Cuasi-categoría

En matemáticas, más concretamente en teoría de categorías , una cuasicategoría (también llamada cuasicategoría , complejo de Kan débil , complejo de Kan interno , categoría infinito , ∞-categoría , complejo de Boardman , quategoría ) es una generalización de la noción de categoría . El estudio de dichas generalizaciones se conoce como teoría de categorías superiores .

Las cuasicategorías fueron introducidas por Boardman y Vogt (1973) . André Joyal ha contribuido significativamente al estudio de las cuasicategorías, demostrando que la mayor parte de la teoría básica de categorías y algunos de los conceptos y teoremas avanzados tienen sus análogos en este campo. Jacob Lurie ( 2009 ) ha desarrollado un extenso tratado sobre la teoría de las cuasicategorías . 

Las cuasicategorías son ciertos conjuntos simpliciales . Al igual que las categorías ordinarias, contienen objetos (los 0-símplices del conjunto simplicial) y morfismos entre estos objetos (1-símplices). Pero, a diferencia de las categorías, la composición de dos morfismos no tiene por qué estar definida de forma única. Todos los morfismos que pueden servir como composición de dos morfismos dados están relacionados entre sí por morfismos invertibles de orden superior (2-símplices, considerados como "homotopías"). Estos morfismos de orden superior también pueden componerse, pero, de nuevo, la composición solo está bien definida hasta morfismos invertibles de orden aún mayor, y así sucesivamente.

La idea de la teoría de categorías superiores (al menos, la teoría de categorías superiores cuando los morfismos superiores son invertibles) es que, a diferencia de la noción estándar de categoría, debería existir un espacio de mapeo (en lugar de un conjunto de mapeo) entre dos objetos. Esto sugiere que una categoría superior debería ser simplemente una categoría topológicamente enriquecida . Sin embargo, el modelo de cuasicategorías se adapta mejor a las aplicaciones que el de categorías topológicamente enriquecidas, aunque Lurie ha demostrado que ambos poseen estructuras de modelo naturales que son equivalentes en el sentido de Quillen (véase §  Homotopy coherent nerve ).

Por definición, una cuasicategoría C es un conjunto simplicial que satisface las condiciones internas de Kan (también llamadas condición débil de Kan): cada cuerno interno en C , es decir, un mapa de conjuntos simpliciales.${\displaystyle \Lambda ^{k}[n]\to C}$dónde${\displaystyle 0<k<n}$, tiene un relleno, es decir, una extensión de un mapa${\displaystyle \Delta [n]\to C}$(Véase Fibración de Kan#Definiciones para una definición de los conjuntos simpliciales)${\displaystyle \Delta [n]}$y${\displaystyle \Lambda ^{k}[n]}$.)

La idea es que 2-símplices${\displaystyle \Delta [2]\to C}$Se supone que representan triángulos conmutativos (al menos hasta la homotopía). Un mapa${\displaystyle \Lambda ^{1}[2]\to C}$representa un par componible. Por lo tanto, en una cuasicategoría, no se puede definir una ley de composición sobre morfismos, ya que se pueden elegir muchas maneras de componer aplicaciones.

Según Joyal, una consecuencia de la definición es que${\displaystyle C^{\Delta [2]}\to C^{\Lambda ^{1}[2]}}$es una fibración de Kan trivial. ^{[ 1 ]} En otras palabras, aunque la ley de composición no está definida de forma única, es única salvo una elección contraíble. ^{[ 2 ]}

Dada una cuasicategoría C, se le puede asociar una categoría ordinaria hC, denominada categoría de homotopía de C. La categoría de homotopía tiene como objetos los vértices de C. Los morfismos se definen mediante clases de homotopía de aristas entre vértices. La composición se define mediante la condición de relleno de cuerno para n  =  2.

Para un conjunto simplicial general existe un functor${\displaystyle \tau }$de sSet a Cat , el adjunto izquierdo del functor de nervio , y para una cuasicategoría C , tenemos${\displaystyle \tau (C)=hC}$.

