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Articulo de referencia

icosaedro regular

[[Gyroelongated bipyramid]], [[Platonic solid]], [[Regular polyhedron]]"},"faces":{"wt":"20"},"edges":{"wt":"30"},"vertices":{"wt":"12"},"angle":{"wt":"138.190 (approximately)"}...

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El icosaedro regular (o simplemente icosaedro) es un poliedro convexo que se puede construir a partir de un antiprisma pentagonal uniendo dos pirámides pentagonales con caras regulares a cada una de sus caras pentagonales, o colocando puntos sobre el cubo. El poliedro resultante tiene 20 triángulos equiláteros como caras, 30 aristas y 12 vértices. Es un ejemplo de sólido platónico y de deltaedro . El grafo icosaédrico representa el esqueleto de un icosaedro regular.

Muchos poliedros y otras figuras relacionadas se construyen a partir del icosaedro regular, incluyendo sus 59 estelaciones . El gran dodecaedro , uno de los poliedros de Kepler-Poinsot , se construye mediante la estelación del dodecaedro regular o el facetado del icosaedro. Algunos de los sólidos de Johnson se pueden construir eliminando las pirámides pentagonales. El poliedro dual del icosaedro regular es el dodecaedro regular , y su relación tiene un trasfondo histórico en la medición comparativa. Es análogo a un politopo de cuatro dimensiones , el 600-celda .

Los icosaedros regulares se encuentran tanto en objetos naturales como artificiales. Un ejemplo natural notable es el adenovirus , mientras que entre las aplicaciones humanas se incluyen la cartografía (donde se emplea su forma de red) y los dados de veinte caras que pudieron haberse utilizado en la antigüedad, pero que ahora son comunes en los juegos de rol de mesa modernos .

Construcción

El icosaedro regular es un poliedro de veinte caras cuyas caras son triángulos equiláteros . Es uno de los ocho deltaedros convexos , un poliedro cuyas caras son todos triángulos equiláteros. [ 1 ] De diversas maneras, se puede construir como sigue:

  • Se comenzó uniendo dos pirámides pentagonales con caras regulares a la base de un antiprisma pentagonal . Estos componentes son elementales ; no se pueden desintegrar en poliedros convexos más pequeños con caras regulares. Al reemplazar las bases de un antiprisma pentagonal con diez pirámides triangulares, [ 2 ] el icosaedro regular se clasifica como un poliedro compuesto, lo opuesto a un poliedro elemental. [ 3 ] Esta construcción dio lugar a los nombres alternativos de antiprisma pentagonal bicapado , [ 4 ] o bipirámide pentagonal giroelongada debido a su proceso de construcción mediante giroelongación : construcción de poliedros uniendo dos pirámides a la base de un antiprisma . [ 5 ]
Tres rectángulos áureos mutuamente perpendiculares , con aristas que conectan sus vértices, forman un icosaedro regular.
  • Los doce vértices de un icosaedro regular describen los tres planos rectangulares áureos mutuamente perpendiculares , cuyos vértices están conectados. Estos planos rectangulares se pueden construir a partir de un par de vértices situados en los puntos medios de las aristas opuestas de la superficie de un cubo , trazando un segmento entre ellos y dividiendo dicho segmento en proporción áurea.φ=(1+5)/2{\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}desde su punto medio. [ 6 ] Ambos vértices de un icosaedro regular tienen una longitud de arista de 2 y los tres planos se pueden ilustrar mediante un sistema de coordenadas cartesianas : [ 7 ](0,±1,±φ),(±1,±φ,0),(±φ,0,±1).{\displaystyle \left(0,\pm 1,\pm \varphi \right),\left(\pm 1,\pm \varphi ,0\right),\left(\pm \varphi ,0,\pm 1\right).}
  • Se puede truncar un octaedro regular separando todas sus caras y rellenándolas con más triángulos equiláteros. Como sugiere el proceso, el icosaedro regular también se conoce como octaedro truncado . [ 8 ]

El icosaedro regular se puede desplegar en 43.380 redes diferentes . [ 9 ] La red más antigua apareció en el Manual del pintor de Albrecht Dürer en 1525. [ 10 ]

