función de Gudermann

En matemáticas, la función de Gudermann relaciona una medida de ángulo hiperbólico.${\textstyle \psi }$a una medida de ángulo circular${\textstyle \phi }$llamado gudermanniano de${\textstyle \psi }$y denotado${\textstyle \operatorname {gd} \psi }$[ ^{1 ]} La función de Gudermann revela una estrecha relación entre las funciones circulares e hiperbólicas . Fue introducida en la década de 1760 por Johann Heinrich Lambert y posteriormente nombrada en honor a Christoph Gudermann, ^quien también describió la relación entre las funciones circulares e hiperbólicas en 1830. ^{[ 2 ]} La función de Gudermann y su inversa se utilizaron históricamente para construir tablas de funciones hiperbólicas o para calcular funciones hiperbólicas a partir únicamente de una tabla de funciones circulares. A la función de Gudermann se la denomina a veces amplitud hiperbólica como caso límite de la amplitud elíptica de Jacobi.${\textstyle \operatorname {soy} (\psi,m)}$cuando parámetro${\textstyle m=1.}$

La función gudermanniana real se define típicamente para${\estilo de texto -\infty <\psi <\infty }$ser la integral de la secante hiperbólica ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \phi =\operatorname {gd} \psi \equiv \int _{0}^{\psi }\operatorname {sech} t\,\mathrm {d} t=\operatorname {arctan} (\sinh \psi ).}$

La función inversa de Gudermann real se puede definir para${\textstyle -{\tfrac {1}{2}}\pi <\phi <{\tfrac {1}{2}}\pi }$como la integral de la secante (circular)

${\displaystyle \psi =\operatorname {gd} ^{-1}\phi =\int _{0}^{\phi }\operatorname {sec} t\,\mathrm {d} t=\operatorname {arsinh} (\tan \phi ).}$

La medida del ángulo hiperbólico${\displaystyle \psi =\operatorname {gd} ^{-1}\phi }$se llama el antigudermanniano de${\displaystyle \phi }$o a veces el lambertiano de${\displaystyle \phi }$, denotado${\displaystyle \psi =\operatorname {lam} \phi .}$^{[ 4 ]} En el contexto dela geodesiayla navegaciónpara la latitud${\textstyle \phi }$,${\displaystyle k\operatorname {gd} ^{-1}\phi }$(escalado por una constante arbitraria)${\textstyle k}$) se denominaba históricamente la parte meridional de${\displaystyle \phi }$( Francés : latitud croissante ). Es la coordenada vertical de la proyección de Mercator .

Las dos medidas angulares${\textstyle \phi }$y${\textstyle \psi }$están relacionados por una proyección estereográfica común

${\displaystyle s=\tan {\tfrac {1}{2}}\phi =\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi,}$

y esta identidad puede servir como una definición alternativa para${\textstyle \operatorname {gd} }$y${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}}$válido en todo el plano complejo :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} \psi &={2\arctan }{\bigl (}\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi \,{\bigr )},\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}\phi &={2\operatorname {artanh} }{\bigl (}\tan {\tfrac {1}{2}}\phi \,{\bigr )}.\end{aligned}}}$

Podemos evaluar la integral de la secante hiperbólica utilizando la proyección estereográfica ( semitangente hiperbólica ) como un cambio de variables : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} \psi &\equiv \int _{0}^{\psi }{\frac {1}{\operatorname {cosh} t}}\mathrm {d} t=\int _{0}^{\tanh {\frac {1}{2}}\psi }{\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}{\frac {2\,\mathrm {d} u}{1-u^{2}}}\qquad {\bigl (}u=\tanh {\tfrac {1}{2}}t{\bigr )}\\[8mu]&=2\int _{0}^{\tanh {\frac {1}{2}}\psi }{\frac {1}{1+u^{2}}}\mathrm {d} u={2\arctan }{\bigl (}\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi \,{\bigr )},\\[5mu]\tan {\tfrac {1}{2}}{\operatorname {gd} \psi }&=\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi .\end{aligned}}}$