• El nervio de una categoría es una cuasicategoría con la propiedad adicional de que el relleno de cualquier cuerno interno es único. Recíprocamente, una cuasicategoría tal que cualquier cuerno interno tiene un relleno único es isomorfa al nervio de alguna categoría. La categoría de homotopía del nervio de C es isomorfa a C.
• Dado un espacio topológico X , se puede definir su conjunto singular S ( X ), también conocido como el grupoide fundamental ∞ de X. S ( X ) es una cuasicategoría en la que todo morfismo es invertible. La categoría de homotopía de S ( X ) es el grupoide fundamental de X.
• Más general que el ejemplo anterior, todo complejo de Kan es un ejemplo de cuasicategoría. En un complejo de Kan, todas las aplicaciones de todos los extremos —no solo los internos— pueden llenarse, lo que implica que todos los morfismos en un complejo de Kan son invertibles. Por lo tanto, los complejos de Kan son análogos a los grupoides: el núcleo de una categoría es un complejo de Kan si y solo si la categoría es un grupoide.
• Los complejos de Kan forman en sí mismos una ∞-categoría denominada Kan o también S. Precisamente, es el nervio homotópico coherente de la categoría de complejos de Kan (véase también §  Nervio homotópico coherente ).
• De manera similar, la ∞-categoría de ∞-categorías (pequeñas) se define como el nervio homotópicamente coherente de la categoría de ∞-categorías. Precisamente, sea K la categoría enriquecida simplicialmente donde un objeto es una ∞-categoría pequeña y el conjunto hom-simplicial de C a D es el núcleo de la ∞-categoría.${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(C,D)}$. ^{[ 3 ]} Entonces, el nervio homotópico coherente de K es la ∞-categoría de ∞-categorías pequeñas.

Un nervio ordinario de una categoría carece de morfismos superiores (por ejemplo, una transformación natural entre functores, que es un 2-morfismo o una homotopía entre caminos). El nervio homotópico coherente${\displaystyle N^{hc}(C)}$de una categoría enriquecida simplicialmente${\displaystyle C}$permite capturar tales morfismos superiores.

Primero definimos${\displaystyle {\mathfrak {C}}[n]}$como una versión "engrosada" de la categoría${\displaystyle [n]=\{0,1,\cdots ,n\}}$(${\displaystyle [n]}$es un conjunto parcialmente ordenado, por lo que puede verse como una categoría). Por definición, ^{[ 4 ]} tiene el mismo conjunto de objetos que${\displaystyle [n]}$pero el conjunto hom-simplicial de${\displaystyle i}$a${\displaystyle j}$es el nervio de${\displaystyle P_{i,j}}$dónde${\displaystyle P_{i,j}}$es el conjunto de todos los subconjuntos de${\displaystyle [i,j]=\{k\mid i\leq k\leq j\}}$que contiene${\displaystyle i,j}$y está parcialmente ordenado por inclusión. Es decir, en${\displaystyle {\mathfrak {C}}[n]}$, un morfismo se ve como${\displaystyle i\to k_{1}\to \cdots \to j}$o ninguno si${\displaystyle i>j}$. (Formalmente,${\displaystyle {\mathfrak {C}}[n]}$es un reemplazo cofibrante de${\displaystyle [n]}$. ^{[ 5 ]} )

Entonces${\displaystyle N^{hc}(C)}$se define como el conjunto simplicial donde cada n- símplex es un functor enriquecido simplicialmente de${\displaystyle {\mathfrak {C}}[n]}$a${\displaystyle C}$. ^{[ 6 ]} Además, si${\displaystyle C}$tiene la propiedad de que${\displaystyle \operatorname {Mapa} (x,y)}$es un complejo de Kan para cada par de objetos${\displaystyle x,y}$, entonces${\displaystyle N^{hc}(C)}$es una ∞-categoría. ^{[ 7 ]}

El functor${\displaystyle {\mathfrak {C}}[-]}$de sSet a sSet-Cat se define entonces como el adjunto izquierdo a${\displaystyle N^{hc}}$Una aplicación importante es:

El teorema implica que un enfoque simplicial de la teoría de las ∞-categorías es equivalente (en el sentido débil anterior) a un enfoque topológico de la misma.

