álgebra de división

En álgebra abstracta , un álgebra de división es, en términos generales, un álgebra sobre un cuerpo en la que la división , salvo por cero, siempre es posible. No se asume que la operación de multiplicación de un álgebra de división sea necesariamente conmutativa ni asociativa.

Formalmente, supongamos que D es un álgebra no nula sobre un cuerpo . Entonces D es un álgebra de división si, para cada elemento a en D y cada elemento no nulo b en D , existe precisamente un elemento x en D tal que a = bx y precisamente un elemento y en D tal que a = yb .

Para las álgebras asociativas , la definición se puede simplificar de la siguiente manera: un álgebra asociativa no nula sobre un cuerpo es un álgebra de división si y solo si tiene un elemento identidad multiplicativo 1 y cada elemento no nulo a tiene un inverso multiplicativo, es decir, un elemento x con ax = xa = 1 .

Los ejemplos más conocidos de álgebras de división asociativa son las reales de dimensión finita (es decir, álgebras sobre el cuerpo R de los números reales que son de dimensión finita como espacio vectorial sobre R ). El teorema de Frobenius establece que, salvo isomorfismo, existen tres de estas álgebras: los propios números reales (dimensión 1), el cuerpo de los números complejos (dimensión 2) y los cuaterniones (dimensión 4).

El pequeño teorema de Wedderburn establece que si D es un álgebra de división finita, entonces D es un cuerpo finito . ^{[ 1 ]}

Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado K (como los números complejos C ), no existen álgebras de división asociativas de dimensión finita distintas de K mismo. ^{[ 2 ]}

Las álgebras de división asociativas no tienen divisores de cero distintos de cero. Un álgebra asociativa unitaria de dimensión finita (sobre cualquier cuerpo) es un álgebra de división si y solo si no tiene divisores de cero distintos de cero. En efecto, si${\displaystyle a}$es un miembro de un álgebra asociativa de dimensión finita${\displaystyle A}$, entonces el hecho de no tener divisores cero implica que el operador lineal${\displaystyle L_{a}=x\mapsto ax:A\to A}$es inyectiva y, por lo tanto, sobreyectiva, es decir,${\displaystyle L_{a}x=1}$tiene una solución. ^{[ 3 ]}

Siempre que A sea un álgebra asociativa unitaria sobre el cuerpo F y S sea un módulo simple sobre A , entonces el anillo de endomorfismos de S es un álgebra de división sobre F ; toda álgebra de división asociativa sobre F surge de esta manera.

El centro de un álgebra de división asociativa D sobre el cuerpo K es un cuerpo que contiene a K. La dimensión de dicha álgebra sobre su centro, si es finita, es un cuadrado perfecto : es igual al cuadrado de la dimensión de un subcuerpo maximal de D sobre el centro. Dado un cuerpo F , las clases de equivalencia de Brauer de álgebras de división asociativas simples (que contienen solo ideales triviales de dos lados) cuyo centro es F y que son de dimensión finita sobre F pueden transformarse en un grupo, el grupo de Brauer del cuerpo F.

Una forma de construir álgebras de división asociativas de dimensión finita sobre cuerpos arbitrarios viene dada por las álgebras de cuaterniones (véase también Cuaternión ).

Para las álgebras de división asociativas de dimensión infinita, los casos más importantes son aquellos en los que el espacio posee una topología razonable . Véanse, por ejemplo, el álgebra de división normada y el álgebra de Banach .

Si no se asume que el álgebra de división sea asociativa, generalmente se impone alguna condición más débil (como la alternancia o la asociatividad de potencias ). Consulte Álgebra sobre un cuerpo para ver una lista de dichas condiciones.

Sobre los números reales existen (salvo isomorfismo) únicamente dos álgebras de división unitarias, conmutativas y de dimensión finita: los propios números reales y los números complejos. Ambas son, por supuesto, asociativas. Como ejemplo no asociativo, consideremos los números complejos cuya multiplicación se define tomando el conjugado complejo de la multiplicación usual:

a ∗ b = ab .