Alquiler${\textstyle \phi =\operatorname {gd} \psi }$y${\textstyle s=\tan {\tfrac {1}{2}}\phi =\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi }$podemos derivar una serie de identidades entre funciones hiperbólicas de${\textstyle \psi }$y funciones circulares de${\textstyle \phi .}$^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\tan {\tfrac {1}{2}}\phi =\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi ,\\[6mu]{\frac {2s}{1+s^{2}}}&=\sin \phi =\tanh \psi ,\quad &{\frac {1+s^{2}}{2s}}&=\csc \phi =\coth \psi ,\\[10mu]{\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}&=\cos \phi =\operatorname {sech} \psi ,\quad &{\frac {1+s^{2}}{1-s^{2}}}&=\sec \phi =\cosh \psi ,\\[10mu]{\frac {2s}{1-s^{2}}}&=\tan \phi =\sinh \psi ,\quad &{\frac {1-s^{2}}{2s}}&=\cot \phi =\operatorname {csch} \psi .\\[8mu]\end{aligned}}}$

Estas se utilizan comúnmente como expresiones para${\displaystyle \operatorname {gd} }$y${\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}}$para valores reales de${\displaystyle \psi }$y${\displaystyle \phi }$con${\displaystyle |\phi |<{\tfrac {1}{2}}\pi .}$Por ejemplo, las fórmulas numéricamente bien comportadas

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} \psi &=\operatorname {arctan} (\sinh \psi ),\\[6mu]\operatorname {gd} ^{-1}\phi &=\operatorname {arsinh} (\tan \phi ).\end{aligned}}}$

(Nota: para${\displaystyle |\phi |>{\tfrac {1}{2}}\pi }$y para argumentos complejos, se debe tener cuidado al elegir ramas de las funciones inversas.) ^{[ 7 ]}

También podemos expresar${\textstyle \psi }$y${\textstyle \phi }$en términos de${\textstyle s\colon }$

${\displaystyle {\begin{aligned}2\arctan s&=\phi =\operatorname {gd} \psi ,\\[6mu]2\operatorname {artanh} s&=\operatorname {gd} ^{-1}\phi =\psi .\\[6mu]\end{aligned}}}$

Si ampliamos${\textstyle \tan {\tfrac {1}{2}}}$y${\textstyle \tanh {\tfrac {1}{2}}}$en términos de la exponencial , entonces podemos ver que${\textstyle s,}$${\displaystyle \exp \phi i,}$y${\displaystyle \exp \psi }$son todas transformaciones de Möbius entre sí (específicamente, rotaciones de la esfera de Riemann ):

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=i{\frac {1-e^{\phi i}}{1+e^{\phi i}}}={\frac {e^{\psi }-1}{e^{\psi }+1}},\\[10mu]i{\frac {s-i}{s+i}}&=\exp \phi i\quad ={\frac {e^{\psi }-i}{e^{\psi }+i}},\\[10mu]{\frac {1+s}{1-s}}&=i{\frac {i+e^{\phi i}}{i-e^{\phi i}}}\,=\exp \psi .\end{aligned}}}$

Para valores reales de${\textstyle \psi }$y${\textstyle \phi }$con${\displaystyle |\phi |<{\tfrac {1}{2}}\pi }$Estas transformaciones de Möbius pueden escribirse en términos de funciones trigonométricas de varias maneras.

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp \psi &=\sec \phi +\tan \phi =\tan {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi +\phi {\bigr )}\\[6mu]&={\frac {1+\tan {\tfrac {1}{2}}\phi }{1-\tan {\tfrac {1}{2}}\phi }}={\sqrt {\frac {1+\sin \phi }{1-\sin \phi }}},\\[12mu]\exp \phi i&=\operatorname {sech} \psi +i\tanh \psi =\tanh {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}}\pi i+\psi {\bigr )}\\[6mu]&={\frac {1+i\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi }{1-i\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi }}={\sqrt {\frac {1+i\sinh \psi }{1-i\sinh \psi }}}.\end{aligned}}}$

Estas proporcionan expresiones adicionales para${\displaystyle \operatorname {gd} }$y${\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}}$para argumentos reales con${\displaystyle |\phi |<{\tfrac {1}{2}}\pi .}$Por ejemplo, ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} \psi &=2\arctan e^{\psi }-{\tfrac {1}{2}}\pi ,\\[6mu]\operatorname {gd} ^{-1}\phi &=\log(\sec \phi +\tan \phi ).\end{aligned}}}$

