Filtro (procesamiento de señales)

En el procesamiento de señales , un filtro es un dispositivo o proceso que elimina componentes o características no deseadas de una señal . El filtrado es una clase de procesamiento de señales, cuya característica definitoria es la supresión total o parcial de algún aspecto de la señal. Generalmente, esto implica la eliminación de ciertas frecuencias o bandas de frecuencia. Sin embargo, los filtros no actúan exclusivamente en el dominio de la frecuencia ; especialmente en el campo del procesamiento de imágenes, existen muchos otros objetivos de filtrado. Las correlaciones pueden eliminarse para ciertos componentes de frecuencia y no para otros sin necesidad de actuar en el dominio de la frecuencia. Los filtros se utilizan ampliamente en electrónica y telecomunicaciones , en radio , televisión , grabación de audio , radar , sistemas de control , síntesis musical , procesamiento de imágenes , gráficos por computadora y dinámica estructural .

Existen muchas bases diferentes para clasificar los filtros, y estas se superponen de diversas maneras; no existe una clasificación jerárquica simple. Los filtros pueden ser:

• no lineal o lineal
• Invariante en el tiempo o invariante en el tiempo , también conocida como invariancia de desplazamiento. Si el filtro opera en un dominio espacial, entonces la caracterización es invariante en el espacio.
• Causal o no causal: Un filtro es no causal si su salida actual depende de una entrada futura. Los filtros que procesan señales en el dominio del tiempo en tiempo real deben ser causales, pero no así los filtros que actúan sobre señales en el dominio espacial ni los que procesan señales en el dominio del tiempo con retardo.
• analógico o digital
• tiempo discreto (muestreado) o tiempo continuo
• Filtro de tiempo continuo de tipo pasivo o activo
• Filtro digital o de tiempo discreto de tipo respuesta de impulso infinita (IIR) o respuesta de impulso finita (FIR).

En el procesamiento de señales analógicas, el término "filtro" se refiere comúnmente a un circuito lineal de tiempo continuo , y a menudo se utiliza simplemente como sinónimo. Estos circuitos suelen diseñarse para eliminar ciertas frecuencias y permitir el paso de otras. Generalmente, su respuesta es lineal , o al menos aproximadamente lineal. Cualquier no linealidad podría provocar que la señal de salida contuviera componentes de frecuencia ausentes en la señal de entrada.

La metodología de diseño moderna para filtros lineales de tiempo continuo se denomina síntesis de redes . Algunas familias de filtros importantes diseñadas de esta manera son:

• El filtro de Chebyshev ofrece la mejor aproximación a la respuesta ideal de cualquier filtro para un orden y una ondulación específicos.
• El filtro Butterworth tiene una respuesta de frecuencia lo más plana posible.
• El filtro de Bessel tiene un retardo de fase lo más plano posible .
• El filtro elíptico tiene el corte más pronunciado de todos los filtros para un orden y una ondulación específicos.

La diferencia entre estas familias de filtros es que todas utilizan una función polinómica diferente para aproximarse a la respuesta ideal del filtro . Esto da como resultado que cada una tenga una función de transferencia diferente .

Otra metodología más antigua y menos utilizada es el método de parámetros de imagen . Los filtros diseñados con esta metodología se denominan antiguamente "filtros de onda". Algunos filtros importantes diseñados con este método son:

• Filtro de k constante , la forma original y más simple de filtro de onda.
• Filtro derivado de m , una modificación de la constante k con pendiente de corte mejorada y adaptación de impedancia .

Terminología

Algunos términos utilizados para describir y clasificar los filtros lineales:

• La respuesta en frecuencia se puede clasificar en varias formas de banda diferentes que describen qué bandas de frecuencia deja pasar el filtro (la banda de paso ) y cuáles rechaza (la banda de rechazo ):
  • Filtro de paso bajo : permite el paso de las frecuencias bajas y atenúa las frecuencias altas. 
  • Filtro de paso alto : permite el paso de las frecuencias altas y atenúa las frecuencias bajas. 
  • Filtro de paso de banda : solo se dejan pasar las frecuencias que se encuentran dentro de una banda de frecuencia. 
  • Filtro de rechazo de banda o filtro de banda eliminada : solo se atenúan las frecuencias que se encuentran dentro de una banda de frecuencia. 
  • Filtro de muesca : rechaza solo una frecuencia específica; un filtro de rechazo de banda extremo. 
  • Filtro de peine : tiene múltiples bandas de paso estrechas y espaciadas regularmente, lo que le da a la forma de banda la apariencia de un peine. 
  • Filtro paso todo : se dejan pasar todas las frecuencias, pero se modifica la fase de la salida. 
• La frecuencia de corte es la frecuencia más allá de la cual el filtro no deja pasar las señales. Generalmente se mide con una atenuación específica, como 3  dB.
• La atenuación progresiva es la velocidad a la que la atenuación aumenta más allá de la frecuencia de corte.
• Banda de transición , la banda de frecuencias (generalmente estrecha) entre una banda de paso y una banda de rechazo.
• La ondulación es la variación de la pérdida de inserción del filtro en la banda de paso.
• El orden de un filtro es el grado del polinomio de aproximación y, en los filtros pasivos, corresponde al número de elementos necesarios para construirlo. Un orden creciente aumenta la atenuación y acerca el filtro a la respuesta ideal.