Propiedades

Superficie y volumen

Modelo 3D de un icosaedro regular

El área superficial de un poliedro es la suma de las áreas de sus caras. En el caso de un icosaedro regular, su área superficial es la suma de las áreas de sus caras.A{\displaystyle A}es veinte veces mayor que cada una de sus caras triangulares equiláteras. Su volumenV{\displaystyle V}se puede obtener como veinte veces el de una pirámide cuya base es una de sus caras y cuyo vértice es el centro del icosaedro regular; o como la suma del volumen de dos pirámides pentagonales uniformes y un antiprisma pentagonal . Dado que la longitud de la aristaa{\displaystyle a}de un icosaedro regular, ambas expresiones son: [ 11 ]A=53a2≈8.660a2,V=5φ26a3≈2.182a3.{\displaystyle A=5{\sqrt {3}}a^{2}\approx 8.660a^{2},\qquad V={\frac {5\varphi ^{2}}{6}}a^{3}\approx 2.182a^{3}.}

Relación con las esferas

La esfera interna de un poliedro convexo es una esfera que toca cada cara del poliedro en su interior. La esfera circunscrita de un poliedro convexo es una esfera que contiene el poliedro y toca cada vértice. La esfera media de un poliedro convexo es una esfera tangente a cada arista. Dado que la longitud de la aristaa{\displaystyle a}de un icosaedro regular, el radio de la esfera (inradius)rI{\displaystyle r_{I}}, el radio de la esfera circunscrita (circunradio)rdo{\displaystyle r_{C}}y el radio de la esfera media (radio medio)rMETRO{\displaystyle r_{M}}son, respectivamente: [ 12 ]rI=φ2a23≈0,756a,rdo=φ2+12a≈0,951a,rMETRO=φ2a≈0,809a.{\displaystyle r_{I}={\frac {\varphi ^{2}a}{2{\sqrt {3}}}}\approx 0.756a,\qquad r_{C}={\frac {\sqrt {\varphi ^{2}+1}}{2}}a\approx 0.951a,\qquad r_{M}={\frac {\varphi }{2}}a\approx 0.809a.}

Un problema que se remonta a los antiguos griegos es determinar cuál de dos figuras tiene mayor volumen: un icosaedro regular inscrito en una esfera, o un dodecaedro regular inscrito en la misma esfera. El problema fue resuelto por Herón , Papo y Fibonacci , entre otros. [ 13 ] Apolonio de Perga descubrió el curioso resultado de que la razón de los volúmenes de estas dos figuras es la misma que la razón de sus áreas superficiales. [ 14 ] Ambos volúmenes tienen fórmulas que involucran la proporción áurea , pero elevadas a diferentes potencias. [ 15 ] Resulta que el icosaedro regular ocupa menos volumen de la esfera (60,54 %) que el dodecaedro regular (66,49 %). [ a ]

Otras medidas

El ángulo diedro de un icosaedro regular es2arcoseno⁡(φ/3)≈138.19∘{\displaystyle 2\arcsin(\varphi /{\sqrt {3}})\approx 138.19^{\circ }}, obtenido sumando el ángulo de pirámides pentagonales con caras regulares y un antiprisma pentagonal. El ángulo diedro de un antiprisma pentagonal y una pirámide pentagonal entre dos caras triangulares adyacentes es aproximadamente 38,2°. El ángulo diedro de un antiprisma pentagonal entre pentágono y triángulo es 100,8°, y el ángulo diedro de una pirámide pentagonal entre las mismas caras es 37,4°. Por lo tanto, para el icosaedro regular, el ángulo diedro entre dos triángulos adyacentes, en la arista donde se unen la pirámide pentagonal y el antiprisma pentagonal, es 37,4° + 100,8° = 138,2°. [ 16 ]

El icosaedro regular tiene tres tipos de geodésicas cerradas . Estas son trayectorias en su superficie que son localmente rectas: evitan los vértices del poliedro, siguen segmentos de línea a través de las caras que cruzan y forman ángulos complementarios en las dos caras incidentes de cada arista que cruzan. La primera geodésica forma un decágono regular perpendicular a la diagonal más larga y tiene una longitud5{\displaystyle 5}Las otras dos geodésicas no son planas , con longitudes33≈5.196{\displaystyle 3{\sqrt {3}}\approx 5.196}y27≈5.292{\displaystyle 2{\sqrt {7}}\approx 5.292}. [ 17 ]

Simetría

Ilustración de una simetría icosaédrica. Las simetrías quíntuples, triples y dobles están etiquetadas en azul, rojo y magenta, respectivamente. Los planos de simetría son los círculos máximos de color cian .