Como función de una variable compleja ,${\textstyle z\mapsto w=\operatorname {gd} z}$mapea conformemente la tira infinita${\textstyle \left|\operatorname {Im} z\right|\leq {\tfrac {1}{2}}\pi }$a la tira infinita${\textstyle \left|\operatorname {Re} w\right|\leq {\tfrac {1}{2}}\pi ,}$mientras${\textstyle w\mapsto z=\operatorname {gd} ^{-1}w}$mapea conformemente la tira infinita${\textstyle \left|\operatorname {Re} w\right|\leq {\tfrac {1}{2}}\pi }$a la tira infinita${\textstyle \left|\operatorname {Im} z\right|\leq {\tfrac {1}{2}}\pi .}$

Continuado analíticamente mediante reflexiones a todo el plano complejo,${\textstyle z\mapsto w=\operatorname {gd} z}$es una función periódica del período${\textstyle 2\pi i}$que envía cualquier tira infinita de "altura"${\textstyle 2\pi i}$sobre la tira${\textstyle -\pi <\operatorname {Re} w\leq \pi .}$Asimismo, extendido a todo el plano complejo,${\textstyle w\mapsto z=\operatorname {gd} ^{-1}w}$es una función periódica del período${\textstyle 2\pi }$que envía cualquier franja infinita de "ancho"${\textstyle 2\pi }$sobre la tira${\textstyle -\pi <\operatorname {Im} z\leq \pi .}$^{[ 9 ]} Para todos los puntos del plano complejo, estas funciones se pueden escribir correctamente como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} z&={2\arctan }{\bigl (}\tanh {\tfrac {1}{2}}z\,{\bigr )},\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}w&={2\operatorname {artanh} }{\bigl (}\tan {\tfrac {1}{2}}w\,{\bigr )}.\end{aligned}}}$

Para el${\textstyle \operatorname {gd} }$y${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}}$Para que las funciones permanezcan invertibles con estos dominios extendidos, podríamos considerar que cada una es una función multivaluada (quizás${\textstyle \operatorname {Gd} }$y${\textstyle \operatorname {Gd} ^{-1}}$, con${\textstyle \operatorname {gd} }$y${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}}$la rama principal ) o considerar sus dominios y codominios como superficies de Riemann .

Si${\textstyle u+iv=\operatorname {gd} (x+iy),}$Luego, los componentes reales e imaginarios.${\textstyle u}$y${\textstyle v}$se puede encontrar mediante: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \tan u={\frac {\sinh x}{\cos y}},\quad \tanh v={\frac {\sin y}{\cosh x}}.}$

(En la implementación práctica, asegúrese de usar la arctangente de 2 argumentos ,${\textstyle u=\operatorname {atan2} (\sinh x,\cos y)}$.)

Asimismo, si${\textstyle x+iy=\operatorname {gd} ^{-1}(u+iv),}$luego componentes${\textstyle x}$y${\textstyle y}$se puede encontrar mediante: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \tanh x={\frac {\sin u}{\cosh v}},\quad \tan y={\frac {\sinh v}{\cos u}}.}$

Al multiplicarlos juntos se revela la identidad adicional ^{[ 8 ].}

${\displaystyle \tanh x\,\tan y=\tan u\,\tanh v.}$

Como las funciones de Gudermann y de Gudermann inversa pueden definirse como las antiderivadas de las funciones secante hiperbólica y secante circular, respectivamente, sus derivadas son esas funciones secantes:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {gd} z&=\operatorname {sech} z,\\[10mu]{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {gd} ^{-1}z&=\sec z.\end{aligned}}}$

Al combinar identidades de adición de argumentos hiperbólicas y circulares ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(z+w)&={\frac {\tanh z+\tanh w}{1+\tanh z\,\tanh w}},\\[10mu]\tan(z+w)&={\frac {\tan z+\tan w}{1-\tan z\,\tan w}},\end{aligned}}}$

con la identidad circular-hiperbólica ,

${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} z)=\tanh {\tfrac {1}{2}}z,}$

Tenemos las identidades de adición de argumentos de Gudermann:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (z+w)&=2\arctan {\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} z)+\tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} w)}{1+\tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} z)\,\tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} w)}},\\[12mu]\operatorname {gd} ^{-1}(z+w)&=2\operatorname {artanh} {\frac {\tanh {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} ^{-1}z)+\tanh {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} ^{-1}w)}{1-\tanh {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} ^{-1}z)\,\tanh {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} ^{-1}w)}}.\end{aligned}}}$