Una aplicación importante de los filtros se encuentra en las telecomunicaciones . Muchos sistemas de telecomunicaciones utilizan la multiplexación por división de frecuencia (FDM) , donde los diseñadores del sistema dividen una banda de frecuencia amplia en varias bandas más estrechas llamadas "ranuras" o "canales", y a cada flujo de información se le asigna uno de esos canales. Quienes diseñan los filtros en cada transmisor y receptor buscan un equilibrio que permita el paso de la señal deseada con la mayor precisión posible, minimizando al mismo tiempo la interferencia proveniente de otros transmisores y fuentes de ruido externas al sistema, todo ello a un costo razonable.

Los sistemas de modulación digital multinivel y multifase requieren filtros que tengan un retardo de fase plano ( fase lineal en la banda de paso) para preservar la integridad del pulso en el dominio del tiempo, ^{[ 1 ]} lo que produce menos interferencia entre símbolos que otros tipos de filtros.

Por otro lado, los sistemas de audio analógicos que utilizan transmisión analógica pueden tolerar fluctuaciones mucho mayores en el retardo de fase , por lo que los diseñadores de dichos sistemas a menudo sacrifican deliberadamente la fase lineal para obtener filtros que son mejores en otros aspectos: mejor rechazo de banda de parada, menor ondulación de amplitud en la banda de paso, menor coste, etc.

Los filtros pueden construirse con diversas tecnologías. La misma función de transferencia puede implementarse de varias maneras; es decir, las propiedades matemáticas del filtro son las mismas, pero las propiedades físicas son bastante diferentes. A menudo, los componentes de las distintas tecnologías son análogos entre sí y cumplen la misma función en sus respectivos filtros. Por ejemplo, las resistencias, los inductores y los condensadores en electrónica corresponden respectivamente a los amortiguadores, las masas y los resortes en mecánica. Del mismo modo, existen componentes correspondientes en los filtros de elementos distribuidos .

• Los filtros electrónicos eran originalmente totalmente pasivos y consistían en resistencia, inductancia y capacitancia. La tecnología activa simplifica el diseño y abre nuevas posibilidades en las especificaciones de los filtros.
• Los filtros digitales operan sobre señales representadas digitalmente. La esencia de un filtro digital radica en que implementa directamente, mediante programación o microcódigo, un algoritmo matemático que corresponde a la función de transferencia deseada.
• Los filtros mecánicos se construyen a partir de componentes mecánicos. En la gran mayoría de los casos, se utilizan para procesar una señal electrónica y se les proporcionan transductores para convertirla en vibración mecánica y viceversa. Sin embargo, existen ejemplos de filtros diseñados para operar exclusivamente en el ámbito mecánico.
• Los filtros de elementos distribuidos se construyen a partir de componentes formados por pequeños trozos de línea de transmisión u otros elementos distribuidos . Existen estructuras en los filtros de elementos distribuidos que se corresponden directamente con los elementos concentrados de los filtros electrónicos, y otras que son exclusivas de esta clase de tecnología.
• Los filtros de guía de onda constan de componentes de guía de onda o componentes insertados en la guía de onda. Las guías de onda son un tipo de línea de transmisión, y muchas estructuras de filtros de elementos distribuidos, como el stub , también pueden implementarse en guías de onda.
• Los filtros ópticos se desarrollaron originalmente para fines distintos al procesamiento de señales, como la iluminación y la fotografía. Sin embargo, con el auge de la tecnología de fibra óptica , los filtros ópticos encuentran cada vez más aplicaciones en el procesamiento de señales, y la terminología propia de este campo, como filtro de paso largo y filtro de paso corto , se está incorporando al mismo.
• El filtro transversal , o filtro de línea de retardo, funciona sumando copias de la señal de entrada tras diferentes retardos. Esto puede implementarse con diversas tecnologías, como líneas de retardo analógicas , circuitos activos, líneas de retardo CCD o completamente en el dominio digital.