El icosaedro regular tiene treinta y un ejes de simetría rotacional (es decir, rotación alrededor de un eje que resulta en una apariencia idéntica). Hay seis ejes que pasan por dos vértices opuestos, diez ejes que rotan una cara triangular y quince ejes que pasan por cualquiera de sus aristas. Respectivamente, estos ejes son simetría rotacional quíntuple (0°, 72°, 144°, 216° y 288°), simetría rotacional triple (0°, 120° y 240°) y simetría rotacional doble (0° y 180°). [ 18 ] El icosaedro regular también tiene quince planos de simetría que pueden representarse como círculos máximos en una esfera. Divide la superficie de una esfera en 120 triángulos dominios fundamentales ; estos triángulos se llaman triángulos de Möbius . Tanto las simetrías de reflexión como las de rotación son las isometrías —transformaciones necesarias para mantener la apariencia— que forman la simetría icosaédrica completa .Ih{\displaystyle \mathrm {I} _ {\mathrm {h} }}de orden 120. [ 19 ] Este grupo de simetría es isomorfo al producto del grupo de simetría rotacional y el grupo cíclico de tamaño dos, generado por la reflexión a través del centro del icosaedro regular. [ 20 ]

El grupo de simetría rotacional del icosaedro regular es isomorfo al grupo alternante de cinco letras. Este grupo simple no abeliano es el único subgrupo normal no trivial del grupo simétrico de cinco letras. [ 21 ] Dado que el grupo de Galois de la ecuación quíntica general es isomorfo al grupo simétrico de cinco letras, y este subgrupo normal es simple y no abeliano, la ecuación quíntica general no tiene solución en radicales. La demostración del teorema de Abel-Ruffini utiliza este hecho simple, [ 22 ] y Felix Klein escribió un libro que empleó la teoría de simetrías icosaédricas para derivar una solución analítica a la ecuación quíntica general. [ 23 ]

El icosaedro regular es isogonal , isoédrico e isotoxal : cualesquiera dos vértices, dos caras y dos aristas de un icosaedro regular pueden transformarse mediante rotaciones y reflexiones bajo su órbita de simetría, lo que preserva su apariencia. Cada poliedro regular tiene una envoltura convexa en los puntos medios de sus aristas; el icosidodecaedro es la envoltura convexa de un icosaedro regular. [ 24 ] Cada vértice está rodeado por cinco triángulos equiláteros, por lo que el icosaedro regular denota3.3.3.3.3{\displaystyle 3.3.3.3.3}en configuración de vértice o{3,5}{\displaystyle \{3,5\}}en el símbolo de Schläfli . [ 25 ]

Apariciones

Juguetes

Un dado de veinte caras del Egipto ptolemaico, con inscripciones en letras griegas en sus caras.
El dado de veinte caras de Scattergories , excluyendo las seis letras Q, U, V, X, Y y Z.

Los dados se encuentran entre los objetos más comunes que utilizan diferentes poliedros, uno de los cuales es el icosaedro regular. El dado de veinte caras se encontró en la antigüedad. Un ejemplo es el dado del Egipto ptolemaico , que posteriormente se utilizó con letras griegas inscritas en sus caras durante el período de Grecia y Roma. [ 26 ] Otro ejemplo se encontró en el tesoro de Tipu Sultan , que estaba hecho de oro y tenía números escritos en cada cara. [ 27 ]

En varios juegos de rol , como Dungeons & Dragons , el dado de veinte caras (etiquetado como d20 ) se usa comúnmente para determinar el éxito o el fracaso de una acción. Puede estar numerado del "0" al "9" dos veces, en cuyo caso suele funcionar como un dado de diez caras ( d10 ); la mayoría de las versiones modernas están etiquetadas del "1" al "20". [ 28 ] Scattergories es otro juego de mesa en el que el jugador nombra las categorías en una tarjeta dentro de un tiempo determinado. La nomenclatura de dichas categorías se realiza inicialmente con las letras contenidas en cada dado de veinte caras. [ 29 ]

Formas naturales y ciencias

El radiolario Circogonia icosahedra
Mapa Dymaxion , creado mediante la red de un icosaedro regular.

