grupo lineal general

En matemáticas , el grupo lineal general de grado $n$ es el conjunto de $n\times n$ Matrices invertibles , junto con la operación de multiplicación de matrices ordinaria . Esto forma un grupo , porque el producto de dos matrices invertibles es también invertible, y la inversa de una matriz invertible es invertible, siendo la matriz identidad el elemento neutro del grupo. El grupo se denomina así porque las columnas (y también las filas) de una matriz invertible son linealmente independientes , por lo que los vectores/puntos que definen están en posición lineal general , y las matrices del grupo lineal general transforman puntos en posición lineal general en puntos en posición lineal general.

Para ser más precisos, es necesario especificar qué tipo de objetos pueden aparecer en las entradas de la matriz. Por ejemplo, el grupo lineal general sobre $\mathbb {R}$ (el conjunto de los números reales ) es el grupo de $n\times n$ matrices invertibles de números reales, y se denota por $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ o $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ .

De manera más general, el grupo lineal general de grado $n$ sobre cualquier campo $F$ (como los números complejos ), o un anillo $R$ (como el anillo de los enteros ), es el conjunto de $n\times n$ matrices invertibles con entradas de $F$ (o $R$ ), nuevamente con la multiplicación de matrices como operación de grupo. ^{[ 1 ]} La notación típica es $\operatorname {GL} (n,F)$ o $\operatorname {GL} _{n}(F)$ o simplemente $\operatorname {GL} (n)$ si se entiende el campo.

De forma aún más general, el grupo lineal general de un espacio vectorial $\operatorname {GL} (V)$ es el grupo de automorfismos , no necesariamente escrito como matrices.

El grupo lineal especial , escrito $\operatorname {SL} (n,F)$ o $\operatorname {SL} _{n}(F)$ , es el subgrupo de $\operatorname {GL} (n,F)$ que consiste en matrices con un determinante de 1.

El grupo $\operatorname {GL} (n,F)$ y sus subgrupos a menudo se denominan grupos lineales o grupos matriciales (el grupo de automorfismos). $\operatorname {GL} (V)$ es un grupo lineal pero no un grupo matricial). Estos grupos son importantes en la teoría de las representaciones de grupos y también surgen en el estudio de las simetrías espaciales y las simetrías de los espacios vectoriales en general, así como en el estudio de los polinomios . El grupo modular puede realizarse como un cociente del grupo lineal especial. $\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )$ .

Si $n\geq 2$ , luego el grupo $\operatorname {GL} (n,F)$ no es abeliano .

grupo lineal general de un espacio vectorial

Si $V$ es un espacio vectorial sobre el campo $F$ , el grupo lineal general de $V$ , escrito $\operatorname {GL} (V)$ o $\operatorname {Aut} (V)$ , es el grupo de todos los automorfismos de $V$ , es decir, el conjunto de todas las transformaciones lineales biyectivas $V\to V$ , junto con la composición funcional como operación de grupo. Si $V$ tiene dimensión finita $n$ , entonces $\operatorname {GL} (V)$ y $\operatorname {GL} (n,F)$ son isomorfos . El isomorfismo no es canónico; depende de una elección de base en $V$ Dado un fundamento $\{e_{1},\dots,e_{n}\}$ de $V$ y un automorfismo $T$ en $\operatorname {GL} (V)$ , entonces tenemos para cada vector base e _i que

T(e_{i})=\sum _ {j=1}^{n}a_ {ji}e_ {j}

para algunas constantes $a_{ij}$ en $F$ ; la matriz correspondiente a $T$ es entonces simplemente la matriz con entradas dadas por la $a_{ji}$ .

De manera similar, para un anillo conmutativo $R$ el grupo $\operatorname {GL} (n,R)$ puede interpretarse como el grupo de automorfismos de un libre $R$ -módulo $M$ de rango $n$ . También se puede definir GL( M ) para cualquier $R$ -módulo, pero en general esto no es isomorfo a $\operatorname {GL} (n,R)$ (para cualquier $n$ ).