Filtros digitales

El procesamiento digital de señales permite la construcción económica de una amplia variedad de filtros. La señal se muestrea y un convertidor analógico-digital la transforma en una secuencia numérica. Un programa informático que se ejecuta en una CPU o un DSP especializado (o, con menos frecuencia, en una implementación de hardware del algoritmo ) calcula una secuencia numérica de salida. Esta salida se puede convertir en una señal mediante un convertidor digital-analógico . Si bien existen problemas con el ruido introducido por las conversiones, estos pueden controlarse y limitarse para muchos filtros útiles. Debido al muestreo, la señal de entrada debe tener un contenido de frecuencia limitado para evitar el aliasing .

Filtros de cuarzo y materiales piezoeléctricos

A finales de la década de 1930, los ingenieros se percataron de que pequeños sistemas mecánicos fabricados con materiales rígidos como el cuarzo resonaban acústicamente a frecuencias de radio, es decir, desde frecuencias audibles ( sonido ) hasta varios cientos de megahercios. Algunos de los primeros resonadores se fabricaron con acero , pero el cuarzo pronto se convirtió en el material preferido. La mayor ventaja del cuarzo es su piezoelectricidad . Esto significa que los resonadores de cuarzo pueden convertir directamente su propio movimiento mecánico en señales eléctricas. El cuarzo también tiene un coeficiente de dilatación térmica muy bajo, lo que permite que los resonadores de cuarzo produzcan frecuencias estables en un amplio rango de temperaturas. Los filtros de cristal de cuarzo tienen factores de calidad mucho mayores que los filtros LCR. Cuando se requiere mayor estabilidad, los cristales y sus circuitos de control pueden montarse en un horno de cristal para controlar la temperatura. Para filtros de banda muy estrecha, a veces se utilizan varios cristales en serie.

Se puede integrar un gran número de cristales en un solo componente mediante la colocación de capas metálicas en forma de peine sobre un cristal de cuarzo. En este sistema, una línea de retardo con derivaciones refuerza las frecuencias deseadas a medida que las ondas sonoras se propagan por la superficie del cristal de cuarzo. Esta línea de retardo con derivaciones se ha convertido en un método común para la fabricación de filtros de alto factor Q mediante diversas técnicas.

La función de transferencia de un filtro se define con mayor frecuencia en el dominio de las frecuencias complejas. El paso de ida y vuelta a este dominio se realiza mediante la transformada de Laplace y su inversa (por lo tanto, en adelante, el término "señal de entrada" se entenderá como "la transformada de Laplace de" la representación temporal de la señal de entrada, y así sucesivamente).

La función de transferencia${\displaystyle H(s)}$de un filtro es la relación de la señal de salida${\displaystyle Y(s)}$a la señal de entrada${\displaystyle X(s)}$en función de la frecuencia compleja${\displaystyle s}$:

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}}$

con${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$.

Para filtros que están construidos con componentes discretos ( elementos concentrados ):

• Su función de transferencia será la razón de polinomios en${\displaystyle s}$, es decir, una función racional de${\displaystyle s}$. El orden de la función de transferencia será la potencia más alta de${\displaystyle s}$se encuentra en el polinomio del numerador o del denominador.
• Los polinomios de la función de transferencia tendrán coeficientes reales. Por lo tanto, los polos y ceros de la función de transferencia serán reales o aparecerán en pares complejos conjugados.
• Dado que se supone que los filtros son estables, la parte real de todos los polos (es decir, los ceros del denominador) será negativa, es decir, estarán situados en el semiplano izquierdo en el espacio de frecuencias complejas.

En general, los filtros de elementos distribuidos no tienen funciones de transferencia racionales, pero pueden aproximarlas.

La construcción de una función de transferencia implica la transformada de Laplace y, por lo tanto, es necesario asumir condiciones iniciales nulas, porque

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {df}{dt}}\right\}=s\cdot {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}-f(0),}$

Y cuando f (0)  =  0 podemos eliminar las constantes y usar la expresión habitual.

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {df}{dt}}\right\}=s\cdot {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}$

Una alternativa a las funciones de transferencia consiste en describir el comportamiento del filtro como una convolución de la entrada en el dominio del tiempo con la respuesta impulsional del filtro . El teorema de convolución , válido para las transformadas de Laplace, garantiza la equivalencia con las funciones de transferencia.

