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Número hipercomplejo

En matemáticas , el número hipercomplejo es un término tradicional para un elemento de un álgebra unitaria de dimensión finita sobre el cuerpo de los números reales . El estudio...

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En matemáticas , el número hipercomplejo es un término tradicional para un elemento de un álgebra unitaria de dimensión finita sobre el cuerpo de los números reales . El estudio de los números hipercomplejos a finales del siglo XIX constituye la base de la teoría moderna de la representación de grupos .

Historia

Una red de algunos sistemas de números hipercomplejos y la red correspondiente de grupos generados por los elementos base.

En el siglo XIX, los sistemas numéricos denominados cuaterniones , tessarinas , cocuaterniones , bicuaterniones y octoniones se consolidaron como conceptos en la literatura matemática, extendiendo así los números reales y complejos . El concepto de número hipercomplejo los abarcaba a todos y requería una disciplina que los explicara y clasificara.

El proyecto de catalogación comenzó en 1872 cuando Benjamin Peirce publicó por primera vez su Álgebra Asociativa Lineal , y fue continuado por su hijo Charles Sanders Peirce . [ 1 ] Lo más significativo fue que identificaron los elementos nilpotentes e idempotentes como números hipercomplejos útiles para clasificaciones. La construcción de Cayley-Dickson utilizó involuciones para generar números complejos, cuaterniones y octoniones a partir del sistema de números reales. Hurwitz y Frobenius demostraron teoremas que ponen límites a la hipercomplejidad: el teorema de Hurwitz dice que las álgebras de composición reales de dimensión finita son los reales .R{\displaystyle \mathbb {R} }⁠ , los complejos ⁠do{\displaystyle \mathbb {C} }, los cuaternionesH{\displaystyle \mathbb {H} }y los octonionesO{\displaystyle \mathbb {O} }⁠ , y el teorema de Frobenius dice que las únicas álgebras de división asociativas reales son ⁠R{\displaystyle \mathbb {R} },​​do{\displaystyle \mathbb {C} }y​​H{\displaystyle \mathbb {H} }⁠ . En 1958, J. Frank Adams publicó una generalización adicional en términos de invariantes de Hopf en espacios H que aún limita la dimensión a 1, 2, 4 u 8. [ 2 ]

Fue el álgebra matricial la que aprovechó los sistemas hipercomplejos. Por ejemplo,2×2{\displaystyle 2\times 2}Se descubrió que las matrices reales eran isomorfas a los cocuaterniones . Pronto, el paradigma matricial comenzó a explicar otros sistemas, ya que estaban representados por matrices y sus operaciones. En 1907, Joseph Wedderburn demostró que los sistemas hipercomplejos asociativos podían representarse mediante matrices cuadradas o productos directos de álgebras de matrices cuadradas. [ 3 ] [ 4 ] Desde entonces, el término preferido para un sistema hipercomplejo pasó a ser álgebra asociativa , como se ve en el título de la tesis de Wedderburn en la Universidad de Edimburgo . Cabe señalar, sin embargo, que los sistemas no asociativos, como los octoniones y los cuaterniones hiperbólicos, representan otro tipo de número hipercomplejo.

Como explica Thomas Hawkins [ 5 ] , los números hipercomplejos son un punto de partida para aprender sobre grupos de Lie y la teoría de la representación de grupos . Por ejemplo, en 1929 Emmy Noether escribió sobre "cantidades hipercomplejas y teoría de la representación". [ 6 ] En 1973, Kantor y Solodovnikov publicaron un libro de texto sobre números hipercomplejos, que fue traducido en 1989. [ 7 ] [ 8 ]

Karen Parshall ha escrito una exposición detallada del apogeo de los números hipercomplejos, [ 9 ] incluyendo el papel de matemáticos como Theodor Molien [ 10 ] y Eduard Study . [ 11 ] Para la transición al álgebra moderna , Bartel van der Waerden dedica treinta páginas a los números hipercomplejos en su Historia del Álgebra . [ 12 ]

Definición

Kantor y Solodovnikov (1989) definen un número hipercomplejo como un elemento de un álgebra unitaria , pero no necesariamente asociativa o conmutativa , de dimensión finita sobre los números reales. Los elementos se generan con coeficientes de números reales.(a0,…,anorte){\displaystyle (a_{0},\dots ,a_{n})}como base{1,i1,…,inorte}{\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}}⁠ . Siempre que sea posible, es convencional elegir la base de manera que ⁠ik2∈{−1,0,+1}{\displaystyle i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}}⁠ . Un enfoque técnico de los números hipercomplejos dirige la atención primero a aquellos de dimensión dos.