En virología , los virus del herpes tienen cápsides icosaédricas , especialmente conocidas en los adenovirus . [ 30 ] La cápside proteica externa del VIH está encerrada en un icosaedro regular, al igual que la cabeza de un miovirus típico . [ 31 ] Varias especies de radiolarios descubiertas por Ernst Haeckel describieron sus cápsides como poliedros regulares de forma similar; una de ellas es Circogonia icosahedra , cuyo esqueleto tiene forma de icosaedro regular. [ 32 ]

En química, los closo - carboranos son compuestos con una forma que se asemeja al icosaedro regular. [ 33 ] El maclado cristalino con formas icosaédricas también ocurre en cristales, especialmente en nanopartículas . [ 34 ] Muchos boruros y alótropos de boro, como los romboédricos α y β, contienen el icosaedro de boro B 12 como unidad estructural básica. [ 35 ]

En cartografía, R. Buckminster Fuller utilizó el desarrollo plano de un icosaedro regular para crear un mapa conocido como mapa Dymaxion , subdividiendo dicho desarrollo en triángulos, calculando la cuadrícula sobre la superficie terrestre y transfiriendo los resultados de la esfera al poliedro. Esta proyección se creó cuando Fuller se percató de que Groenlandia es más pequeña que Sudamérica . [ 36 ]

En el problema de Thomson , en lo que respecta a la configuración de energía mínima denorte{\displaystyle n}partículas cargadas en una esfera, y para el problema de Tammes de construir un código esférico que maximice la distancia más pequeña entre los puntos, la solución mínima conocida paranorte=12{\displaystyle n=12}coloca los puntos en los vértices de un icosaedro regular, inscrito en una esfera . Se ha demostrado que esta configuración es óptima para el problema de Tammes y también para el problema de Thomas. [ 37 ]

En la tensegridad, el icosaedro regular se compone de seis puntales y veinticuatro cables que conectan doce nodos. Dentro de la combinación, lograda mediante la morfogénesis celular , se presenta un estado de autotensión. [ 38 ]

Textos antiguos

Boceto de un icosaedro regular realizado por Johannes Kepler.
El modelo de sólido platónico de Kepler del Sistema Solar

El icosaedro regular es uno de los cinco sólidos platónicos . Los poliedros regulares se conocen desde la antigüedad, pero reciben su nombre de Platón , quien, en su diálogo Timeo , los identificó con los cinco elementos , cuyas unidades elementales se atribuyeron a estas formas: fuego (tetraedro), aire (octaedro), agua (icosaedro), tierra (cubo) y la forma del universo en su conjunto (dodecaedro). Los Elementos de Euclides definieron los sólidos platónicos y resolvieron el problema de hallar la razón entre el diámetro de la esfera circunscrita y la longitud de su arista. [ 39 ]

Tras su identificación con los elementos por Platón, Johannes Kepler, en su Harmonices Mundi, esbozó cada uno de ellos, en particular, el icosaedro regular. [ 40 ] En su Mysterium Cosmographicum , también propuso un modelo del Sistema Solar basado en la disposición de los sólidos platónicos en una secuencia concéntrica de radio creciente de las esferas inscritas y circunscritas, cuyos radios indicaban la distancia de los seis planetas conocidos al centro común. El orden de los sólidos, desde el más interno al más externo, consistía en: octaedro regular , icosaedro regular, dodecaedro regular , tetraedro regular y cubo . [ 41 ]

Ilustraciones de Leonardo da Vinci tanto del icosaedro regular como del dodecaedro regular, entre otros poliedros, se incluyen en Divina proporcionale de Luca Pacioli . [ 42 ]

Representación

Como un gráfico

Grafo icosaédrico

Todo grafo platónico , incluido el grafo icosaédrico , es un grafo poliédrico : se puede dibujar en el plano sin cruzar sus aristas , y la eliminación de dos cualesquiera de sus vértices deja un subgrafo conexo . Según el teorema de Steinitz , el grafo icosaédrico dotado de estas propiedades representa el esqueleto de un icosaedro regular. [ 43 ]

