vector nulo

En matemáticas , dado un espacio vectorial X con una forma cuadrática asociada q , escrita ( X , q ) , un vector nulo o vector isotrópico es un elemento no nulo x de X para el cual q ( x ) = 0 .

En la teoría de las formas bilineales reales , se distinguen las formas cuadráticas definidas de las formas cuadráticas isotrópicas . Se diferencian en que solo para estas últimas existe un vector nulo distinto de cero.

Un espacio cuadrático ( X , q ) que tiene un vector nulo se llama espacio pseudoeuclidiano . El término vector isotrópico v cuando q ( v ) = 0 se ha utilizado en espacios cuadráticos, ^{[ 1 ]} y espacio anisotrópico para un espacio cuadrático sin vectores nulos.

Un espacio vectorial pseudoeuclidiano puede descomponerse (de forma no única) en subespacios ortogonales A y B , X = A + B , donde q es definida positiva en A y definida negativa en B. El cono nulo , o cono isotrópico , de X consiste en la unión de esferas equilibradas: El cono nulo es también la unión de las líneas isotrópicas que pasan por el origen.$${\displaystyle \bigcup _{r\geq 0}\{x=a+b:q(a)=-q(b)=r,\ \ a\in A,b\in B\}.}$$

Un álgebra de composición con un vector nulo es un álgebra escindida . ^{[ 2 ]}

En un álgebra de composición ( A , +, ×, * ), la forma cuadrática es q( x ) = xx *. Cuando x es un vector nulo, entonces no hay inverso multiplicativo para x , y como x ≠ 0, A no es un álgebra de división .

En la construcción de Cayley-Dickson , las álgebras escindidas surgen en la serie de números bicomplejos , bicuaterniones y bioctoniones , que utiliza el campo de los números complejos como fundamento de esta construcción de duplicación debida a LE Dickson (1919). En particular, estas álgebras tienen dos unidades imaginarias que conmutan, de modo que su producto, al elevarse al cuadrado, da como resultado +1:${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle (hi)^{2}=h^{2}i^{2}=(-1)(-1)=+1.}$Entonces

${\displaystyle (1+hola)(1+hola)^{*}=(1+hola)(1-hola)=1-(hola)^{2}=0}$por lo tanto, 1 + hi es un vector nulo.

Las subálgebras reales, los números complejos divididos , los cuaterniones divididos y los octoniones divididos , con sus conos nulos que representan el seguimiento de la luz hacia dentro y hacia fuera de 0 ∈ A , sugieren una topología del espacio-tiempo .

Los vectores tipo luz del espacio de Minkowski son vectores nulos.

Los cuatro bicuaterniones linealmente independientes l = 1 + hi , n = 1 + hj , m = 1 + hk , y m ^∗ = 1 – hk son vectores nulos y { l , n , m , m ^∗ } pueden servir como base para el subespacio utilizado para representar el espaciotiempo . Los vectores nulos también se utilizan en el formalismo de Newman-Penrose para el estudio de las variedades espaciotemporales. ^{[ 3 ]}

En el módulo de Verma de un álgebra de Lie existen vectores nulos.

• Dubrovin, BA ; Fomenko, AT ; Novikov , SP (1984). Geometría moderna: métodos y aplicaciones . Traducido por Burns, Robert G. Springer. pág. 50. ISBN  0-387-90872-2.
• Shaw, Ronald (1982). Álgebra lineal y representaciones de grupos . Vol.  1. Academic Press . pág.  151. ISBN 0-12-639201-3.
• Neville, EH (Eric Harold) (1922). Prolegómenos a la geometría analítica en el espacio euclidiano anisotrópico de tres dimensiones . Cambridge University Press . pág. 204 .