Principio del cuadrado

En la teoría matemática de conjuntos , un principio cuadrado es un principio combinatorio que afirma la existencia de una secuencia coherente de conjuntos (clubs) cortos, cerrados e ilimitados, de modo que ningún conjunto (clubs) largo es coherente con todos ellos. Como tal, pueden considerarse como una especie de fenómeno de incompacidad . ^[1] Fueron introducidos por Ronald Jensen en su análisis de la estructura fina del universo construible L.

Defina Sing como la clase de todos los ordinales límite que no son regulares . El cuadrado global establece que existe un sistema que satisface: ${\displaystyle (C_{\beta })_{\beta \in \mathrm {Cantar} }}$

1. ${\displaystyle C_{\beta}}$es un conjunto de club de .${\estilo de visualización \beta}$
2. Antiguo Testamento${\displaystyle (C_{\beta})<\beta}$
3. Si es un punto límite de entonces y${\estilo de visualización \gamma}$${\displaystyle C_{\beta}}$${\displaystyle \gamma \in \mathrm {Cantar} }$${\displaystyle C_{\gamma }=C_{\beta }\cap \gamma }$

Jensen introdujo también una versión local del principio. ^[2] Si es un cardinal incontable, entonces afirma que existe una secuencia que satisface: ${\estilo de visualización \kappa}$${\displaystyle \Box _{\kappa }}$${\displaystyle (C_{\beta }\mid \beta {\text{ un punto límite de }}\kappa ^{+})}$

1. ${\displaystyle C_{\beta}}$es un conjunto de club de .${\estilo de visualización \beta}$
2. Si , entonces ${\displaystyle cf\beta <\kappa}$${\displaystyle |C_{\beta }|<\kappa }$
3. Si es un punto límite de entonces${\estilo de visualización \gamma}$${\displaystyle C_{\beta}}$${\displaystyle C_{\gamma }=C_{\beta }\cap \gamma }$

Jensen demostró que este principio es válido en el universo construible para cualquier cardinal incontable κ.