En términos de determinantes

Sobre un campo $F$ , una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Por lo tanto, una definición alternativa de $\operatorname {GL} (n,F)$ es como el grupo de matrices con determinante distinto de cero.

Sobre un anillo conmutativo $R$ , se necesita más cuidado: una matriz sobre $R$ es invertible si y solo si su determinante es una unidad en $R$ , es decir, si su determinante es invertible en $R$ . Por lo tanto, $\operatorname {GL} (n,R)$ puede definirse como el grupo de matrices cuyos determinantes son unidades.

Sobre un anillo no conmutativo $R$ , los determinantes no se comportan en absoluto bien. En este caso, $\operatorname {GL} (n,R)$ puede definirse como el grupo unitario del anillo matricial $M(n,R)$ .

Como grupo/álgebra de Lie

Caso real

El grupo lineal general $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ sobre el campo de los números reales es un grupo de Lie real de dimensión $n^{2}$ Para ver esto, observe que el conjunto de todos $n\times n$ matrices reales, $M_{n}(\mathbb {R} )$ , forma un espacio vectorial real de dimensión $n^{2}$ . El subconjunto $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ consiste en aquellas matrices cuyo determinante es distinto de cero. El determinante es una función polinómica y, por lo tanto, $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ es una subvariedad afín abierta de $M_{n}(\mathbb {R} )$ (un subconjunto abierto no vacío de $M_{n}(\mathbb {R} )$ en la topología de Zariski ), y por lo tanto ^{[ 2 ]} una variedad lisa de la misma dimensión.

El álgebra de Lie de $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ , denotado ${\mathfrak {gl}}_{n},$ consta de todo $n\times n$ matrices reales con el conmutador funcionando como corchete de Lie.

Como un colector, $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ no está conectada sino que tiene dos componentes conectadas : las matrices con determinante positivo y las que tienen determinante negativo. La componente identidad , denotada por $\operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )$ , consiste en el real $n\times n$ matrices con determinante positivo. Este es también un grupo de Lie de dimensión $n^{2}$ ; tiene la misma álgebra de Lie que $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ .

La descomposición polar , que es única para matrices invertibles, muestra que existe un homeomorfismo entre $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ y el producto cartesiano de $\operatorname {O} (n)$ con el conjunto de matrices simétricas definidas positivas. De manera similar, muestra que existe un homeomorfismo entre $\operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )$ y el producto cartesiano de $\operatorname {SO} (n)$ con el conjunto de matrices simétricas definidas positivas. Debido a que este último es contraíble, el grupo fundamental de $\operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )$ es isomorfo a aquel de $\operatorname {SO} (n)$ .

El homeomorfismo también muestra que el grupo $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ no es compacto . “El” ^{[ 3 ]} subgrupo compacto maximal de $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ es el grupo ortogonal $\operatorname {O} (n)$ , mientras que "el" subgrupo compacto maximal de $\operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )$ es el grupo ortogonal especial $\operatorname {SO} (n)$ En cuanto a $\operatorname {SO} (n)$ , el grupo $\operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )$ no está simplemente conectado (excepto cuando $n=1$ , sino que tiene un grupo fundamental isomorfo a $\mathbb {Z}$ para $n=2$ o $\mathbb {Z} _{2}$ para $n>2$ .

Caso complejo

El grupo lineal general sobre el campo de los números complejos , $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ , es un grupo de Lie complejo de dimensión compleja $n^{2}$ . Como un verdadero grupo de mentiras (a través de la realización) tiene dimensión $2n^{2}$ . El conjunto de todas las matrices reales forma un subgrupo de Lie real. Estos corresponden a las inclusiones

\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )<\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )<\operatorname {GL} (2n,\mathbb {R} )

,

que tienen dimensiones reales $n^{2}$ , $2n^{2}$ , y $(2n)^{2}=4n^{2}$ . Complejo $n$ Las matrices de dimensión pueden caracterizarse como reales $2n$ matrices de dimensión que preservan una estructura compleja lineal ; es decir, matrices que conmutan con una matriz $J$ de tal manera que $J^{2}=-I$ , dónde $J$ corresponde a multiplicar por la unidad imaginaria $i$ .