Álgebras reales bidimensionales

Teorema: [ 7 ] : 14, 15 [ 13 ] [ 14 ] Salvo isomorfismo, existen exactamente tres álgebras unitarias bidimensionales sobre los reales: los números complejos ordinarios , los números complejos divididos y los números duales . En particular, toda álgebra unitaria bidimensional sobre los reales es asociativa y conmutativa.

Demostración: Dado que el álgebra es bidimensional, podemos elegir una base .{1,tú}{\displaystyle \{1,u\}}⁠ . Dado que el álgebra es cerrada bajo la elevación al cuadrado, el elemento base no realtú{\displaystyle u}cuadrados a una combinación lineal de ⁠1{\displaystyle 1}y​​tú{\displaystyle u}:​

tú2=a0+a1tú{\displaystyle u^{2}=a_{0}+a_{1}u}

para obtener algunos números realesa0{\displaystyle a_{0}}y​a1{\displaystyle a_{1}}.​

Utilizando el método común de completar el cuadrado restandoa1tú{\displaystyle a_{1}u}y añadiendo el complemento cuadráticoa12/4{\displaystyle a_{1}^{2}/4}a ambas partes cede

tú2−a1tú+14a12=a0+14a12.{\displaystyle u^{2}-a_{1}u+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}

Reescribiendo la mitad izquierda de la ecuación anterior como(tú−12a1)2{\textstyle \left(u-{\frac {1}{2}}a_{1}\right)^{2}}y luego sustituir por un nuevo elementotú~{\displaystyle {\tilde {u}}}, donde​tú~=tú−12a1{\displaystyle {\tilde {u}}=u-{\tfrac {1}{2}}a_{1}}⁠ , se obtiene

tú~2=a0+14a12.{\displaystyle {\tilde {u}}^{2}=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}

Los tres casos dependen de este valor real:

  • Si​4a0=−a12{\displaystyle 4a_{0}=-a_{1}^{2}}⁠ , la fórmula anterior produce ⁠tú~2=0{\displaystyle {\tilde {u}}^{2}=0}⁠ . Por lo tanto,tú~{\displaystyle {\tilde {u}}}puede identificarse directamente con el elemento nilpotenteε{\displaystyle \varepsilon }de la base{1, ε}{\displaystyle \{1,~\varepsilon \}}de los números duales.
  • Si​4a0>−a12{\displaystyle 4a_{0}>-a_{1}^{2}}⁠ , la fórmula anterior produce ⁠tú~2>0{\displaystyle {\tilde {u}}^{2}>0}Esto conduce a los números complejos divididos, que tienen una base normalizada.{1, j}{\displaystyle \{1,~j\}}con​j2=+1{\displaystyle j^{2}=+1}⁠ . Para obtenerj{\displaystyle j}desde​tú~{\displaystyle {\tilde {u}}}⁠ , este último debe dividirse por el número real positivo ⁠a:=a0+14a12{\displaystyle \textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}}}}⁠ , que tiene el mismo cuadrado quetú~{\displaystyle {\tilde {u}}}tiene.
  • Si​4a0<−a12{\displaystyle 4a_{0}<-a_{1}^{2}}⁠ , la fórmula anterior produce ⁠tú~2<0{\displaystyle {\tilde {u}}^{2}<0}Esto conduce a los números complejos, que tienen una base normalizada.{1, i}{\displaystyle \{1,~i\}}con​i2=−1{\displaystyle i^{2}=-1}Para cederi{\displaystyle i}desde​tú~{\displaystyle {\tilde {u}}}⁠ , este último debe dividirse por el número real positivo ⁠a:=−(a0+14a12){\displaystyle \textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {-(a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2})}}}⁠ , que al cuadrado es el negativo de ⁠tú~2{\displaystyle {\tilde {u}}^{2}}.​

Los números complejos son la única álgebra cuadrática que es un cuerpo . Las álgebras escindidas, como los números complejos escindidos que incluyen raíces no reales de 1, también contienen idempotentes.12(1±j){\textstyle {\frac {1}{2}}(1\pm j)}y divisores de cero(1+j)(1−j)=0{\displaystyle (1+j)(1-j)=0}⁠ , por lo que tales álgebras no pueden ser álgebras de división . Sin embargo, estas propiedades pueden resultar muy significativas, por ejemplo, al representar un cono de luz con un cono nulo .

