Zometool

Zometool es un juguete de construcción creado gracias a la colaboración de Steve Baer (creador de la arquitectura Zome) , el artista Clark Richert , Paul Hildebrandt (actual director ejecutivo de Zometool) y el coinventor Marc Pelletier. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Es fabricado por Zometool, Inc. Según la empresa, Zometool fue diseñado principalmente para niños. Zometool también se ha utilizado en otros campos, como las matemáticas y la física. Por ejemplo, se pueden modelar teselaciones aperiódicas , como las de Penrose, utilizando Zometool. Esta herramienta de aprendizaje fue diseñada por el inventor y diseñador Steve Baer, ​​su esposa Holly y otros.

El juguete de construcción de plástico Zometool es producido por una empresa privada del mismo nombre, con sede en las afueras de Longmont, Colorado , y que surgió de la empresa ZomeWorks de Baer. Sus elementos consisten en pequeños nodos conectores y puntales de varios colores. La forma general de un nodo conector es la de un pequeño rombicosidodecaedro no uniforme , con cada cara reemplazada por un pequeño orificio. Los extremos de los puntales están diseñados para encajar en los orificios de los nodos conectores, lo que permite sintetizar una variedad de estructuras. La idea de codificar la forma de los tres tipos de puntales fue desarrollada por Marc Pelletier y Paul Hildebrandt. Para crear las "bolas" o nodos, Pelletier e Hildebrandt inventaron un sistema de 62 pasadores hidráulicos que se unían para formar un molde. El primer nodo conector surgió de su molde el 1 de abril de 1992. ^{[ 3 ]}

Desde 1992, Zometool ha ampliado su línea de productos, aunque el diseño básico del conector no ha cambiado, por lo que todas las piezas son compatibles entre sí. Desde 1992 hasta 2000, Zometool fabricó kits con conectores y puntales azules, amarillos y rojos. En 2000, Zometool introdujo puntales verdes, inspirados por el arquitecto francés Fabien Vienne , que permiten construir tetraedros y octaedros regulares. En 2003, Zometool modificó ligeramente el estilo de los puntales. Los puntales con sistema de clic tienen una textura superficial diferente y puntas más largas que permiten una conexión más robusta entre el conector y el puntal.

El color de un puntal de Zometool está asociado con su sección transversal y también con la forma del orificio del nodo conector en el que encaja. Cada puntal azul tiene una sección transversal rectangular, cada puntal amarillo tiene una sección transversal triangular y cada puntal rojo tiene una sección transversal pentagonal . La sección transversal de un puntal verde es un rombo con una relación de aspecto de √2, pero como los nodos conectores no incluyen orificios en las posiciones requeridas, los puntales verdes encajan en cualquiera de los 12 orificios pentagonales con 5 posibles orientaciones por orificio, 60 posibles orientaciones en total; usarlos no es tan sencillo como los demás puntales.

En sus puntos medios, cada uno de los puntales amarillos y rojos presenta una torsión donde la forma de la sección transversal se invierte. Esta característica de diseño obliga a que los nodos de conexión en los extremos del puntal tengan la misma orientación. De manera similar, la sección transversal del puntal azul es un rectángulo no cuadrado, lo que también garantiza que los dos nodos en los extremos tengan la misma orientación. En lugar de una torsión, los puntales verdes tienen dos curvaturas que les permiten encajar en los orificios pentagonales del nodo de conexión, los cuales se encuentran ligeramente desplazados del eje del puntal.

Entre otros lugares, la palabra zome proviene del término zona. El sistema zome permite un máximo de 61 zonas. Las formas de la sección transversal corresponden a colores, y estos a su vez corresponden a colores de zona. Por lo tanto, el sistema zome tiene 15 zonas azules, 10 zonas amarillas, 6 zonas rojas y 30 zonas verdes. Dos formas están asociadas con el azul. Los puntales azules con una sección transversal rectangular están diseñados para ubicarse en las mismas zonas que los puntales azules, pero tienen la mitad de la longitud de un puntal azul; por lo tanto, estos puntales a menudo se denominan "medio azules" (y originalmente se fabricaban en un color azul claro). Los puntales azul verdosos con una sección transversal rómbica se ubican en las mismas zonas que los puntales verdes, pero están diseñados de manera que la relación entre un puntal azul verdoso rómbico y un puntal azul sea 1:1 (en contraposición a la relación √2:1 del puntal verde). Debido a esta relación de longitud, los puntales azul verdosos que tienen una sección transversal rómbica no pertenecen matemáticamente al sistema zome.