Si X e Y son ∞-categorías, entonces el conjunto simplicial${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(X,Y)}$, el Hom interno en sSet , también es una ∞-categoría (más generalmente, es una ∞-categoría si X es solo un conjunto simplicial y Y es una ∞-categoría). ^{[ 9 ]}

Si${\displaystyle x,y}$son objetos en una ∞-categoría C , entonces${\displaystyle \operatorname {Map} _{C}(x,y)}$es un complejo de Kan pero${\displaystyle (x,y)\mapsto \operatorname {Map} _{C}(x,y)}$a priori no es un functor. Un functor que se restringe a él se puede construir de la siguiente manera.

Sea S un conjunto simplicial y${\displaystyle S'={\mathfrak {C}}[S]}$la categoría enriquecida con sSet generada por ella. Desde${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S'}}$es un functor,${\displaystyle (x,y)\mapsto \operatorname {Sing} |\operatorname {Hom} _{C}(x,y)|}$proporciona un functor

${\displaystyle S'^{op}\times S'\to \mathrm {Kan} \,,}$

donde a la derecha está la 1-categoría de complejos de Kan. Entonces, dado que${\displaystyle {\mathfrak {C}}[-]}$es un adjunto izquierdo de${\displaystyle N^{hc}}$,${\displaystyle {\mathfrak {C}}[S^{op}\times S]\to S'^{op}\times S'\to \mathrm {Kan} }$corresponde a

${\displaystyle S^{op}\times S\to \mathbf {Kan} =N^{hc}({\textrm {Kan}}).}$

Tomando${\displaystyle S}$para ser una ∞-categoría C , lo anterior es el functor hom

${\displaystyle \operatorname {Hom} :C^{op}\times C\to \mathbf {Kan} ,}$

que se restringe a${\displaystyle (x,y)\mapsto \operatorname {Map} _{C}(x,y).}$

Véase también: límites y colímites en una ∞-categoría , núcleo de una ∞-categoría .

Dado un functor${\displaystyle F:C\to D}$Entre ∞-categorías, se dice que F es una equivalencia (en el sentido de Joyal) si es invertible en ∞-Cat, la ∞-categoría de ∞-categorías (pequeñas). ^{[ 10 ]}

Como en la teoría de categorías ordinaria (con la presencia del axioma de elección), F es una equivalencia si y solo si es

• totalmente fiel , lo que significa${\displaystyle F:\operatorname {Mapa} (x,y)\to \operatorname {Mapa} (F(x),F(y))}$es la equivalencia para cada par de objetos${\displaystyle x,y}$, y
• esencialmente sobreyectivo , lo que significa que para cada objeto y en D ,${\displaystyle y\simeq F(x)}$para algún objeto x en C . ^{[ 11 ]}

Al igual que en la teoría de categorías ordinaria, se puede considerar un prehaz en una ∞-categoría C. Desde el punto de vista de la teoría de categorías superiores , dicho prehaz no debería ser con valores de conjunto sino con valores de espacio (por ejemplo, para una formulación correcta del lema de Yoneda ). La hipótesis de homotopía dice que se puede tomar un ∞-grupoide , concretamente un complejo de Kan, como un espacio. Dado esto, tomamos la categoría de "∞-prehaces" en C como${\displaystyle {\widehat {C}}={\underline {\operatorname {Hom} }}(C^{op},{\textbf {Kan}})}$dónde${\displaystyle {\textbf {Kan}}}$es la ∞-categoría de los complejos de Kan . Un prehaz con valores de categoría se denomina comúnmente preapilamiento. Por lo tanto,${\displaystyle {\widehat {C}}}$puede considerarse que consta de ∞-pre-pilas.