El grafo icosaédrico tiene doce vértices, el mismo número de vértices que un icosaedro regular. Estos vértices están conectados por cinco aristas desde cada vértice, lo que hace que el grafo icosaédrico sea 5-regular . [ 44 ] El grafo icosaédrico es hamiltoniano , porque tiene un ciclo que puede visitar cada vértice exactamente una vez. [ 45 ] Cualquier subconjunto de cuatro vértices tiene tres aristas conectadas, siendo una de ellas la central de las tres, y el grafo icosaédrico no tiene subgrafos inducidos , un grafo libre de garras . [ 46 ]

El grafo icosaédrico es un grafo elegante , lo que significa que cada vértice puede etiquetarse con un número entero entre 0 y 30 inclusive, de tal manera que la diferencia absoluta entre las etiquetas de los dos vértices de una arista es diferente para cada arista. [ 47 ]

Como matriz de configuración

El icosaedro regular se puede representar como una matriz de configuración , una matriz en la que las filas y columnas corresponden a los elementos de un poliedro como vértices, aristas y caras. La diagonal de una matriz indica la cantidad de cada elemento que aparece en un poliedro, mientras que la parte no diagonal indica la cantidad de elementos de la columna que aparecen en o en el elemento de la fila. La siguiente matriz es: [ 48 ][125523023320].{\displaystyle {\begin{bmatrix}12&5&5\\2&30&2\\3&3&20\end{bmatrix}}.}

Inscrito en otros sólidos platónicos

El icosaedro regular es el poliedro dual del dodecaedro regular . Un icosaedro regular puede inscribirse en un dodecaedro regular colocando sus vértices en los centros de las caras del dodecaedro regular, y viceversa. El dodecaedro regular posee simetría icosaédrica. [ 49 ]

Además de la construcción anterior, el icosaedro regular puede inscribirse en un octaedro regular colocando sus doce vértices sobre las doce aristas del octaedro de manera que dividan cada arista en la sección áurea . Debido a que los segmentos resultantes son desiguales, existen cinco maneras diferentes de hacerlo de forma consistente, por lo que se pueden inscribir cinco icosaedros disjuntos en cada octaedro. [ 50 ] Otra relación entre ambos es que forman parte de la transformación progresiva de los puntales rígidos y los vértices flexibles del cuboctaedro , conocida como transformación jitterbug . [ 51 ]

Un icosaedro regular de longitud de arista1/φ≈0,618{\displaystyle 1/\varphi \approx 0.618}Se puede inscribir un icosaedro en un cubo de longitud de arista unitaria colocando seis de sus aristas —tres pares opuestos ortogonales— sobre las caras cuadradas del cubo, centradas en los centros de las caras y paralelas o perpendiculares a las aristas del cuadrado. [ 52 ] Dado que hay cinco veces más aristas de icosaedro que caras de cubo, existen cinco maneras de hacerlo de forma consistente, por lo que se pueden inscribir cinco icosaedros disjuntos en cada cubo. Las longitudes de las aristas del cubo y del icosaedro inscrito están en proporción áurea. [ 53 ]

Estelas

El icosaedro regular posee un gran número de estelaciones , construidas mediante la extensión de las caras de dicho icosaedro. Coxeter et al. (1938) , en su obra « Los cincuenta y nueve icosaedros» , identificaron cincuenta y nueve estelaciones para el icosaedro regular. El icosaedro regular en sí mismo es la estelación cero de un icosaedro, y la primera estelación tiene cada cara original aumentada por una pirámide baja. La estelación final incluye todas las celdas del diagrama de estelación del icosaedro, lo que significa que cada tres planos de caras que se intersecan en el núcleo icosaédrico se intersecan en un vértice de este poliedro o en su interior. [ 54 ]

Seis estelaciones del icosaedro regular según Coxeter et al. (1938) : icosaedro regular (cero), primera estelación , compuesto regular de cinco octaedros , dodecaedro excavado , gran icosaedro y estelación final . Consulte la lista para obtener más información.

