Hispanopedia WikiEn la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas , un cardinal fuertemente compacto es un cierto tipo de cardinal grande .
Un cardinal incontable κ es fuertemente compacto si y solo si cada filtro κ-completo puede extenderse a un ultrafiltro κ-completo.
Los cardinales fuertemente compactos se definieron originalmente en términos de lógica infinitaria , donde se permite que los operadores lógicos tomen una cantidad infinita de operandos. La lógica en un cardinal regular κ se define al requerir que el número de operandos para cada operador sea menor que κ; entonces κ es fuertemente compacto si su lógica satisface un análogo de la propiedad de compacidad de la lógica finitaria. Específicamente, una declaración que se sigue de alguna otra colección de declaraciones también debería seguirse de alguna subcolección que tenga cardinalidad menor que κ.
La propiedad de compacidad fuerte puede debilitarse si solo se exige que esta propiedad de compacidad se cumpla cuando la colección original de enunciados tiene una cardinalidad inferior a un cierto cardinal λ; en ese caso, podemos referirnos a la λ-compacidad. Un cardinal κ es débilmente compacto si y solo si es κ-compacto; esta era la definición original de ese concepto.
La compacidad fuerte implica mensurabilidad , y está implícita en la supercompacidad . Dado que existen los cardinales relevantes, es consistente con ZFC que el primer cardinal medible sea fuertemente compacto, o que el primer cardinal fuertemente compacto sea supercompacto; sin embargo, ambas cosas no pueden ser verdaderas. Un límite medible de cardinales fuertemente compactos es fuertemente compacto, pero el límite más pequeño de ese tipo no es supercompacto.
La fuerza de consistencia de la compacidad fuerte es estrictamente superior a la de un cardinal de Woodin . Algunos teóricos de conjuntos conjeturan que la existencia de un cardinal fuertemente compacto es equiconsistente con la de un cardinal supercompacto. Sin embargo, es poco probable que se pueda demostrar hasta que se desarrolle una teoría de modelo interno canónico para cardinales supercompactos.
Jech obtuvo una variante de la propiedad del árbol que se cumple para un cardinal inaccesible si y sólo si es fuertemente compacto. [1]
La extensibilidad es un análogo de segundo orden de la compacidad fuerte.
Véase también
Notas al pie
- ^ Hachtman, Sherwood; Sinapova, Dima (2020). "La propiedad del superárbol en el sucesor de un singular" (PDF) . Revista israelí de matemáticas . 236 (1): 473–500. arXiv : 1806.00820 . doi :10.1007/s11856-020-2000-5.
Referencias
- Drake, FR (1974). Teoría de conjuntos: Introducción a los grandes cardinales (Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas; V. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.