Hexágono

En geometría , un hexágono (del griego ἕξ , hex , que significa "seis", y γωνία , gonía , que significa "esquina, ángulo") es un polígono de seis lados . ^{[ 1 ]} La suma de los ángulos internos de cualquier hexágono simple (que no se autointerseca) es de 720°.

Un hexágono regular se define como un hexágono que es a la vez equilátero y equiangular . Su ángulo interno es un tercio de un círculo, igual a 120°. El símbolo de Schläfli denota este polígono como . ^{[ 2 ]} Sin embargo, el hexágono regular también puede considerarse como el corte de los vértices de un triángulo equilátero, que también puede denotarse como . ${\displaystyle \{6\}}$${\displaystyle \mathrm {t} \{3\}}$

Un hexágono regular es bicéntrico , lo que significa que es cíclico (tiene un círculo circunscrito) y tangencial (tiene un círculo inscrito). La longitud común de los lados es igual al radio del círculo circunscrito , que es igual a veces la apotema (radio del círculo inscrito ). ${\displaystyle {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}}$

Las diagonales más largas de un hexágono regular, que conectan vértices diametralmente opuestos, miden el doble de la longitud de uno de sus lados. De esto se deduce que un triángulo con un vértice en el centro del hexágono regular y que comparte un lado con él es equilátero , y que el hexágono regular se puede dividir en seis triángulos equiláteros.

El diámetro máximo (que corresponde a la diagonal mayor del hexágono), D , es el doble del radio máximo o radio circunscrito , R , que es igual a la longitud del lado, t . El diámetro mínimo o diámetro del círculo inscrito (separación de lados paralelos, distancia entre caras planas, diagonal menor o altura cuando se apoya sobre una base plana), d , es el doble del radio mínimo o radio inscrito , r . Los máximos y mínimos están relacionados por el mismo factor: $${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {d}{2}}=\cos(30^{\circ })R={\frac {\sqrt {3}}{2}}R={\frac {\sqrt {3}}{2}}t\\d&={\frac {\sqrt {3}}{2}}D\\\end{aligned}}}$$

El área de un hexágono regular $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R^{2}&&=3Rr=2{\sqrt {3}}r^{2}\\&\approx 2.598R^{2}&&\approx 3.464r^{2}\\&={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}D^{2}&&={\frac {3}{4}}Dd={\frac {\sqrt {3}}{2}}d^{2}\\&\approx 0.6495D^{2}&&\approx 0.866d^{2}.\end{aligned}}}$$

Para cualquier polígono regular , el área también se puede expresar en términos de la apotema a y el perímetro p . Para el hexágono regular, estos vienen dados por a = r y p , por lo que ${\displaystyle {}=6R=4r{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {ap}{2}}\\&={\frac {r\cdot 4r{\sqrt {3}}}{2}}=2r^{2}{\sqrt {3}}\\&\approx 3.464r^{2}.\end{aligned}}}$

El hexágono regular llena la fracción de su círculo circunscrito . ${\displaystyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2\pi }}\approx 0.8270}$

Si un hexágono regular tiene vértices sucesivos A, B, C, D, E, F y si P es cualquier punto en la circunferencia circunscrita entre B y C, entonces PE + PF = PA + PB + PC + PD .

De la relación entre el radio de la circunferencia circunscrita y el radio de la circunferencia inscrita se deduce que la relación altura-ancho de un hexágono regular es 1:1,1547005; es decir, un hexágono con una diagonal larga de 1,0000000 tendrá una distancia de 0,8660254 o cos(30°) entre lados paralelos.

Para un punto arbitrario en el plano de un hexágono regular con radio de circunferencia , cuyas distancias al centroide del hexágono regular y a sus seis vértices son y respectivamente, tenemos ^{[ 3 ]}${\displaystyle R}$${\displaystyle L}$${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{4}^{2}=d_{2}^{2}+d_{5}^{2}=d_{3}^{2}+d_{6}^{2}=2\left(R^{2}+L^{2}\right),}$

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}+d_{5}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}+d_{6}^{2}=3\left(R^{2}+L^{2}\right),}$

${\displaystyle d_{1}^{4}+d_{3}^{4}+d_{5}^{4}=d_{2}^{4}+d_{4}^{4}+d_{6}^{4}=3\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right).}$