El álgebra de Lie correspondiente a $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ consta de todo $n\times n$ Matrices complejas cuyo conmutador actúa como corchete de Lie.

A diferencia del caso real, $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ está conectado . Esto se deduce, en parte, de que el grupo multiplicativo de números complejos $\mathbb {C} ^{\times }$ está conectado. El grupo múltiple $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ no es compacto; más bien su subgrupo compacto máximo es el grupo unitario. $\operatorname {U} (n)$ En cuanto a $\operatorname {U} (n)$ , el grupo múltiple $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ no está simplemente conectado sino que tiene un grupo fundamental isomorfo a $\mathbb {Z}$ .

Sobre campos finitos

Si $F$ es un campo finito con $q$ elementos, entonces a veces escribimos $\operatorname {GL} (n,q)$ en lugar de $\operatorname {GL} (n,F)$ . Cuando p es primo, $\operatorname {GL} (n,p)$ es el grupo de automorfismos externos del grupo $\mathbb {Z} _{p}^{n}$ y también el grupo de automorfismos , porque $\mathbb {Z} _{p}^{n}$ es abeliano, por lo que el grupo de automorfismos internos es trivial.

El orden de $\operatorname {GL} (n,q)$ es:

\prod _{k=0}^{n-1}(q^{n}-q^{k})=(q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\ \cdots \ (q^{n}-q^{n-1}).

Esto se puede demostrar contando las posibles columnas de la matriz: la primera columna puede ser cualquier cosa menos el vector cero; la segunda columna puede ser cualquier cosa menos los múltiplos de la primera columna; y en general, la $k$ La columna puede ser cualquier vector que no esté en el espacio lineal generado por la primera. $k-1$ columnas. En notación análoga a q , esto es $[n]_{q}!(q-1)^{n}q^{n \choose 2}$ .

Por ejemplo, GL(3, 2) tiene orden (8 − 1)(8 − 2)(8 − 4) = 168. Es el grupo de automorfismos del plano de Fano y del grupo $\mathbb {Z} _{2}^{3}$ . Este grupo también es isomorfo a PSL(2, 7) .

De manera más general, se pueden contar puntos de Grassmann sobre $F$ : en otras palabras, el número de subespacios de una dimensión dada $k$ . Esto requiere solo encontrar el orden del subgrupo estabilizador de uno de esos subespacios y dividirlo en la fórmula que acabamos de dar, por el teorema de la órbita estabilizadora .

Estas fórmulas están relacionadas con la descomposición de Schubert de la grassmanniana y son q- análogos de los números de Betti de las grassmannianas complejas. Esta fue una de las pistas que condujeron a las conjeturas de Weil .

Nótese que en el límite $q\to 1$ el orden de $\operatorname {GL} (n,q)$ ¡va a 0! – pero bajo el procedimiento correcto (dividiendo por $(q-1)^{n}$ ) vemos que es el orden del grupo simétrico (véase el artículo de Lorscheid). En la filosofía del cuerpo con un elemento , se interpreta así el grupo simétrico como el grupo lineal general sobre el cuerpo con un elemento: $S_{n}\cong \operatorname {GL} (n,1)$ .

Historia

El grupo lineal general sobre un cuerpo primo, $\operatorname {GL} (\nu ,p)$ , fue construida y su orden calculado por Évariste Galois en 1832, en su última carta (a Chevalier) y segundo (de tres) manuscritos adjuntos, que utilizó en el contexto del estudio del grupo de Galois de la ecuación general de orden $p^{\nu }$ . ^{[ 4 ]}

Grupo lineal especial

El grupo lineal especial , $\operatorname {SL} (n,F)$ , es el grupo de todas las matrices con determinante 1. Estas matrices son especiales porque pertenecen a una subvariedad : satisfacen una ecuación polinómica (ya que el determinante es un polinomio en sus entradas). Las matrices de este tipo forman un grupo, puesto que el determinante del producto de dos matrices es el producto de los determinantes de cada matriz.

