Categoría ∞ estable

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas, una ∞-categoría estable es una ∞-categoría tal que ^{[ 1 ]}

• (i) Tiene un objeto cero .
• (ii) Todo morfismo en él admite una fibra y una cofibra.
• (iii) Un triángulo en ella es una secuencia de fibras si y solo si es una secuencia de cofibras .

La categoría de homotopía de una ∞-categoría estable está triangulada . ^{[ 2 ]} Una ∞-categoría estable admite límites y colímites finitos . ^{[ 3 ]}

Ejemplos: la categoría derivada de una categoría abeliana y la ∞-categoría de espectros son ambas estables.

Una estabilización de una ∞-categoría C con límites finitos y punto base es un functor de la ∞-categoría estable S a C. Preserva los límites. Los objetos en la imagen tienen la estructura de espacios de lazos infinitos; por lo tanto, la noción es una generalización de la noción correspondiente ( estabilización (topología) ) en la topología algebraica clásica .

Por definición, la t-estructura de una ∞-categoría estable es la t-estructura de su categoría de homotopía. Sea C una ∞-categoría estable con una t-estructura. Entonces, todo objeto filtrado${\displaystyle X(i),i\in \mathbb {Z} }$en C da lugar a una secuencia espectral${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$, que, bajo ciertas condiciones, converge a${\displaystyle \pi _{p+q}\operatorname {colim} X(i).}$^{[ 4 ]} Mediante lacorrespondencia de Dold-Kan, esto generaliza la construcción de lasecuencia espectralasociada a uncomplejo de cadenadegrupos abelianos.

• Lurie, J. "Álgebra superior" (PDF) .Última actualización: agosto de 2017