Las longitudes de los puntales siguen un patrón matemático: para cualquier color, existen longitudes tales que aumentan en un factor constante de aproximadamente 1,618, un número que es el resultado de lo que se llama la " proporción áurea " que está representada por la letra griega phi (${\displaystyle \varphi }$o${\displaystyle \phi }$). ^{[ 4 ]} La proporción áurea es una proporción tal que la suma de dos cantidades es igual a la proporción de las mismas cantidades, basada en el mayor valor de los dos números.

De este modo,

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi }$

Una aplicación de la proporción áurea para el sistema zome es que para cada color,

Existe una longitud tal que la longitud de un puntal largo es igual a la longitud de un puntal mediano conectado a un puntal corto.

En otras palabras, la longitud del puntal largo es igual a la suma de la longitud del puntal medio y la longitud del puntal corto.

Un zome se define en términos del espacio vectorial.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, equipado con el producto interno estándar, también conocido como espacio euclidiano tridimensional.

Dejar${\displaystyle \varphi }$denotemos la proporción áurea y sea${\displaystyle H_{3}}$denota el grupo de simetría de la configuración de vectores${\displaystyle (0,\pm \varphi,\pm 1)}$,${\displaystyle (\pm \varphi,\pm 1,0)}$, y${\displaystyle (\pm 1,0,\pm \varphi )}$El grupo${\displaystyle H_{3}}$, un ejemplo de un grupo de Coxeter , se conoce como el grupo icosaédrico porque es el grupo de simetría de un icosaedro regular que tiene estos vectores como sus vértices. El subgrupo de${\displaystyle H_{3}}$que consta de los elementos con determinante 1 (es decir, las rotaciones) es isomorfo a${\displaystyle A_{5}}$.

Defina los "vectores azules estándar" como el${\displaystyle A_{5}}$-órbita del vector${\displaystyle (2,0,0)}$. Defina los "vectores amarillos estándar" como el${\displaystyle A_{5}}$-órbita del vector${\displaystyle (1,1,1)}$. Defina los "vectores rojos estándar" como el${\displaystyle A_{5}}$-órbita del vector${\displaystyle (0,\varphi ,1)}$Un "pilar" del sistema zome es cualquier vector que se puede obtener a partir de los vectores estándar descritos anteriormente mediante escalamiento por cualquier potencia.${\displaystyle \varphi ^{n}}$, dónde${\displaystyle n}$es un número entero. Un "nodo" del sistema zome es cualquier elemento del subgrupo de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$generado por los puntales. Finalmente, el "sistema de zome" es el conjunto de todos los pares.${\displaystyle (N,S)}$, dónde${\displaystyle N}$es un conjunto de nodos y${\displaystyle S}$es un conjunto de pares${\displaystyle (v,w)}$de tal manera que${\displaystyle v}$y${\displaystyle w}$están en${\displaystyle N}$y la diferencia${\displaystyle vw}$es un puntal.

Existen entonces 30, 20 y 12 vectores estándar de colores azul, amarillo y rojo, respectivamente. En consecuencia, el subgrupo estabilizador de un puntal azul, amarillo o rojo es isomorfo al grupo cíclico de orden 2, 3 o 5, respectivamente. Por lo tanto, también se pueden describir los puntales azules, amarillos y rojos como "rectangulares", "triangulares" y "pentagonales", respectivamente.

El sistema de zome puede extenderse mediante vectores verdes adyacentes. Los "vectores verdes estándar" comprenden los${\displaystyle A_{5}}$-órbita del vector${\displaystyle (2,2,0)}$y un "puntal verde" como cualquier vector que se puede obtener escalando un vector verde estándar por cualquier potencia entera.${\displaystyle \varphi ^{n}}$. Como se indicó anteriormente, se puede comprobar que hay${\displaystyle |A_{5}|}$=60 vectores verdes estándar. Se puede ampliar el sistema de coordenadas incluyendo estos nodos verdes. Esto no afecta al conjunto de nodos.

