Cardenal supercompacto

En la teoría de conjuntos , un cardinal supercompacto es un tipo de cardinal grande introducido independientemente por Solovay y Reinhardt. ^[1] Muestran una variedad de propiedades de reflexión.

Si es cualquier ordinal , es -supercompacto significa que existe una incrustación elemental del universo en un modelo interno transitivo con punto crítico , y ${\estilo de visualización \lambda}$${\estilo de visualización \kappa}$${\estilo de visualización \lambda}$ ${\estilo de visualización j}$${\estilo de visualización V}$ ${\estilo de visualización M}$ ${\estilo de visualización \kappa}$${\displaystyle j(\kappa )>\lambda }$

${\displaystyle {}^{\lambda }M\subseteq M\,.}$

Es decir, contiene todas sus secuencias . Entonces es supercompacto significa que es supercompacto para todos los ordinales . ${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización \lambda}$${\estilo de visualización \kappa}$${\estilo de visualización \lambda}$${\estilo de visualización \lambda}$

Alternativamente, un cardinal incontable es supercompacto si para cada tal que existe una medida normal sobre , en el siguiente sentido. ${\estilo de visualización \kappa}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle \vert A\vert \geq \kappa }$${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$

${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$Se define de la siguiente manera:

${\displaystyle [A]^{<\kappa }:=\{x\subseteq A\mid \vert x\vert <\kappa \}}$.

Un ultrafiltro sobre está bien si es -completo y , para cada . Una medida normal sobre es un ultrafiltro fino sobre con la propiedad adicional de que toda función tal que es constante en un conjunto en . Aquí "constante en un conjunto en " significa que existe tal que . ${\estilo de visualización U}$${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$${\estilo de visualización \kappa}$${\displaystyle \{x\en [A]^{<\kappa }\mid a\en x\}\en U}$${\displaystyle a\en A}$${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$${\estilo de visualización U}$${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$${\displaystyle f:[A]^{<\kappa }\to A}$${\displaystyle \{x\en [A]^{<\kappa }|f(x)\en x\}\en U}$${\estilo de visualización U}$${\estilo de visualización U}$${\displaystyle a\en A}$${\displaystyle \{x\en [A]^{<\kappa }|f(x)=a\}\en U}$

Los cardinales supercompactos tienen propiedades de reflexión. Si un cardinal con alguna propiedad (por ejemplo, un cardinal enorme de 3 ) que es presenciado por una estructura de rango limitado existe por encima de un cardinal supercompacto , entonces existe un cardinal con esa propiedad debajo de . Por ejemplo, si es supercompacto y la hipótesis del continuo generalizado (GCH) se cumple debajo , entonces se cumple en todas partes porque una biyección entre el conjunto potencia de y un cardinal al menos sería un testigo de rango limitado para el fracaso de GCH en , por lo que también tendría que existir debajo de . ${\estilo de visualización \kappa}$${\estilo de visualización \kappa}$${\estilo de visualización \kappa}$${\estilo de visualización \kappa}$${\estilo de visualización \nu}$${\displaystyle \nu ^{++}}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu }$

Encontrar un modelo interno canónico para cardinales supercompactos es uno de los principales problemas de la teoría de modelos internos .

El cardinal menos supercompacto es el menor tal que para cada estructura con cardinalidad del dominio , y para cada oración tal que , existe una subestructura con dominio más pequeño (es decir ) que satisface . ^[2]${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle (M,R_{1},\ldots ,R_{n})}$${\displaystyle \vert M\vert \geq \kappa }$${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle (M,R_{1},\ldots ,R_{n})\vDash \phi }$${\displaystyle (M',R_{1}\vert M,\ldots ,R_{n}\vert M)}$${\displaystyle \vert M'\vert <\vert M\vert }$${\displaystyle \phi }$

La supercompacidad tiene una caracterización combinatoria similar a la propiedad de ser inefable . Sea el conjunto de todos los subconjuntos no vacíos de los cuales tienen cardinalidad . Un cardinal es supercompacto si y solo si para cada conjunto (equivalentemente cada cardinal ), para cada función , si para todos , entonces hay alguno que sea estacionario. ^[3]${\displaystyle P_{\kappa }(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle <\kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle f:P_{\kappa }(A)\to P_{\kappa }(A)}$${\displaystyle f(X)\subseteq X}$${\displaystyle X\in P_{\kappa }(A)}$${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle \{X\mid f(X)=B\cap X\}}$

Magidor obtuvo una variante de la propiedad del árbol que se cumple para un cardinal inaccesible solo si es supercompacto. ^[4]

• Indestructibilidad
• Cardenal fuertemente compacto
• Lista de grandes propiedades cardinales