(Al elegir una estructura de functor en Hom), se obtiene entonces la incrustación de ∞-Yoneda como en el caso de la categoría ordinaria:

${\displaystyle C\hookrightarrow {\widehat {C}}.}$

Hay al menos dos enfoques equivalentes para las adjunciones. En el libro de Cisinski, una adjunción se define igual que en la teoría de categorías ordinaria. Es decir, dos functores${\displaystyle F:C\to D,\,G:D\to C}$Se dice que son un par adjunto si existe un 2-morfismo.${\displaystyle c:\operatorname {Hom} (F,\operatorname {id)} \to \operatorname {Hom} (\operatorname {id} ,G)}$de tal manera que la restricción a cada par de objetos x en C , y en D ,

${\displaystyle c|_{x,y}:\operatorname {Map} _{D}(F(x),y)\to \operatorname {Map} _{C}(x,G(y))}$

es invertible en${\displaystyle {\textbf {Kan}}}$(recordemos que los espacios de mapeo son complejos de Kan). ^{[ 12 ]}

En su libro Teoría de los Topos Superiores , Lurie define una adjunción como un mapa.${\displaystyle q:M\to \Delta ^{1}}$que son tanto fibraciones cartesianas como cocartesianas. ^{[ 13 ]} Dado que${\displaystyle q}$es una fibración cartesiana, por la construcción de Grothendieck ( enderezamiento para ser precisos), se obtiene un functor

${\displaystyle G:D=q^{-1}(1)\to D=q^{-1}(0).}$

De manera similar, como${\displaystyle q}$También es una fibración cocartesiana, también existe${\displaystyle F:C\to D.}$Entonces forman un par adjunto y, a la inversa, un par adjunto determina una adjunción.

Dejar${\displaystyle \omega }$sea ​​un objeto en una ∞-categoría C. Entonces las siguientes son equivalentes: ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

• El functor constante con valor${\displaystyle \omega }$es un objeto final en la categoría${\displaystyle \tau ({\underline {\operatorname {Hom} }}(X,C))}$para cada conjunto simplicial X .
• El espacio de mapeo${\displaystyle \operatorname {Map} (x,\omega )}$es contraíble para cada objeto x en C.
• La proyección${\displaystyle C\downarrow \omega \to C}$es una fibración de Joyal trivial .
• ${\displaystyle \omega }$como un mapa${\displaystyle \Delta ^{0}\to C}$es una extensión anodina derecha .
• ${\displaystyle \omega }$es el límite de un functor único${\displaystyle \emptyset \to C}$del conjunto vacío.

Entonces${\displaystyle \omega }$Se dice que es final si se cumple alguna de las condiciones equivalentes anteriores. Los objetos finales forman una subcategoría completa, un ∞-grupoide, que es vacío o contraíble. ^{[ 17 ]}

Por ejemplo, una gavilla previa${\displaystyle F:C^{op}\to {\textbf {Kan}}}$es representable si y solo si la ∞-categoría de elementos para${\displaystyle F}$tiene un objeto final (ya que la representabilidad equivale a decir que la ∞-categoría de elementos es equivalente a una categoría coma sobre C ). ^{[ 18 ]}

De forma más general, una aplicación entre conjuntos simpliciales se denomina final si pertenece a la clase más pequeña.${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$de mapas que satisfacen lo siguiente:

• Una extensión anodina derecha pertenece a la clase${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$.
• La clase${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$es estable bajo composición.
• Si${\displaystyle f}$y${\displaystyle g\circ f}$están en${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$, entonces${\displaystyle g}$está en${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$. ^{[ 19 ]}

Entonces un objeto${\displaystyle \omega }$es definitivo si y solo si el mapa${\displaystyle \omega$ :\Delta ^{0}\to C} es un mapa final. ^{[ 20 ]} También, un mapa${\displaystyle f:X\to Y}$se llama cofinal si${\displaystyle f:X^{op}\to Y^{op}}$es definitivo. ^{[ 21 ]}

Las categorías de prefaisceano (mencionadas anteriormente) poseen propiedades interesantes, y sus localizaciones también heredan dichas propiedades en cierta medida. Una ∞-categoría se denomina presentable si es una localización de una categoría de prefaisceano sobre una ∞-categoría en el sentido de Bousfield (esta noción depende en gran medida de la elección de un universo, que aquí se omite. Sin embargo, una forma de abordar este problema es llevar un registro manual de los cardinales. Otra es utilizar la noción de ∞-categoría accesible , como hizo Lurie).