Si escribimos $F^{\times }$ para el grupo multiplicativo de $F$ (eso es, $F$ excluyendo 0), entonces el determinante es un homomorfismo de grupo

{\displaystyle \det

que es sobreyectiva y su núcleo es el grupo lineal especial. Por lo tanto, $\operatorname {SL} (n,F)$ es un subgrupo normal de $\operatorname {GL} (n,F)$ y por el primer teorema de isomorfismo , $\operatorname {GL} (n,F)/\operatorname {SL} (n,F)$ es isomorfo a $F^{\times }$ . De hecho, $\operatorname {GL} (n,F)$ se puede escribir como un producto semidirecto :

\operatorname {GL} (n,F)=\operatorname {SL} (n,F)\rtimes F^{\times }

.

El grupo lineal especial es también el grupo derivado (también conocido como subgrupo conmutador) de $\operatorname {GL} (n,F)$ (para un campo o un anillo divisorio) $F$ ), siempre que $n\neq 2$ o $F$ no es el campo con dos elementos . ^{[ 5 ]}

Cuando $F$ es $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$ , $\operatorname {SL} (n,F)$ es un subgrupo de Lie de $\operatorname {GL} (n,F)$ de dimensión $n^{2}-1$ . El álgebra de Lie de $\operatorname {SL} (n,F)$ consta de todo $n\times n$ matrices sobre $F$ con traza evanescente . El corchete de Lie viene dado por el conmutador .

El grupo lineal especial $\operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )$ puede caracterizarse como el grupo de transformaciones lineales que preservan el volumen y la orientación de $\mathbb {R} ^{n}$ .

El grupo $\operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )$ simplemente está conectado, mientras que $\operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )$ no lo es. $\operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )$ tiene el mismo grupo fundamental que $\operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )$ , eso es, $\mathbb {Z}$ para $n=2$ y $\mathbb {Z} _{2}$ para $n>2$ .

Otros subgrupos

subgrupos diagonales

El conjunto de todas las matrices diagonales invertibles forma un subgrupo de $\operatorname {GL} (n,F)$ isomorfo a $(F^{\times })^{n}$ En campos como $\mathbb {R}$ y $\mathbb {C}$ , estas corresponden a un cambio de escala del espacio; las llamadas dilataciones y contracciones.

Una matriz escalar es una matriz diagonal que es una constante multiplicada por la matriz identidad . El conjunto de todas las matrices escalares no nulas forma un subgrupo de $\operatorname {GL} (n,F)$ isomorfo a $F^{\times }$ Este grupo es el centro de $\operatorname {GL} (n,F)$ En particular, se trata de un subgrupo normal y abeliano.

El centro de $\operatorname {SL} (n,F)$ es simplemente el conjunto de todas las matrices escalares con determinante unitario, y es isomorfo al grupo de $n$ las raíces de la unidad en el campo $F$ .

Grupos clásicos

Los llamados grupos clásicos son subgrupos de $\operatorname {GL} (V)$ que conservan algún tipo de forma bilineal en un espacio vectorial $V$ Estos incluyen el

grupo ortogonal , $\operatorname {O} (V)$ , que conserva una forma cuadrática no degenerada en $V$ ,
grupo simpléctico , $\operatorname {Sp} (V)$ , que conserva una forma simpléctica en $V$ (una forma alternante no degenerada ),
grupo unitario , $\operatorname {U} (V)$ , que, cuando $F=\mathbb {C}$ , conserva una forma hermitiana no degenerada en $V$ .

Estos grupos constituyen ejemplos importantes de grupos mentirosos.