Facetado

El gran dodecaedro se puede construir a partir del icosaedro regular de otras maneras. Además de la estelación, el gran dodecaedro se puede construir facetando el icosaedro regular, es decir, eliminando las caras triangulares del icosaedro regular sin eliminar los vértices ni crear uno nuevo; luego formando doce pentágonos regulares sobre conjuntos de cinco vértices dentro de un icosaedro regular. Estas nuevas caras se intersecan entre sí, formando un pentagrama como figura de vértice . [ 55 ]

Otras construcciones de poliedros

De arriba a la izquierda a abajo a la derecha: dodecaedro grande , icosaedro truncado , pirámide pentagonal giroelongada e icosaedro con aristas contraídas.

El icosaedro triakis es un sólido catalán construido al unir la base de pirámides triangulares a cada cara de un icosaedro regular, el kleetope de un icosaedro. [ 56 ] El icosaedro truncado es un sólido arquimediano construido al truncar los vértices de un icosaedro regular; el poliedro resultante puede considerarse como un balón de fútbol debido a que tiene un patrón de numerosas caras hexagonales y pentagonales, [ 57 ] o una forma estructural del carbono conocida como buckminsterfullereno que tiene 60 átomos de carbono unidos entre sí. [ 58 ]

Un sólido de Johnson es un poliedro cuyas caras son todas regulares, pero que no es uniforme . En otras palabras, no incluye los sólidos de Arquímedes , los sólidos de Catalán , los prismas ni los antiprismas . Algunos sólidos de Johnson se pueden obtener eliminando parte de un icosaedro regular, un proceso conocido como disminución . Estos son la pirámide pentagonal giroelongada , el icosaedro metabidimensionado y el icosaedro tridimensionado , que eliminan una, dos y tres pirámides pentagonales del icosaedro, respectivamente. [ 59 ]

El icosaedro con aristas contraídas tiene una superficie como la de un icosaedro regular, pero con algunas caras que se encuentran en el mismo plano . [ 60 ]

icosaedro esférico

Icosaedro esférico y un juguete llamado Impossiball

El icosaedro esférico representa un icosaedro regular proyectado sobre una esfera, una parte de un poliedro esférico . Puede modelarse mediante el arco de círculos máximos , creando límites como las aristas de un triángulo esférico . [ 61 ] Identificado por R. Buckminster Fuller , hay 31 círculos máximos en un icosaedro esférico . [ 62 ] Su dual es el dodecaedro esférico . [ 61 ] La apariencia de esta forma puede encontrarse en Impossiball , un juguete similar al cubo de Rubik . [ 63 ]

Misceláneas

El icosaedro regular y su variante no convexa, que difiere del icosaedro de Jessen por tener posiciones de vértice diferentes y diedros que no forman ángulos rectos.

Otra forma relacionada puede derivarse manteniendo los vértices de un icosaedro regular en sus posiciones originales y reemplazando ciertos pares de triángulos equiláteros con pares de triángulos isósceles. El poliedro resultante tiene la versión no convexa del icosaedro regular. Sin embargo, ocasionalmente se le conoce erróneamente como icosaedro de Jessen debido a su apariencia visual similar, a tener la misma estructura combinatoria y simetría que el icosaedro de Jessen; [ b ] la diferencia es que el no convexo no forma una estructura de tensegridad y no tiene diedros de ángulo recto. [ 64 ]

El icosaedro regular es análogo al politopo regular de 4 dimensiones de 600 celdas . [ 65 ] Este politopo tiene seiscientos tetraedros regulares como celdas . [ 66 ] El icosaedro regular es una celda del panal de abejas en un espacio hiperbólico tridimensional . [ 67 ]

Véase también

Referencias

Notas a pie de página

  1. ↑ Los valores numéricos para los volúmenes de los sólidos platónicos inscritos se pueden encontrar en Buker & Eggleton 1969 .
  2. ↑ Las descripciones incorrectas del icosaedro de Jessen como si tuviera las mismas posiciones de vértice que un icosaedro regular incluyen: Wells 1991 , pág. 161; Icosaedro ortogonal de Jessen en MathWorld (versión antigua, posteriormente corregida).

Notas

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Bibliografías

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