Cisinski señala que “cualquier estructura algebraica [razonable] define una ∞-categoría presentable”, después de tomar un nervio. ^{[ 22 ]} Así, por ejemplo, “la categoría de grupos, la categoría de grupos abelianos, la categoría de anillos” son todas (sus nervios son) ∞-categorías presentables. Además, el nervio de una categoría de conjuntos pequeños es presentable. ^{[ 23 ]}

La noción tiene una implicación en la teoría de las categorías modelo . Aproximadamente debido a la observación anterior, todas las categorías modelo típicas que se utilizan en la práctica tienen nervios que se pueden presentar; dicha categoría modelo se llama combinatoria . ^{[ 24 ]} Precisamente, tenemos: (Dugger) si C es una categoría modelo combinatoria, entonces la localización${\displaystyle L(C)}$con respecto a las equivalencias débiles es una ∞-categoría presentable ^{[ 25 ]} y, a la inversa, cada ∞-categoría presentable es de tal forma, salvo equivalencia. ^{[ 26 ]}

• Una (∞,  1)-categoría es una ∞-categoría que no necesariamente es una cuasicategoría, en la que todos los n- morfismos para n  >  1 son equivalencias. Existen varios modelos de (∞,  1)-categorías, entre ellos la categoría de Segal , la categoría simplicialmente enriquecida , la categoría topológica y el espacio de Segal completo . Una cuasicategoría también es una (∞,  1)-categoría.
• Estructura del modelo Existe una estructura de modelo en sSet-categories que presenta la (∞,1)-categoría (∞,1)Cat.
• Extensión de Kan por homotopía. La noción de extensión de Kan por homotopía, y por ende en particular la de límite de homotopía y colímite de homotopía, tiene una formulación directa en términos de categorías enriquecidas con complejos de Kan. Véase extensión de Kan por homotopía para más información.
• Presentación de la teoría de (∞,1)-topos Toda la teoría de (∞,1)-topos puede modelarse en términos de sSet-categorías. (ToënVezzosi). Existe una noción de sSet-sitio C que modela la noción de (∞,1)-sitio y una estructura de modelo en prehaces enriquecidos con sSet en sSet-sitios que es una presentación para los (∞,1)-topos de pila ∞ en C.

• Categoría de modelo
• Categoría de infinito estable
• ∞-groupoid
• Higher category theory
• Globular set
• Mackey functor
• (∞, n)-category
• Homotopy coherent nerve
• Localization of an ∞-category

• Boardman, J. M.; Vogt, R. M. (1973), Homotopy Invariant Algebraic Structures on Topological Spaces, Lecture Notes in Mathematics, vol. 347, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0068547, ISBN 978-3-540-06479-4, MR 0420609
• Bergner, Julia E. (2010). "A Survey of (∞, 1)-Categories". Towards Higher Categories. The IMA Volumes in Mathematics and its Applications. Vol. 152. pp. 69–83. arXiv:math/0610239. doi:10.1007/978-1-4419-1524-5_2. ISBN 978-1-4419-1523-8.
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• Joyal, A., Notas sobre cuasicategorías (PDF)
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• Haugseng, Rune (2025). "Otra introducción más a las ∞-categorías" (PDF) .

• https://math.stackexchange.com/questions/4471234/why-use-infty-categories-over-model-categories
• https://ncatlab.org/nlab/show/locally+presentable+(infinity%2C1)-category
• cuasicategoría en el Laboratorio n
• categoría infinito en el laboratorio n
• categoría fundamental en el laboratorio n
• Entrada de Joyal en Catlab: La teoría de las cuasicategorías
•  Categoría (∞, 1) en el Laboratorio n