En una edición de 2004 de Mathematics Magazine, las álgebras reales bidimensionales fueron denominadas "números complejos generalizados". [ 15 ] La idea de la razón cruzada de cuatro números complejos puede extenderse a las álgebras reales bidimensionales. [ 16 ]

Ejemplos de dimensiones superiores (más de un eje no real)

álgebras de Clifford

Un álgebra de Clifford es el álgebra asociativa unitaria generada sobre un espacio vectorial subyacente equipado con una forma cuadrática . Sobre los números reales, esto es equivalente a poder definir un producto escalar simétrico.tú⋅v=12(túv+vtú){\displaystyle u\cdot v={\tfrac {1}{2}}(uv+vu)}que se puede utilizar para ortogonalizar la forma cuadrática, para dar una base{mi1,…,mik}{\displaystyle \{e_{1},\,\dots ,\,e_{k}\}}de tal manera que: 12(miimij+mijmii)={−1,0,+1i=j,0i≠j.{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}\right)={\begin{cases}-1,0,+1&i=j,\\0&i\not =j.\end{cases}}}

Imponer el cierre bajo la multiplicación genera un espacio multivectorial generado por una base de2k{\displaystyle 2^{k}}elementos ,{1,mi1,mi2,…,mi1mi2,…,mi1mi2mi3,…}{\displaystyle \{1,\,e_{1},\,e_{2},\dots ,\,e_{1}e_{2},\,\dots ,\,e_{1}e_{2}e_{3},\,\dots \}}⁠ . Estos pueden interpretarse como la base de un sistema de números hipercomplejos. A diferencia de la base ⁠{mi1,…,mik}{\displaystyle \{e_{1},\,\dots ,\,e_{k}\}}⁠ , los elementos base restantes no necesitan anticonmutar , dependiendo de cuántos intercambios simples deban realizarse para intercambiar los dos factores. Por lo tanto , ⁠mi1mi2=−mi2mi1{\displaystyle e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}}⁠ , pero ⁠mi1(mi2mi3)=+(mi2mi3)mi1{\displaystyle e_{1}(e_{2}e_{3})=+(e_{2}e_{3})e_{1}}.​

Dejando de lado las bases que contienen un elementomii{\displaystyle e_{i}}de tal manera quemii2=0{\displaystyle e_{i}^{2}=0}(es decir, direcciones en el espacio original sobre las cuales la forma cuadrática era degenerada ), las álgebras de Clifford restantes se pueden identificar mediante la etiqueta ⁠Clpag,q(R){\displaystyle {\text{Cl}}_{p,q}(\mathbb {R} )}⁠ , lo que indica que el álgebra se construye a partir depag{\displaystyle p}elementos básicos simples con ⁠mii2=+1{\displaystyle e_{i}^{2}=+1}⁠ ,q{\displaystyle q}con​mii2=−1{\displaystyle e_{i}^{2}=-1}y dóndeR{\displaystyle \mathbb {R} }indica que se trata de un álgebra de Clifford sobre los números reales, es decir, los coeficientes de los elementos del álgebra deben ser números reales.

Estas álgebras, llamadas álgebras geométricas , forman un conjunto sistemático que resulta muy útil en problemas de física que involucran rotaciones , fases o espines , especialmente en mecánica clásica y cuántica , teoría electromagnética y relatividad .

Algunos ejemplos son: los números complejos .Cl0,1(R){\displaystyle {\text{Cl}}_{0,1}(\mathbb {R} )}, números complejos divididosCl1,0(R){\displaystyle {\text{Cl}}_{1,0}(\mathbb {R} )}, cuaterniones ​​Cl0,2(R){\displaystyle {\text{Cl}}_{0,2}(\mathbb {R} )}, bicuaterniones divididos ​Cl0,3(R){\displaystyle {\text{Cl}}_{0,3}(\mathbb {R} )}, cuaterniones divididosCl1,1(R)≈Cl2,0(R){\displaystyle {\text{Cl}}_{1,1}(\mathbb {R} )\approx {\text{Cl}}_{2,0}(\mathbb {R} )}(el álgebra natural del espacio euclidiano bidimensional);Cl3,0(R){\displaystyle {\text{Cl}}_{3,0}(\mathbb {R} )}(el álgebra natural del espacio euclidiano tridimensional y el álgebra de las matrices de Pauli ); y el álgebra del espacio-tiempo .Cl1,3(R){\displaystyle {\text{Cl}}_{1,3}(\mathbb {R} )}.​

