Cardinal subcompacto

En matemáticas , un cardinal subcompacto es un tipo particular de número cardinal grande .

Un número cardinal κ es subcompacto si y solo si para cada A  ⊂ H ( κ ⁺ ) existe una incrustación elemental no trivial j:( H ( μ ⁺ ), B ) → ( H ( κ ⁺ ), A ) (donde H ( κ ⁺ ) es el conjunto de todos los conjuntos de cardinalidad hereditariamente menor que κ ⁺ ) con punto crítico μ y j ( μ ) = κ .    

Análogamente, κ es un cardinal cuasicompacto si y solo si para cada A  ⊂ H ( κ ⁺ ) existe una incrustación elemental no trivial j :( H ( κ ⁺ ), A ) → ( H ( μ ⁺ ), B ) con punto crítico κ y j ( κ ) = μ .    

H ( λ ) consiste en todos los conjuntos cuya clausura transitiva tiene una cardinalidad menor que λ . 

Todo cardinal cuasicompacto es subcompacto. La cuasicompacidad fortalece la subcompacidad al proyectar propiedades cardinales mayores hacia arriba. Esta relación es análoga a la de los cardinales extensibles frente a los supercompactos . La cuasicompacidad puede considerarse una versión reforzada o destacada de la 1-extensibilidad. La existencia de cardinales subcompactos implica la existencia de muchos cardinales 1-extensibles y, por lo tanto, de muchos cardinales superfuertes . La existencia de un cardinal 2κ-supercompacto ^implica la existencia de muchos cardinales cuasicompactos.

Los cardinales subcompactos son notables por ser los cardinales menos grandes que implican un fallo del principio del cuadrado . Si κ es subcompacto, entonces el principio del cuadrado falla en κ. Los modelos internos canónicos al nivel de los cardinales subcompactos satisfacen el principio del cuadrado en todos los cardinales excepto en los cardinales subcompactos. (La existencia de tales modelos aún no se ha demostrado, pero en cualquier caso el principio del cuadrado puede imponerse para cardinales más débiles).

La cuasicompacidad es una de las propiedades cardinales grandes más fuertes que pueden observarse en los modelos internos actuales que no utilizan extensores largos. Para los modelos internos actuales, las incrustaciones elementales incluidas están determinadas por su efecto en P ( κ ) (calculado en la etapa en que se incluye la incrustación), donde κ es el punto crítico. Esto les impide observar incluso un cardinal κ ^fuertemente compacto κ . 

Ronald Jensen definió los cardinales subcompactos y cuasicompactos .