Se pueden escribir otras identidades de adición de argumentos en términos de otras funciones circulares, ^{[ 15 ]} pero requieren mayor cuidado al elegir ramas en funciones inversas. En particular,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (z+w)&=u+v,\quad {\text{where}}\ \tan u={\frac {\sinh z}{\cosh w}},\ \tan v={\frac {\sinh w}{\cosh z}},\\[10mu]\operatorname {gd} ^{-1}(z+w)&=u+v,\quad {\text{where}}\ \tanh u={\frac {\sin z}{\cos w}},\ \tanh v={\frac {\sin w}{\cos z}},\end{aligned}}}$

que se puede utilizar para derivar el cálculo por componente para la Gudermanniana compleja y la Gudermanniana inversa. ^{[ 16 ]}

En el caso específico${\textstyle z=w,}$Las identidades de doble argumento son

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (2z)&=2\arctan(\sin(\operatorname {gd} z)),\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}(2z)&=2\operatorname {artanh} (\sinh(\operatorname {gd} ^{-1}z)).\end{aligned}}}$

La serie de Taylor cerca de cero, válida para valores complejos.${\textstyle z}$con${\textstyle |z|<{\tfrac {1}{2}}\pi ,}$son ^{[ 17 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} z&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {E_{k}}{(k+1)!}}z^{k+1}=z-{\frac {1}{6}}z^{3}+{\frac {1}{24}}z^{5}-{\frac {61}{5040}}z^{7}+{\frac {277}{72576}}z^{9}-\dots ,\\[10mu]\operatorname {gd} ^{-1}z&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|E_{k}|}{(k+1)!}}z^{k+1}=z+{\frac {1}{6}}z^{3}+{\frac {1}{24}}z^{5}+{\frac {61}{5040}}z^{7}+{\frac {277}{72576}}z^{9}+\dots ,\end{aligned}}}$

donde los números${\textstyle E_{k}}$son los números secantes de Euler , 1, 0, -1, 0, 5, 0, -61, 0, 1385 ... (secuencias A122045 , A000364 y ​​A028296 en la OEIS ). Estas series fueron calculadas por primera vez por James Gregory en 1671. ^{[ 18 ]}

Debido a que las funciones gudermanniana e inversa gudermanniana son las integrales de las funciones secante hiperbólica y secante, los numeradores${\textstyle E_{k}}$y${\textstyle |E_{k}|}$son los mismos que los numeradores de la serie de Taylor para sech y sec , respectivamente, pero desplazados un lugar.

Los numeradores reducidos sin signo son 1, 1, 1, 61, 277, ... y los denominadores reducidos son 1, 6, 24, 5040, 72576, ... (secuencias A091912 y A136606 en el OEIS ).

La función y su inversa están relacionadas con la proyección de Mercator . La coordenada vertical en la proyección de Mercator se llama latitud isométrica y a menudo se denota${\textstyle \psi .}$En términos de latitud${\textstyle \phi }$En la esfera (expresada en radianes ) se puede escribir la latitud isométrica.

${\displaystyle \psi =\operatorname {gd} ^{-1}\phi =\int _{0}^{\phi }\sec t\,\mathrm {d} t.}$

La inversa de la latitud isométrica a la latitud esférica es${\textstyle \phi =\operatorname {gd} \psi .}$(Nota: en un elipsoide de revolución , la relación entre la latitud geodésica y la latitud isométrica es un poco más compleja).

Gerardus Mercator trazó su célebre mapa en 1569, pero no reveló el método preciso de construcción. En 1599, Edward Wright describió un método para construir una proyección de Mercator numéricamente a partir de tablas trigonométricas, pero no proporcionó una fórmula cerrada. La fórmula cerrada fue publicada en 1668 por James Gregory .

La función gudermanniana propiamente dicha fue introducida por Johann Heinrich Lambert en la década de 1760, al mismo tiempo que las funciones hiperbólicas . La llamó "ángulo trascendente" y recibió varios nombres hasta 1862, cuando Arthur Cayley sugirió que se le diera su nombre actual como homenaje al trabajo de Christoph Gudermann en la década de 1830 sobre la teoría de las funciones especiales . ^{[ 19 ]} Gudermann había publicado artículos en Crelle's Journal que posteriormente se recopilaron en un libro ^{[ 20 ]} que exponía${\textstyle \sinh }$y${\textstyle \cosh }$a un público amplio (aunque representado por los símbolos)${\textstyle {\mathfrak {Sin}}}$y${\textstyle {\mathfrak {Cos}}}$).