Los elementos del álgebraClpag,q(R){\displaystyle {\text{Cl}}_{p,q}(\mathbb {R} )}formar una subálgebra parClq+1,pag[0](R){\displaystyle {\text{Cl}}_{q+1,p}^{[0]}(\mathbb {R} )}del álgebraClq+1,pag(R){\displaystyle {\text{Cl}}_{q+1,p}(\mathbb {R} )}⁠ , que se puede utilizar para parametrizar rotaciones en el álgebra más amplia. Existe, por lo tanto, una estrecha conexión entre los números complejos y las rotaciones en el espacio bidimensional; entre los cuaterniones y las rotaciones en el espacio tridimensional; entre los números complejos divididos y las rotaciones (hiperbólicas) ( transformaciones de Lorentz ) en el espacio (1+1)-dimensional, y así sucesivamente.

Mientras que las construcciones de Cayley-Dickson y de complejos divididos con ocho o más dimensiones no son asociativas con respecto a la multiplicación, las álgebras de Clifford conservan la asociatividad en cualquier número de dimensiones.

En 1995, Ian R. Porteous escribió sobre "El reconocimiento de subálgebras" en su libro sobre álgebras de Clifford. Su Proposición 11.4 resume los casos hipercomplejos: [ 17 ]

DejarA{\displaystyle A}sea ​​un álgebra asociativa real con elemento unidad1{\displaystyle 1}Entonces​
  • 1 generaR{\displaystyle \mathbb {R} }( álgebra de números reales ),
  • cualquier subálgebra bidimensional generada por un elementomi0{\displaystyle e_{0}}deA{\displaystyle A}de tal manera quemi02=−1{\displaystyle e_{0}^{2}=-1}es isomorfo ado{\displaystyle \mathbb {C} }( álgebra de números complejos ),
  • cualquier subálgebra bidimensional generada por un elementomi0{\displaystyle e_{0}}deA{\displaystyle A}de tal manera quemi02=1{\displaystyle e_{0}^{2}=1}es isomorfo aR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}(pares de números reales con producto componente a componente, isomorfo al álgebra de números complejos divididos ),
  • cualquier subálgebra de cuatro dimensiones generada por un conjunto{mi0,mi1}{\displaystyle \{e_{0},\,e_{1}\}}de elementos mutuamente anticonmutativos deA{\displaystyle A}de tal manera quemi02=mi12=−1{\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1}es isomorfo aH{\displaystyle \mathbb {H} }( álgebra de cuaterniones ),
  • cualquier subálgebra de cuatro dimensiones generada por un conjunto{mi0,mi1}{\displaystyle \{e_{0},\,e_{1}\}}de elementos mutuamente anticonmutativos deA{\displaystyle A}de tal manera quemi02=mi12=1{\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1}es isomorfo aMETRO2(R){\displaystyle {\text{M}}_{2}(\mathbb {R} )}( ⁠2×2{\displaystyle 2\times 2}⁠ matrices reales , cocuaterniones ),
  • cualquier subálgebra de ocho dimensiones generada por un conjunto{mi0,mi1,mi2}{\displaystyle \{e_{0},\,e_{1},\,e_{2}\}}de elementos mutuamente anticonmutativos deA{\displaystyle A}de tal manera quemi02=mi12=mi22=−1{\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1}es isomorfo a2H{\displaystyle {}^{2}\mathbb {H} }( bicuaterniones divididos ),
  • cualquier subálgebra de ocho dimensiones generada por un conjunto{mi0,mi1,mi2}{\displaystyle \{e_{0},\,e_{1},\,e_{2}\}}de elementos mutuamente anticonmutativos deA{\displaystyle A}de tal manera quemi02=mi12=mi22=1{\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1}es isomorfo aMETRO2(do){\displaystyle {\text{M}}_{2}(\mathbb {C} )}( ⁠2×2{\displaystyle 2\times 2}matrices complejas, bicuaterniones , álgebra de Pauli ).