Si son las distancias desde los vértices de un hexágono regular a cualquier punto de su circunferencia circunscrita, entonces ^{[ 3 ]}${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{2}\right)^{2}=4\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{4}.}$

Una animación paso a paso de la construcción de un hexágono regular usando compás y regla , dada por los Elementos de Euclides , Libro IV, Proposición 15: esto es posible como 6 2 × 3, un producto de una potencia de dos y primos de Fermat distintos .${\displaystyle =}$

Cuando se conoce la longitud del lado AB , al trazar un arco circular desde el punto A hasta el punto B se obtiene la intersección M, el centro de la circunferencia circunscrita . Traslada el segmento AB cuatro veces sobre la circunferencia circunscrita y une los vértices.

Un hexágono regular tiene seis simetrías rotacionales ( simetría rotacional de orden seis ) y seis simetrías de reflexión ( seis líneas de simetría ), formando el grupo diedral D ₆ . ^{[ 4 ]} Hay 16 subgrupos. Hay 8 salvo isomorfismo: él mismo (D ₆ ), 2 diedrales: (D _3, D ₂ ), 4 cíclicos : (Z ₆ , Z ₃ , Z ₂ , Z ₁ ) y el trivial (e)

Estas simetrías expresan nueve simetrías distintas de un hexágono regular. John Conway las etiqueta con una letra y orden de grupo. ^{[ 5 ]} r12 es simetría completa, y a1 es ninguna simetría. p6 , un hexágono isogonal construido por tres espejos puede alternar aristas largas y cortas, y d6 , un hexágono isotoxal construido con longitudes de arista iguales, pero vértices alternando dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del hexágono regular. Las formas i4 son hexágonos regulares aplanados o estirados a lo largo de una dirección de simetría. Se puede ver como un rombo alargado , mientras que d2 y p2 se pueden ver como cometas alargadas horizontal y verticalmente . Los hexágonos g2 , con lados opuestos paralelos, también se llaman paralelogonos hexagonales .

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Solo el subgrupo g6 no tiene grados de libertad, pero puede verse como aristas dirigidas .

Los hexágonos de simetría g2 , i4 y r12 , como paralelogramos , pueden teselar el plano euclidiano mediante traslación. Otras formas hexagonales pueden cubrir el plano con diferentes orientaciones.

Las 6 raíces del grupo de Lie simple A2 , representadas por un diagrama de Dynkin.están dispuestas en un patrón hexagonal regular. Las dos raíces simples tienen un ángulo de 120° entre ellas.

Las 12 raíces del grupo de Lie excepcional G2 , representadas por un diagrama de Dynkin.También están dispuestas en un patrón hexagonal. Las dos raíces simples de dos longitudes tienen un ángulo de 150° entre ellas.

Al igual que los cuadrados y los triángulos equiláteros , los hexágonos regulares encajan sin dejar huecos para cubrir el plano (tres hexágonos se unen en cada vértice), por lo que son útiles para construir teselaciones . ^{[ 6 ]} Las celdas de un panal de abejas son hexagonales por esta razón y porque su forma permite un uso eficiente del espacio y de los materiales de construcción. El diagrama de Voronoi de una red triangular regular es la teselación de hexágonos en forma de panal.

Coxeter afirma que todo zonógono (un polígono de 2 m cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) puede diseccionarse en 1/2 m ( m − 1) paralelogramos. ^{[ 7 ]} En particular , esto es cierto para polígonos regulares con igual número de lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Esta descomposición de un hexágono regular se basa en una proyección de polígono de Petrie de un cubo , con 3 de 6 caras cuadradas. Otros paralelogramos y direcciones proyectivas del cubo se diseccionan dentro de cuboides rectangulares .

Un hexágono regular tiene el símbolo de Schläfli {6}. Un hexágono regular es una parte del teselado hexagonal regular , {6,3}, con tres caras hexagonales alrededor de cada vértice.

Un hexágono regular también puede crearse como un triángulo equilátero truncado , con el símbolo de Schläfli t{3}. Vista con dos tipos (colores) de aristas, esta forma solo tiene simetría D _{3 .}

Un hexágono truncado , t{6}, es un dodecágono , {12}, que alterna dos tipos (colores) de aristas. Un hexágono alternado , h{6}, es un triángulo equilátero , {3}. Un hexágono regular puede estar estrellado con triángulos equiláteros en sus aristas, creando un hexagrama . Un hexágono regular puede dividirse en seis triángulos equiláteros añadiendo un punto central. Este patrón se repite dentro del teselado triangular regular .