La notación${\textstyle \operatorname {gd} }$fue presentada por Cayley, quien comienza llamando${\textstyle \phi =\operatorname {gd} u}$la amplitud elíptica de Jacobi${\textstyle \operatorname {am} u}$en el caso degenerado donde el módulo elíptico es${\textstyle m=1,}$de modo que${\textstyle {\sqrt {1-m\sin \!^{2}\,\phi }}}$se reduce a${\textstyle \cos \phi .}$^{[ 21 ]} Esta es la inversa de laintegral de la función secante. Usando la notación de Cayley,

${\displaystyle u=\int _{0}{\frac {d\phi }{\cos \phi }}={\log \,\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\phi {\bigr )}.}$

Luego deriva "la definición de lo trascendente",

${\displaystyle \operatorname {gd} u={{\frac {1}{i}}\log \,\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}ui{\bigr )},}$

observando que "aunque se exhibe en una forma imaginaria, [es] una función real de${\textstyle u}$".

El gudermanniano y su inversa se utilizaron para que las tablas trigonométricas de funciones circulares también funcionaran como tablas de funciones hiperbólicas. Dado un ángulo hiperbólico${\textstyle \psi }$Las funciones hiperbólicas se pueden encontrar buscando primero${\textstyle \phi =\operatorname {gd} \psi }$en una tabla de Gudermann y luego buscando la función circular apropiada de${\textstyle \phi }$o localizando directamente${\textstyle \psi }$en un auxiliar${\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}}$columna de la tabla trigonométrica. ^{[ 22 ]}

La función de Gudermann puede entenderse como una función que mapea puntos de una rama de una hipérbola a puntos de un semicírculo. De manera similar, los puntos de una hoja de un hiperboloide n- dimensional de dos hojas pueden mapearse a un hemisferio n- dimensional mediante proyección estereográfica. El modelo hemisférico del espacio hiperbólico utiliza este tipo de mapeo para representar dicho espacio.

• Al relacionar las funciones circulares e hiperbólicas, la función de Gudermann permite expresar un tipo de función en función del otro. Históricamente, se utilizaba para construir tablas de funciones hiperbólicas o, cuando se proporcionaba como una tabla específica, eliminaba la necesidad de tablas separadas de funciones hiperbólicas, ya que cada una podía calcularse consultando la tabla de Gudermann y, posteriormente, una tabla de funciones circulares. En algunos casos, el ángulo hiperbólico correspondiente a cada ángulo circular se incluía como una columna de una tabla trigonométrica estándar, lo que permitía utilizar esa misma tabla tanto para funciones circulares como hiperbólicas.
• La función del ángulo de paralelismo en geometría hiperbólica es el complemento de la función de Gudermann,${\displaystyle {\mathit {\Pi }}(\psi )={\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname {gd} \psi .}$
• En una proyección de Mercator, una línea de latitud constante es paralela al ecuador (en la proyección) a una distancia proporcional al antigudermanniano de la latitud.
• La función de Gudermann (con un argumento complejo ) puede utilizarse para definir la proyección transversal de Mercator . ^{[ 23 ]}
• La función de Gudermann aparece en una solución no periódica del péndulo invertido . ^{[ 24 ]}
• La función de Gudermann aparece en una solución de espejo móvil del efecto Casimir dinámico . ^{[ 25 ]}
• Si un número infinito de cables rectos, coplanares, equidistantes, coplanares e infinitamente largos se mantienen a potenciales iguales con signos alternos, la distribución del flujo potencial en un plano transversal perpendicular a los cables es la función compleja de Gudermann. ^{[ 26 ]}
• La función de Gudermann es una función sigmoide y, como tal, a veces se utiliza como función de activación en el aprendizaje automático.
• La función de Gudermann (escalada y desplazada) es la función de distribución acumulativa de la distribución secante hiperbólica .
• Una función basada en el gudermanniano proporciona un buen modelo para la forma de los brazos de las galaxias espirales . ^{[ 27 ]}

• Tractrix
• Catenaria §  Catenaria de igual fuerza

• Penn, Michael (2020) "¡La función de Gudermann!" en YouTube.