Construcción Cayley-Dickson

Gráfico de Cayley Q 8 sobre la multiplicación de cuaterniones que muestra los ciclos de multiplicación de i (rojo), j (verde) y k (azul). Tras hacer clic en el diagrama, coloque el cursor sobre una ruta o haga clic en ella para resaltarla.

Todas las álgebras de CliffordClpag,q(R){\displaystyle {\text{Cl}}_{p,q}(\mathbb {R} )}Aparte de los números reales, los números complejos y los cuaterniones contienen elementos no reales que al cuadrado dan +1; por lo tanto, no pueden ser álgebras de división. Un enfoque diferente para extender los números complejos lo adopta la construcción de Cayley-Dickson . Esto genera sistemas numéricos de dimensión ⁠1{\displaystyle {1}}⁠ , con bases ⁠{1,i1,…,i2norte−1}{\displaystyle \left\{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\right\}}⁠ , donde todos los elementos de la base no reales anticonmutan y satisfacen ⁠imetro2=−1{\displaystyle {i_{m}}^{2}=-1}⁠ . En 8 o más dimensiones ( ⁠norte≥3{\displaystyle n\geq 3}⁠ ) ​​estas álgebras no son asociativas. En 16 o más dimensiones ( ⁠norte≥4{\displaystyle n\geq 4}) Estas álgebras también tienen divisores de cero distintos de cero .

Las primeras álgebras de esta secuencia incluyen los cuaterniones de 4 dimensiones , los octoniones de 8 dimensiones y los sedeniones de 16 dimensiones . Se pierde una simetría algebraica con cada aumento de dimensionalidad: la multiplicación de cuaterniones no es conmutativa , la multiplicación de octoniones no es asociativa y la norma de los sedeniones no es multiplicativa. Después de los sedeniones están los trigintaduoniones de 32 dimensiones (o 32-niones), los sexagintaquatroniones de 64 dimensiones (o 64-niones), los centumduodetrigintaniones de 128 dimensiones (o 128-niones), los ducentiquinquagintasexiones de 256 dimensiones (o 256-niones), y ad infinitum , como se resume en la tabla siguiente. [ 18 ]

La construcción de Cayley-Dickson se puede modificar insertando un signo adicional en algunas etapas. De esta manera, se generan las "álgebras escindidas" en la colección de álgebras de composición en lugar de las álgebras de división:

números complejos divididos con base{1,i1}{\displaystyle \{1,\,i_{1}\}}satisfactorio​i12=+1{\displaystyle i_{1}^{2}=+1}⁠ ,
cuaterniones divididos con base{1,i1,i2,i3}{\displaystyle \{1,\,i_{1},\,i_{2},\,i_{3}\}}satisfactorio​i12=−1,i22=i32=+1{\displaystyle i_{1}^{2}=-1,\,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1}y​
octoniones divididos con base{1,i1,…,i7}{\displaystyle \{1,\,i_{1},\,\dots ,\,i_{7}\}}satisfactorio​i12=i22=i32=−1{\displaystyle i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1},​​i42=i52=i62=i72=+1{\displaystyle i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1}.​

A diferencia de los números complejos, los números complejos divididos no son algebraicamente cerrados y, además, contienen divisores de cero no triviales e idempotentes no triviales . Al igual que los cuaterniones, los cuaterniones divididos no son conmutativos, sino que contienen nilpotentes ; son isomorfos a las matrices cuadradas de dimensión dos. Los octoniones divididos no son asociativos y contienen nilpotentes.

productos tensoriales

El producto tensorial de dos álgebras cualesquiera es otra álgebra, que puede utilizarse para generar muchos más ejemplos de sistemas numéricos hipercomplejos.

En particular, tomar productos tensoriales con los números complejos (considerados como álgebras sobre los números reales) conduce a números bicomplejos de cuatro dimensiones.do⊗Rdo{\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }(isomorfo a tessarinas ⁠do⊗RD{\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }D}) , bicuaterniones de ocho dimensionesdo⊗RH{\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} }y octoniones complejos de 16 dimensionesdo⊗RO{\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O} }.​

Otro ejemplo es el producto tensorial de dos álgebras de cuaterniones.H⊗2=H⊗RH{\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 2}=\mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} }(isomorfo al álgebra de Clifford)Cl3,1(R){\displaystyle {\text{Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )}y a4×4{\displaystyle 4\times 4}matrices realesMETRO(4,R){\displaystyle M(4,\mathbb {R} )}⁠ ) ​​lo que lleva a aplicaciones en física relativista. [ 19 ] [ 20 ]