Un hexágono regular puede extenderse hasta convertirse en un dodecágono regular añadiendo cuadrados y triángulos equiláteros alternados a su alrededor. Este patrón se repite dentro del teselado rombitrihexagonal .

Hay seis hexágonos que se cruzan a sí mismos con la disposición de vértices del hexágono regular:

Desde los panales de las abejas hasta la Calzada del Gigante , los patrones hexagonales son frecuentes en la naturaleza debido a su eficiencia. En una cuadrícula hexagonal, cada línea es lo más corta posible para cubrir una gran superficie con la menor cantidad de hexágonos. Esto significa que los panales requieren menos cera para su construcción y adquieren mucha más resistencia a la compresión .

Los hexágonos irregulares con caras opuestas paralelas se denominan paralelogonos y pueden recubrir el plano mediante traslación. En tres dimensiones, los prismas hexagonales con caras opuestas paralelas se denominan paraleloedros y pueden recubrir el espacio tridimensional mediante traslación.

Además del hexágono regular, que determina una teselación única del plano, cualquier hexágono irregular que satisfaga el criterio de Conway recubrirá el plano.

El teorema de Pascal (también conocido como el "Teorema del Hexagrama Místico") establece que si se inscribe un hexágono arbitrario en cualquier sección cónica y se extienden pares de lados opuestos hasta que se encuentren, los tres puntos de intersección estarán sobre una línea recta, la "línea de Pascal" de esa configuración.

El hexágono de Lemoine es un hexágono cíclico (uno inscrito en un círculo) cuyos vértices están dados por las seis intersecciones de los lados de un triángulo y las tres líneas paralelas a los lados que pasan por su punto simediano .

Si los lados sucesivos de un hexágono cíclico son a , b , c , d , e , f , entonces las tres diagonales principales se intersecan en un solo punto si y solo si ace = bdf . ^{[ 8 ]}

Si, para cada lado de un hexágono cíclico, los lados adyacentes se extienden hasta su intersección, formando un triángulo exterior al lado dado, entonces los segmentos que conectan los circuncentros de triángulos opuestos son concurrentes . ^{[ 9 ]}

Si un hexágono tiene vértices en la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo en los seis puntos (incluidos tres vértices del triángulo) donde las alturas extendidas del triángulo intersecan la circunferencia circunscrita, entonces el área del hexágono es el doble del área del triángulo. ^{[ 10 ] : p. 179}

Sea ABCDEF un hexágono formado por seis líneas tangentes de una sección cónica. Entonces, el teorema de Brianchon establece que las tres diagonales principales AD, BE y CF se intersecan en un único punto.

En un hexágono que es tangente a un círculo y que tiene lados consecutivos a , b , c , d , e y f , ^{[ 11 ]}

${\displaystyle a+c+e=b+d+f.}$

Si se construye un triángulo equilátero externamente en cada lado de cualquier hexágono, entonces los puntos medios de los segmentos que conectan los centroides de triángulos opuestos forman otro triángulo equilátero. ^{[ 12 ] : Teorema 1}

Un hexágono sesgado es un polígono sesgado con seis vértices y aristas, pero cuyos vértices no se encuentran en el mismo plano. Generalmente, no se define el interior de dicho hexágono. Un hexágono sesgado en zigzag tiene vértices que se alternan entre dos planos paralelos.

Un hexágono sesgado regular es transitivo en los vértices con longitudes de arista iguales. En tres dimensiones será un hexágono sesgado en zigzag y se puede ver en los vértices y aristas laterales de un antiprisma triangular con la misma simetría D _3d , [2 ⁺ ,6], orden 12.

El cubo y el octaedro (al igual que el antiprisma triangular) tienen hexágonos oblicuos regulares como polígonos de Petrie.