Grupos relacionados y monoides

Grupo lineal proyectivo

El grupo lineal proyectivo $\operatorname {PGL} (n,F)$ y el grupo lineal especial proyectivo $\operatorname {PSL} (n,F)$ son los cocientes de $\operatorname {GL} (n,F)$ y $\operatorname {SL} (n,F)$ por sus centros (que consisten en los múltiplos de la matriz identidad en ellos); son la acción inducida sobre el espacio proyectivo asociado .

grupo afín

El grupo afín $\operatorname {Aff} (n,F)$ es una extensión de $\operatorname {GL} (n,F)$ por el grupo de traducciones en $F^{n}$ Se puede escribir como un producto semidirecto :

\operatorname {Aff} (n,F)=\operatorname {GL} (n,F)\ltimes F^{n}

dónde $\operatorname {GL} (n,F)$ actúa en $F^{n}$ de forma natural. El grupo afín puede considerarse como el grupo de todas las transformaciones afines del espacio afín subyacente al espacio vectorial. $F^{n}$ .

Se tienen construcciones análogas para otros subgrupos del grupo lineal general: por ejemplo, el grupo afín especial es el subgrupo definido por el producto semidirecto, $\operatorname {SL} (n,F)\ltimes F^{n}$ y el grupo de Poincaré es el grupo afín asociado al grupo de Lorentz , $\operatorname {O} (1,3,F)\ltimes F^{n}$ .

grupo semilineal general

El grupo semilineal general $\operatorname {\Gamma L} (n,F)$ es el grupo de todas las transformaciones semilineales invertibles y contiene $\operatorname {GL} (n,F)$ Una transformación semilineal es una transformación que es lineal “salvo una torsión”, es decir, “salvo un automorfismo de cuerpo bajo multiplicación escalar”. Se puede escribir como un producto semidirecto:

\operatorname {\Gamma L} (n,F)=\operatorname {Gal} (F)\ltimes \operatorname {GL} (n,F)

dónde $\operatorname {Gal} (F)$ es el grupo de Galois de $F$ (sobre su campo principal ), que actúa sobre $\operatorname {GL} (n,F)$ por la acción de Galois sobre las entradas.

El principal interés de $\operatorname {\Gamma L} (n,F)$ es que el grupo semilineal proyectivo asociado $\operatorname {P\Gamma L} (n,F)$ , que contiene $\operatorname {PGL} (n,F)$ , es el grupo de colineación del espacio proyectivo , para $n>2$ y, por lo tanto, los mapas semilineales son de interés en la geometría proyectiva .

monoide lineal completo

Si se elimina la restricción de que el determinante sea distinto de cero, la estructura algebraica resultante es un monoide , generalmente llamado monoide lineal completo , ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} pero ocasionalmente también semigrupo lineal completo , ^{[ 9 ]} monoide lineal general ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]} etc. En realidad es un semigrupo regular . ^{[ 7 ]}

Grupo lineal general infinito

El grupo lineal general infinito o grupo lineal general estable es el límite directo de las inclusiones. $\operatorname {GL} (n,F)\to \operatorname {GL} (n+1,F)$ como matrices diagonales por bloques con un añadido $1$ entrada en la parte inferior derecha. Se indica mediante $\operatorname {GL} (F)$ o $\operatorname {GL} (\infty ,F)$ y también pueden interpretarse como matrices infinitas invertibles que difieren de la matriz identidad solo en un número finito de lugares. ^{[ 12 ]}

Se utiliza en la teoría K algebraica para definir K ₁ , y sobre los números reales tiene una topología bien comprendida, gracias a la periodicidad de Bott .

No debe confundirse con el espacio de operadores invertibles (acotados) en un espacio de Hilbert , que es un grupo más grande y topológicamente mucho más simple, a saber, contraíble – véase el teorema de Kuiper .