Clasificación

Algunos filtros pueden especificarse por familia y forma de banda. La familia de un filtro se define mediante el polinomio de aproximación utilizado, y cada uno de ellos da lugar a ciertas características de la función de transferencia del filtro. Algunas familias de filtros comunes y sus características particulares son:

• Filtro Butterworth : sin ondulación de ganancia en la banda de paso y en la banda de rechazo, corte lento. 
• Filtro Chebyshev (Tipo I) : sin ondulación de ganancia en la banda de rechazo, corte moderado. 
• Filtro Chebyshev (Tipo II) : sin ondulación de ganancia en la banda de paso, corte moderado. 
• Filtro Bessel : sin rizado de retardo de grupo , sin rizado de ganancia en ambas bandas, corte de ganancia lento. 
• Filtro elíptico : ondulación de ganancia en la banda de paso y de rechazo, corte rápido. 
• Filtro "L" óptimo
• Filtro gaussiano : no hay ondulación en respuesta a la función escalón. 
• Filtro de coseno elevado

Cada familia de filtros puede especificarse con un orden determinado. Cuanto mayor sea el orden, más se aproximará el filtro al filtro "ideal"; sin embargo, también será mayor la respuesta impulsional y la latencia. Un filtro ideal presenta transmisión total en la banda de paso, atenuación completa en la banda de rechazo y una transición abrupta entre ambas bandas. Este filtro tiene un orden infinito (es decir, su respuesta no puede expresarse como una ecuación diferencial lineal con una suma finita) y una latencia infinita (es decir, su soporte compacto en la transformada de Fourier obliga a que su respuesta temporal sea perpetua).

Aquí se muestra una imagen que compara los filtros Butterworth, Chebyshev y elípticos. Todos los filtros de esta ilustración son filtros paso bajo de quinto orden. La implementación específica ( analógica o digital, pasiva o activa ) no influye; su salida sería la misma. Como se aprecia en la imagen, los filtros elípticos ofrecen una respuesta más nítida que los demás, pero presentan ondulaciones en todo el ancho de banda.  

Cualquier familia de filtros puede utilizarse para implementar una forma de banda específica, determinando qué frecuencias se transmiten y cuáles, fuera de la banda de paso, se atenúan en mayor o menor medida. La función de transferencia define completamente el comportamiento de un filtro lineal, pero no la tecnología específica empleada para su implementación. En otras palabras, existen diversas maneras de lograr una función de transferencia determinada al diseñar un circuito. Una forma de banda específica de un filtro puede obtenerse mediante la transformación de un filtro prototipo de esa familia.

Las estructuras de adaptación de impedancia adoptan invariablemente la forma de un filtro, es decir, una red de elementos no disipativos. Por ejemplo, en una implementación de electrónica pasiva, probablemente adoptaría la forma de una topología en escalera de inductores y capacitores. El diseño de redes de adaptación comparte muchas similitudes con los filtros, y su función de filtrado será invariablemente una consecuencia incidental. Si bien el propósito principal de una red de adaptación no es filtrar, a menudo ambas funciones se combinan en el mismo circuito. La necesidad de adaptación de impedancia no surge cuando las señales se encuentran en el dominio digital.

Se pueden hacer comentarios similares con respecto a los divisores de potencia y los acopladores direccionales . Cuando se implementan en un formato de elementos distribuidos, estos dispositivos pueden adoptar la forma de un filtro de elementos distribuidos . Hay cuatro puertos que deben adaptarse y ampliar el ancho de banda requiere estructuras tipo filtro para lograrlo. Lo contrario también es cierto: los filtros de elementos distribuidos pueden adoptar la forma de líneas acopladas. ^{[ 3 ]}

• Filtro de audio
• Filtro de línea
• Correlación escalada , filtro de paso alto para correlaciones
• Filtrado de texturas

• Topología de filtro electrónico
• Elevador (procesamiento de señales)
• Reducción de ruido
• Topología de Sallen-Key
• Suavizado
• Multiplicador (análisis de Fourier)

• Miroslav D. Lutovac, Dejan V. Tošić, Brian Lawrence Evans, Diseño de filtros para procesamiento de señales utilizando MATLAB y Mathematica , Miroslav Lutovac, 2001 ISBN 0201361302.
• BA Shenoi, Introducción al procesamiento digital de señales y al diseño de filtros , John Wiley & Sons, 2005 ISBN 0471656380.
• LD Paarmann, Diseño y análisis de filtros analógicos: una perspectiva de procesamiento de señales , Springer, 2001 ISBN 0792373731.
• JSChitode, Procesamiento de señales digitales , Publicaciones técnicas, 2009 ISBN 8184316461.
• Leland B. Jackson, Filtros digitales y procesamiento de señales , Springer, 1996 ISBN 079239559X.