De manera más general, se defineH⊗metro{\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes m}}(y sus subálgebras) como “álgebras hipercuaterniones”. En particular,H⊗3=METRO(4,H){\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 3}=M(4,\mathbb {H} )}produce una matriz cuaterniónica y su subálgebra parH⊗2⊗Rdo{\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }( Álgebra de Dirac ). [ 21 ] [ 22 ]

Otros ejemplos

  • Números bicomplejos : un espacio vectorial de 4 dimensiones sobre los números reales, de 2 dimensiones sobre los números complejos, isomorfo a las tessarinas.
  • números multicomplejos :2norte{\displaystyle 2^{n}}espacios vectoriales de dimensión sobre los números reales,2norte−1{\displaystyle 2^{n-1}}-dimensional sobre los números complejos
  • álgebra compositiva : álgebra con una forma cuadrática que se compone con el producto

Véase también

Referencias

  1. ↑ Peirce, Benjamin (1881), "Álgebra asociativa lineal" , American Journal of Mathematics , 4 (1): 221–6 , doi : 10.2307/2369153 , JSTOR 2369153 
  2. ↑ Adams, JF (julio de 1960), "Sobre la no existencia de elementos del invariante de Hopf uno" (PDF) , Annals of Mathematics , 72 (1): 20–104 , CiteSeerX 10.1.1.299.4490 , doi : 10.2307/1970147 , JSTOR 1970147  
  3. ↑ JHM Wedderburn (1908), "Sobre los números hipercomplejos" , Actas de la Sociedad Matemática de Londres , 6 : 77–118 , doi : 10.1112/plms/s2-6.1.77
  4. ↑ Posteriormente, Emil Artin generalizó el resultado de Wedderburn, por lo que se le conoce como el teorema de Artin-Wedderburn.
  5. ↑ Hawkins, Thomas (1972), "Números hipercomplejos, grupos de Lie y la creación de la teoría de la representación de grupos", Archive for History of Exact Sciences , 8 (4): 243–287 , doi : 10.1007/BF00328434 , S2CID 120562272 
  6. ↑ Noether, Emmy (1929), "Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie" [ Cantidades hipercomplejas y teoría de las representaciones ] , Mathematische Annalen (en alemán), 30 : 641– 92, doi : 10.1007/BF01187794 , S2CID 120464373 , archivado del original el 29 de marzo de 2016 , consultado el 14 de enero de 2016 
  7. ^ Kantor, IL, Solodownikow (1978), Hyperkomplex Zahlen , BSB BG Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig
  8. ↑ Kantor, IL; Solodovnikov, AS (1989), Números hipercomplejos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96980-0, MR 0996029 
  9. ↑ Parshall, Karen (1985), "Joseph HM Wedderburn y la teoría estructural de las álgebras", Archive for History of Exact Sciences , 32 ( 3–4 ): 223–349 , doi : 10.1007/BF00348450 , S2CID 119888377 
  10. ^ Molien, Theodor (1893), "Ueber Systeme höherer complexer Zahlen" , Mathematische Annalen , 41 (1): 83– 156, doi : 10.1007/BF01443450 , S2CID 122333076 
  11. ^ Estudio, Eduard (1898), "Theorie der gemeinen und höhern komplexen Grössen", Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften , vol. IA, págs. 147 a 183  
  12. ↑ van der Waerden, BL (1985), "10. El descubrimiento de las álgebras, 11. Estructura de las álgebras", A History of Algebra , Springer, ISBN 3-540-13610X
  13. ↑ Yaglom, Isaak ( 1968), Números complejos en geometría , págs. 10–14 
  14. ↑ Ewing, John H., ed. (1991), Numbers , Springer, p. 237, ISBN  3-540-97497-0
  15. ↑ Harkin, Anthony A.; Harkin, Joseph B. (2004), "Geometría de los números complejos generalizados" (PDF) , Mathematics Magazine , 77 (2): 118–129 , doi : 10.1080/0025570X.2004.11953236 , S2CID 7837108 
  16. ↑ Brewer, Sky (2013), "Projective Cross-ratio on Hypercomplex Numbers", Advances in Applied Clifford Algebras , 23 (1): 1–14 , arXiv : 1203.2554 , doi : 10.1007/s00006-012-0335-7 , S2CID 119623082 
  17. ↑ Porteous, Ian R. (1995), Clifford Algebras and the Classical Groups , Cambridge University Press , pp. 88–89 , ISBN  0-521-55177-3
  18. ^ Cariow, Aleksandr (2015). "Un enfoque unificado para desarrollar algoritmos racionalizados para la multiplicación de números hipercomplejos". Przegląd Elektrotechniczny . 1 (2). Wydawnictwo SIGMA-NOT: 38– 41. doi : 10.15199/48.2015.02.09 . ISSN 0033-2097 . 
  19. ↑ Girard, PR (2007). Cuaterniones, álgebras de Clifford y física relativista . Springer Science & Business Media.
  20. ↑ Gürlebeck, K.; Sprössig, W. (1997). Cálculo cuaterniónico y de Clifford para físicos e ingenieros . Nueva York: John Wiley & Sons.
  21. ↑ Girard, PR; Clarysse, P.; Pujol, R.; Delachartre, P. (2025). "Grupos simplécticos unitarios hipercuaterniónicos: una herramienta unificadora para la física". Advances in Applied Clifford Algebras . 35 (40). Springer. doi : 10.1007/s00006-025-01402-w .
  22. ↑ Sprössig, W. (2020). "Algunos aspectos nuevos en el análisis hipercomplejo". Avances en análisis complejo: de la teoría a la práctica . Springer. págs. 497–518 . 