Véase también

Notas

↑ Aquí se supone que los anillos son asociativos y unitarios .
↑ Dado que la topología de Zariski es más gruesa que la topología métrica, equivalentemente, los mapas polinomiales son continuos .
↑ Un subgrupo compacto maximal no es único, pero es esencialmente único , por lo que a menudo se hace referencia al “subgrupo compacto maximal”.
^ Galois, Évariste (1846). «Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier» . Revista de Mathématiques Pures et Appliquées . XI : 408– 415. Archivado desde el original el 26 de abril de 2021 . Consultado el 4 de febrero de 2009 , GL( ν , p ) discutido en la p. 410.{{cite journal}}: CS1 mantenimiento: postscript ( enlace )
↑ Suprunenko, DA (1976), Grupos matriciales , Traducciones de monografías matemáticas, Sociedad Matemática Americana, Teorema II.9.4
↑ Jan Okniński (1998). Semigrupos de matrices . World Scientific. Capítulo 2: Monoide lineal completo. ISBN 978-981-02-3445-4.
1 2 Meakin (2007). «Grupos y semigrupos: conexiones y contraste». En CM Campbell (ed.). Grupos St Andrews 2005. Cambridge University Press. pág. 471. ISBN 978-0-521-69470-4.
↑ John Rhodes; Benjamin Steinberg (2009). La q-teoría de los semigrupos finitos . Springer Science & Business Media. pág. 306. ISBN 978-0-387-09781-7.
↑ Eric Jespers; Jan Okniski (2007). Álgebras de semigrupos noetherianos . Springer Science & Business Media. 2.3: Semigrupo lineal completo. ISBN 978-1-4020-5810-3.
↑ Meinolf Geck (2013). Introducción a la geometría algebraica y a los grupos algebraicos . Oxford University Press. pág. 132. ISBN 978-0-19-967616-3.
^ Mahir Bilen puede; Zhenheng Li; Benjamín Steinberg; Qiang Wang (2014). Monoides algebraicos, incrustaciones de grupos y combinatoria algebraica . Saltador. pag. 142.ISBN 978-1-4939-0938-4.
↑ Milnor, John Willard (1971). Introducción a la K-teoría algebraica . Annals of Mathematics Studies. Vol. 72. Princeton, NJ: Princeton University Press . p. 25. MR 0349811. Zbl 0237.18005 .

Referencias

Springer, Tonny Albert (1998). Grupos algebraicos lineales (2.ª ed.). Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4839-8.

Enlaces externos

"Grupo lineal general" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
"GL(2, p ) y GL(3, 3) Actuando sobre Puntos" por Ed Pegg, Jr. , Proyecto de Demostraciones de Wolfram , 2007.

[ring-1] Aquí se supone que los anillos son asociativos y unitarios .

[2] Dado que la topología de Zariski es más gruesa que la topología métrica, equivalentemente, los mapas polinomiales son continuos .

[3] Un subgrupo compacto maximal no es único, pero es esencialmente único , por lo que a menudo se hace referencia al “subgrupo compacto maximal”.

[chevalier-letter-4] Galois, Évariste (1846). «Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier» . Revista de Mathématiques Pures et Appliquées . XI : 408– 415. Archivado desde el original el 26 de abril de 2021 . Consultado el 4 de febrero de 2009 , GL( ν , p ) discutido en la p. 410.{{cite journal}}: CS1 mantenimiento: postscript ( enlace )

[5] Suprunenko, DA (1976), Grupos matriciales , Traducciones de monografías matemáticas, Sociedad Matemática Americana, Teorema II.9.4

[Okniński1998-6] Jan Okniński (1998). Semigrupos de matrices . World Scientific. Capítulo 2: Monoide lineal completo. ISBN 978-981-02-3445-4.

[Meakin-7] 1 2 Meakin (2007). «Grupos y semigrupos: conexiones y contraste». En CM Campbell (ed.). Grupos St Andrews 2005. Cambridge University Press. pág. 471. ISBN 978-0-521-69470-4.

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