El sistema de zome abstracto definido anteriormente es significativo debido al siguiente hecho: cada modelo de zome conectado tiene una imagen fiel en el sistema de zome. Lo contrario de este hecho es solo parcialmente cierto, pero esto se debe únicamente a las leyes de la física. Por ejemplo, el radio de un nodo de zometool es positivo (a diferencia de un nodo que matemáticamente es un punto único), por lo que no se puede crear un modelo de zometool donde dos nodos estén separados por una distancia preestablecida arbitrariamente pequeña. De manera similar, solo se fabricará un número finito de longitudes de puntales, y un puntal verde no puede colocarse directamente adyacente a un puntal rojo o a otro puntal verde con el que comparta el mismo orificio (aunque sean matemáticamente distintos).

El sistema zome es especialmente útil para modelar esqueletos unidimensionales de objetos altamente simétricos en el espacio euclidiano tridimensional y tetradimensional. Entre ellos destacan los cinco sólidos platónicos y los politopos tetradimensionales relacionados con los politopos de 120 y 600 celdas . Sin embargo, muchos otros objetos matemáticos pueden modelarse utilizando el sistema zome, entre ellos:

• Tres de los cuatro poliedros de Kepler-Poinsot
• compuestos poliédricos regulares
• Politopos regulares de 4 dimensiones y algunos compuestos
• Numerosas estelaciones del triacontaedro rómbico
• Muchas estelaciones del icosaedro regular
• Zonoedros , especialmente el eneacontaedro rómbico y el triacontaedro rómbico.
• Hipercubos en dimensiones 61 o menos
• La mayoría de los poliedros uniformes (con la importante excepción de aquellos formados mediante la operación de snub )
• Muchos politopos 4 uniformes
• Los excepcionales politopos semirregulares de Thorold Gosset en 6, 7 y 8 dimensiones.
• Algunos sólidos de Johnson
• Configuración de Desargues
• Dos de los sólidos catalanes
• Sistemas radiculares clásicos y excepcionales
• Trialidad (de la teoría de la mentira )

Los usos del zome no se limitan a las matemáticas puras. Otros usos incluyen el estudio de problemas de ingeniería, especialmente estructuras de celosía de acero, el estudio de algunas estructuras moleculares , de nanotubos y virales , y la fabricación de superficies de película de jabón .

• Kit de construcción universal gratuito : juguete de construcción de código abierto imprimible en 3D 

• Steve Baer. Zome Primer. Zomeworks Corporation, 1970.
• David Booth. El nuevo manual de Zome sobre simetría quíntuple, István Hargittai (editor). World Scientific Publishing Company, 1992.
• George Hart , Proyección politópica tetradimensional de graneros. Actas de la Sexta Conferencia Internacional de la Sociedad de Arte, Matemáticas y Arquitectura, Universidad de Texas A&M. Mayo de 2007.
• George Hart y Henri Picciotto. Geometría Zome: Aprendizaje práctico con modelos Zome. Key Curriculum Press, 2001. ISBN 1-55953-385-4.
• Paul R. Hildebrandt y Marc G. Pelletier (1985). "Kit de modelado geométrico y método para su fabricación" . Patente de Estados Unidos n.° 4.701.131.
• Paul Hildebrandt. Escultura inspirada en Zome. Actas de Bridges London: Conexiones entre matemáticas, arte y música , editado por Reza Sarhangi y John Sharp. (2006) 335–342.
• David A. Richter. Dos resultados sobre el modelo Zome de 600 celdas. Actas de Renaissance Banff: Conexiones matemáticas entre matemáticas, arte y música , editado por Robert Moody y Reza Sarhangi. (2005) 419–426.
• David A. Richter y Scott Vorthmann. Cuaterniones verdes, simetría tenaz y zome octaédrico. Actas de Bridges London: Conexiones entre matemáticas, arte y música , editado por Reza Sarhangi y John Sharp. (2006) 429–436.
• Steven F. Rogers y Paul R. Hildebrandt (2002) "Conexiones para kit de modelado geométrico" . Patente de Estados Unidos n.° 6,840,699 B2.

• Geometría Zome por George W. Hart y Henri Picciotto .
• Zometool - Sitio web del fabricante.
• Japan Zome Club (en japonés)
• Weisstein, Eric W. "Zome" . MundoMatemático .

Software

• vZome