquí la iterabilidad numerable significa iterabilidad ω ₁ +1 para todas las subestructuras elementales numerables de segmentos iniciales, y basta para desarrollar la teoría básica, incluidas ciertas propiedades de condensación. La teoría de tales modelos es canónica y bien comprendida. Satisfacen GCH , el principio del diamante para todos los subconjuntos estacionarios de cardinales regulares, el principio del cuadrado (excepto en cardinales subcompactos ) y otros principios que se cumplen en L.

K ^c es maximal en varios sentidos. K ^c calcula correctamente los sucesores de cardinales medibles y muchos cardinales singulares. Además, se espera que, bajo un debilitamiento apropiado de la certificabilidad contable, K ^c calcule correctamente los sucesores de todos los cardinales límite fuertes débilmente compactos y singulares . Si V es cerrado bajo un operador mouse (un operador de modelo interno), entonces K ^c también lo es . K ^c no tiene una incrustación perfecta: no existe una incrustación elemental no trivial de K ^c en sí mismo. (Sin embargo, a diferencia de K, K ^c puede ser elementalmente autoincrustable).

Si además tampoco hay cardinales de Woodin en este modelo (excepto en ciertos casos específicos, no se sabe cómo debería definirse el modelo central si K _c tiene cardinales de Woodin), podemos extraer el modelo central real K. K también es su propio modelo central. K es localmente definible y genéricamente absoluto: Para cada extensión genérica de V, para cada cardinal κ>ω ₁ en V[G], K como construido en H(κ) de V[G] es igual a K∩H(κ). (Esto no sería posible si K contuviera cardinales de Woodin). K es maximal, universal y completamente iterable. Esto implica que para cada modelo extensor iterable M (llamado ratón), hay una incrustación elemental M→N y de un segmento inicial de K en N, y si M es universal, la incrustación es de K en M.

Se conjetura que si K existe y V es cerrado bajo un operador agudo M, entonces K es Σ ¹ ₁ correcto permitiendo números reales en K como parámetros y M como predicado. Eso equivale a una corrección Σ ¹ ₃ (en el sentido usual) si M es x→x ^# .

El modelo central también puede definirse sobre un conjunto particular de ordinales X: X pertenece a K(X), pero K(X) satisface las propiedades habituales de K sobre X. Si no existe un modelo interno iterable con ω cardinales de Woodin, entonces para algún X, K(X) existe. La discusión anterior sobre K y K ^c se generaliza a K(X) y K ^c (X).

Conjetura:

• Si no existe un modelo iterable ω ₁ +1 con extensores largos (y por lo tanto modelos con cardinales superfuertes), entonces existe K ^{c .}
• Si K ^c existe y, tal como se construye en cada extensión genérica de V (equivalentemente, bajo algún colapso genérico Coll(ω, <κ) para un ordinal κ suficientemente grande), satisface "no hay cardinales de Woodin", entonces el Modelo Central K existe.

Los resultados parciales de la conjetura son los siguientes:

1. Si no existe un modelo interno con un cardinal de Woodin, entonces K existe.
2. Si (negrita) la determinabilidad Σ ¹ _n (n es finito) se cumple en toda extensión genérica de V, pero no hay un modelo interno iterable con n cardinales de Woodin, entonces K existe.
3. Si hay un cardinal medible κ, entonces o bien existe K ^c por debajo de κ, o bien existe un modelo iterable ω ₁ +1 con límite medible λ de cardinales de Woodin y cardinales fuertes hasta λ.

Si V tiene cardinales de Woodin pero no cardinales fuertes más allá de un cardinal de Woodin, entonces, bajo las circunstancias apropiadas, se puede construir un modelo (candidato a) K construyendo K por debajo de cada cardinal de Woodin (y por debajo de la clase de todos los ordinales) κ pero por encima de ese K construido por debajo del supremo de los cardinales de Woodin por debajo de κ. El modelo central candidato no es completamente iterable (la iterabilidad falla en los cardinales de Woodin) ni genéricamente absoluto, pero por lo demás se comporta como K.

• W. Hugh Woodin (junio/julio de 2001). " La hipótesis del continuo, parte I ". Notices of the AMS.
• William Mitchell. "Introducción a la teoría del modelo interno" (Capítulo 17 del Volumen 3 del "Manual de teoría de conjuntos").
• Matthew Foreman y Akihiro Kanamori (Editores). "Manual de teoría de conjuntos", Springer Verlag, 2010, ISBN 978-1402048432.
• Ronald Jensen y John R. Steel. "K sin lo mensurable". Journal of Symbolic Logic Volumen 78, Número 3 (2013), 708-734.