Lecturas adicionales

  • Alfsmann, Daniel (2006), "Sobre familias de álgebras hipercomplejas de 2^N dimensiones adecuadas para el procesamiento digital de señales" (PDF) , 14.ª Conferencia Europea de Procesamiento de Señales, Florencia, Italia , pp . 1-4 
  • Artin, Emil (1965) [1928], "Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen; Zur Arithmetik hyperkomplexer Zahlen", en Lang, Serge ; Tate, John T. (eds.), The Collected Papers of Emil Artin , Addison -Wesley , págs. 301–345 
  • Baez, John (2002), "The Octonions" , Bulletin of the American Mathematical Society , 39 (2): 145–205 , arXiv : math/0105155 , doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X , ISSN 0002-9904 , S2CID 586512  
  • Cartan, Élie (1908), "Les systèmes de nombres complex et les groupes de transforms", Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées , vol.  yo 1...y Obras Completas T.2 pt. 1, pp 107–246.
  • Herzberger, Max (1923), "Ueber Systeme hyperkomplexer Grössen" , Tesis doctoral , Universidad Friedrich Wilhelm , archivada desde el original el 30 de enero de 2021 , consultado el 20 de septiembre de 2015
  • La Duke, Jeanne (1983), "El estudio de las álgebras asociativas lineales en los Estados Unidos, 1870–1927", en Srinivasan, B.; Sally, J. (eds.), Emmy Noether en Bryn Mawr: Actas de un simposio patrocinado por la Asociación de Mujeres en Matemáticas en honor al centenario de Emmy Noether , Springer, pp. 147–159 , ISBN  978-0-387-90838-0
  • Olariu, Silviu (2002), Números complejos en N dimensiones , North-Holland Mathematics Studies, vol.  190, Elsevier , ISBN 0-444-51123-7
  • Sabadini, Irene ; Shapiro, Michael; Sommen, Frank, eds. (2009), Análisis hipercomplejo y aplicaciones , Birkhauser, ISBN 978-3-7643-9892-7
  • Taber, Henry (1904), "Sobre sistemas numéricos hipercomplejos", Transactions of the American Mathematical Society , 5 (4): 509– 548, doi : 10.2307/1986280 , JSTOR 1986280 
  • MacLagan Wedderburn, JH (1908), "Sobre los números hipercomplejos" , Actas de la Sociedad Matemática de Londres , s2-6 (1): 77–118 , doi : 10.1112/plms/s2-6.1.77
  • "Número hipercomplejo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  • Weisstein, Eric W. "Número hipercomplejo" . MathWorld .
  • Study, E., Sobre sistemas de números complejos y su aplicación a la teoría de grupos de transformación (PDF)(Traducción al inglés)
  • Frobenius, G., Teoría de cantidades hipercomplejas (PDF)(Traducción al inglés)