Se trata de un álgebra de división conmutativa y no asociativa de dimensión 2 sobre los números reales, sin elemento neutro. Existen infinitas otras álgebras de división reales no isomorfas, conmutativas y no asociativas de dimensión finita, pero todas ellas tienen dimensión 2.

De hecho, toda álgebra de división conmutativa real de dimensión finita es unidimensional o bidimensional. Esto se conoce como el teorema de Hopf y fue demostrado en 1940. La demostración utiliza métodos de la topología . Si bien posteriormente se halló una demostración mediante geometría algebraica , no se conoce ninguna demostración algebraica directa. El teorema fundamental del álgebra es un corolario del teorema de Hopf.

Al prescindir del requisito de conmutatividad, Hopf generalizó su resultado: cualquier álgebra de división real de dimensión finita debe tener una dimensión que sea potencia de 2.

Trabajos posteriores demostraron que, de hecho, cualquier álgebra de división real de dimensión finita debe ser de dimensión 1, 2, 4 u 8. Esto fue demostrado independientemente por Michel Kervaire y John Milnor en 1958, nuevamente utilizando técnicas de topología algebraica , en particular la teoría K. Adolf Hurwitz había demostrado en 1898 que la identidad q q = suma de cuadrados se cumplía solo para dimensiones 1, 2, 4 y 8. ^{[ 4 ]} (Véase el teorema de Hurwitz ). El desafío de construir un álgebra de división de tres dimensiones fue abordado por varios matemáticos de la primera época. Kenneth O. May revisó estos intentos en 1966. ^{[ 5 ]}

Cualquier álgebra de división real de dimensión finita sobre los números reales debe ser

• isomorfo a R o C si es unitario y conmutativo (equivalentemente: asociativo y conmutativo)
• isomorfo a los cuaterniones si no es conmutativo pero sí asociativo
• isomorfo a los octoniones si no es asociativo pero alternativo .

Se sabe lo siguiente sobre la dimensión de un álgebra de división de dimensión finita A sobre un cuerpo K :

• dim A = 1 si K es algebraicamente cerrado ,
• dim A = 1, 2, 4 u 8 si K es real cerrado y
• Si K no es ni algebraicamente ni real cerrado, entonces hay infinitas dimensiones en las que existen álgebras de división sobre K.

Podemos decir que un álgebra A tiene inversos multiplicativos si para cualquier a ∈ A distinto de cero existe un elemento a ⁻¹ ∈ A tal que aa ⁻¹ = a ⁻¹ a = 1. Un álgebra asociativa tiene inversos multiplicativos si y solo si es un álgebra de división. Sin embargo, esto no se cumple para las álgebras no asociativas. Los sedeniones son un álgebra no asociativa sobre los números reales que tiene inversos multiplicativos, pero no es un álgebra de división. Por otro lado, podemos construir un álgebra de división sin inversos multiplicativos tomando los cuaterniones y modificando el producto, estableciendo i ² = −1 + εj para algún número real pequeño distinto de cero ε, mientras que el resto de la tabla de multiplicar permanece sin cambios. El elemento i entonces tiene inversos tanto por la derecha como por la izquierda, pero no son iguales.

• álgebra de división normalizada
• División (matemáticas)
• Anillo de división
• Semicampo
• Construcción Cayley-Dickson

• Cohn, Paul Moritz (2003). Álgebra básica: grupos, anillos y cuerpos . Londres: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-0-85729-428-9 . ISBN 978-1-85233-587-8. SR 1935285 . 
• Lam, Tsit-Yuen (2001). Un primer curso sobre anillos no conmutativos . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  131 (2.ª  ed.). Springer. ISBN 0-387-95183-0.
• May, Kenneth O. (1966). "La imposibilidad de un álgebra de división de vectores en el espacio tridimensional". American Mathematical Monthly . 73 (3): 289– 291. doi : 10.2307/2315349 .
• Penrose, Roger (2005). El camino a la realidad . Vintage. ISBN 0-09-944068-7.

• "Álgebra de división" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]