El hexágono sesgado regular es el polígono de Petrie para estos poliedros y politopos regulares , uniformes y duales de dimensiones superiores, mostrados en estas proyecciones ortogonales sesgadas :

Una diagonal principal de un hexágono es una diagonal que divide el hexágono en cuadriláteros. En cualquier hexágono equilátero convexo (uno con todos los lados iguales) con lado común a , existe ^{[ 13 ] : pág. 184, n.° 286.3} una diagonal principal d1 _tal que

${\displaystyle {\frac {d_{1}}{a}}\leq 2}$

y una diagonal principal d ₂ tal que

${\displaystyle {\frac {d_{2}}{a}}>{\sqrt {3}}.}$

No existe ningún sólido platónico formado únicamente por hexágonos regulares, ya que los hexágonos forman teselaciones , impidiendo que el resultado se "pliegue". Los sólidos arquimedianos con algunas caras hexagonales son el tetraedro truncado , el octaedro truncado , el icosaedro truncado (famoso por su uso en balones de fútbol y fullerenos ), el cuboctaedro truncado y el icosidodecaedro truncado . Estos hexágonos pueden considerarse triángulos truncados , con diagramas de Coxeter de la formay.

Existen otros poliedros de simetría con hexágonos estirados o aplanados, como estos poliedros de Goldberg G(2,0):

También existen 9 sólidos de Johnson con hexágonos regulares:

El debate sobre si los hexágonos deben denominarse "sexágonos" tiene su origen en la etimología del término. El prefijo "hex-" proviene de la palabra griega "hex", que significa seis, mientras que "sex-" proviene del latín "sex", que también significa seis. Algunos lingüistas y matemáticos argumentan que, dado que muchos términos matemáticos en inglés derivan del latín, el uso de "sexágono" se ajustaría a esta tradición. Las discusiones históricas se remontan al siglo XIX, cuando los matemáticos comenzaron a estandarizar la terminología en geometría. Sin embargo, el término "hexágono" ha prevalecido en el uso común y en la literatura académica, consolidando su lugar en la terminología matemática a pesar del argumento histórico a favor de "sexágono". El consenso sigue siendo que "hexágono" es el término apropiado, reflejando sus orígenes griegos y su uso establecido en matemáticas. (véase Numeral_prefix#Occurrences ).

• 
  La estructura cristalina ideal del grafeno es una red hexagonal.
• 
  Segmentos de espejo E-ELT ensamblados
• 
  Un panal de abejas
• 
  Las escamas del caparazón de una tortuga
• 
  El hexágono de Saturno , un patrón de nubes hexagonales alrededor del polo norte del planeta.
• 
  Micrografía de un copo de nieve
• 
  El benceno , el compuesto aromático más simple con forma hexagonal.
• 
  Orden hexagonal de las burbujas en una espuma.
• 
  Estructura cristalina de un hexágono molecular compuesto por anillos aromáticos hexagonales.
• 
  Columnas de basalto formadas naturalmente en la Calzada del Gigante , en Irlanda del Norte ; las grandes masas deben enfriarse lentamente para formar un patrón de fractura poligonal.
• 
  Vista aérea del Fuerte Jefferson en el Parque Nacional Dry Tortugas.
• 
  El espejo del telescopio espacial James Webb está compuesto por 18 segmentos hexagonales.
• 
  En francés, l'Hexagone hace referencia a la Francia metropolitana por su forma vagamente hexagonal.
• 
  Cristal de hanksita hexagonal , uno de los muchos minerales del sistema cristalino hexagonal.
• 
  Granero hexagonal
• 
  El Hexagon , un teatro hexagonal en Reading, Berkshire.
• 
  El ajedrez hexagonal de Władysław Gliński
• 
  Pabellón en el Jardín Botánico de Taiwán
• 
  Ventana hexagonal

• 24-celda : una figura tetradimensional que, al igual que el hexágono, tiene facetas ortoplex , es autodual y tesela el espacio euclidiano.
• Sistema cristalino hexagonal
• Número hexagonal
• Teselado hexagonal : un teselado regular de hexágonos en un plano.
• Hexagrama : estrella de seis puntas dentro de un hexágono regular
• Hexagrama unicursal : un solo camino, estrella de seis lados, dentro de un hexágono
• Omatidio
• Teorema del panal de abejas
• Havannah : juego de mesa abstracto que se juega en una cuadrícula hexagonal de seis lados.
• teoría del lugar central

• Weisstein, Eric W. "Hexágono" . MathWorld .

• Definición y propiedades de un hexágono con animación interactiva y construcción con compás y regla .
• Introducción a la geometría hexagonal en Hexnet , un sitio web dedicado a las matemáticas de los hexágonos.
• Los hexágonos son los Bestágonos en YouTube : un vídeo animado de internet sobre hexágonos creado por CGP Grey .