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Transformada discreta del coseno

Una transformada discreta del coseno ( DCT ) expresa una secuencia finita de puntos de datos en términos de una suma de funciones coseno que oscilan a diferentes frecuencias . L...

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Una transformada discreta del coseno ( DCT ) expresa una secuencia finita de puntos de datos en términos de una suma de funciones coseno que oscilan a diferentes frecuencias . La DCT, propuesta por primera vez por Nasir Ahmed en 1972, es una técnica de transformación ampliamente utilizada en el procesamiento de señales y la compresión de datos . Se utiliza en la mayoría de los medios digitales , incluyendo imágenes digitales (como JPEG y HEIF ), video digital (como MPEG y H.26x ), audio digital (como Dolby Digital , MP3 y AAC ), televisión digital (como SDTV , HDTV y VOD ), radio digital (como AAC+ y DAB+ ) y codificación de voz (como AAC-LD , Siren y Opus ). Las DCT también son importantes para numerosas otras aplicaciones en ciencia e ingeniería , como el procesamiento digital de señales , dispositivos de telecomunicaciones , la reducción del uso del ancho de banda de la red y métodos espectrales para la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales .

La DCT es una transformada relacionada con Fourier similar a la transformada discreta de Fourier (DFT), pero que utiliza únicamente números reales . Las DCT generalmente se relacionan con los coeficientes de la serie de Fourier de una secuencia extendida periódica y simétricamente, mientras que las DFT se relacionan con los coeficientes de la serie de Fourier de secuencias extendidas solo periódicamente. Las DCT son equivalentes a las DFT de aproximadamente el doble de longitud, que operan sobre datos reales con simetría par (ya que la transformada de Fourier de una función real y par es real y par), mientras que en algunas variantes los datos de entrada o salida se desplazan media muestra.

Desde la perspectiva del procesamiento algebraico de señales , la relación entre la DCT y la DFT refleja sus diferentes estructuras algebraicas subyacentes: las funciones base de la DFT son las representaciones irreducibles del grupo cíclico , lo que hace que la DFT sea la transformada espectral natural para señales con condiciones de contorno periódicas (circulares), mientras que las funciones base de la DCT son las representaciones irreducibles del grupo diedral , lo que hace que la DCT sea natural para señales con condiciones de contorno simétricas (pares). [ 1 ]

Hay ocho variantes estándar de DCT, de las cuales cuatro son comunes. La variante más común de la transformada discreta del coseno es la DCT de tipo II, que a menudo se denomina simplemente DCT . Esta fue la DCT original propuesta por Ahmed. Su inversa, la DCT de tipo III, se denomina a menudo simplemente DCT inversa o IDCT . Dos transformadas relacionadas son la transformada discreta del seno (DST), que es equivalente a una DFT de funciones reales e impares , y la transformada discreta del coseno modificada (MDCT), que se basa en una DCT de datos superpuestos. Las DCT multidimensionales (MD DCT) se desarrollan para extender el concepto de DCT a señales multidimensionales. Se han desarrollado diversos algoritmos rápidos para reducir la complejidad computacional de la implementación de la DCT. Una de ellas es la DCT entera (IntDCT), [ 2 ] una aproximación entera de la DCT estándar, [ 3 ] : ix, xiii, 1, 141–304 utilizada en varias normas internacionales ISO/IEC e ITU-T . [ 2 ] [ 3 ]

La compresión DCT, también conocida como compresión de bloques, comprime los datos en conjuntos de bloques DCT discretos. [ 4 ] Los tamaños de los bloques DCT incluyen 8 × 8 píxeles para la DCT estándar y tamaños enteros DCT variados entre 4 × 4 y 32 × 32 píxeles. [ 2 ] [ 5 ] La DCT tiene una fuerte propiedad de compactación de energía , [ 6 ] [ 7 ] capaz de lograr alta calidad con altas tasas de compresión de datos . [ 8 ] [ 9 ] Sin embargo, pueden aparecer artefactos de compresión en bloques cuando se aplica una compresión DCT intensa.

Historia

La DCT fue concebida por primera vez por Nasir Ahmed mientras trabajaba en la Universidad Estatal de Kansas . El concepto fue propuesto a la Fundación Nacional de Ciencias en 1972. La DCT fue originalmente destinada a la compresión de imágenes . [ 10 ] [ 2 ] Ahmed desarrolló un algoritmo práctico de DCT con sus estudiantes de doctorado T. Raj Natarajan y KR Rao en la Universidad de Texas en Arlington en 1973. [ 10 ] Presentaron sus resultados en un artículo de enero de 1974, titulado Transformada discreta del coseno . [ 6 ] [ 7 ] [ 11 ] Describía lo que ahora se llama la DCT de tipo II (DCT-II), [ 3 ] : 51 así como la DCT inversa de tipo III (IDCT). [ 6 ]

Desde su introducción en 1974, se ha investigado significativamente la DCT. [ 11 ] En 1977, Wen-Hsiung Chen publicó un artículo con C. Harrison Smith y Stanley C. Fralick presentando un algoritmo rápido de DCT. [ 12 ] [ 11 ] Otros desarrollos incluyen un artículo de 1978 de MJ Narasimha y AM Peterson, y un artículo de 1984 de BG Lee. [ 11 ] Estos artículos de investigación, junto con el artículo original de Ahmed de 1974 y el artículo de Chen de 1977, fueron citados por el Joint Photographic Experts Group como la base del algoritmo de compresión de imágenes con pérdida de JPEG en 1992. [ 11 ] [ 13 ]

La transformada discreta del seno (DST) se derivó de la DCT, reemplazando la condición de Neumann en x=0 con una condición de Dirichlet . [ 3 ] : 35-36 La DST fue descrita en el artículo de 1974 sobre DCT por Ahmed, Natarajan y Rao. [ 6 ] Una DST de tipo I (DST-I) fue descrita posteriormente por Anil K. Jain en 1976, y una DST de tipo II (DST-II) fue descrita por HB Kekra y JK Solanka en 1978. [ 14 ]

En 1975, John A. Roese y Guner S. Robinson adaptaron la DCT para la codificación de vídeo con compensación de movimiento entre fotogramas . Experimentaron con la DCT y la transformada rápida de Fourier (FFT), desarrollando codificadores híbridos entre fotogramas para ambos, y descubrieron que la DCT es la más eficiente debido a su complejidad reducida, capaz de comprimir datos de imagen hasta 0,25 bits por píxel para una escena de videoteléfono con una calidad de imagen comparable a la de un codificador intra-fotograma que requiere 2 bits por píxel. [ 15 ] [ 16 ] En 1979, Anil K. Jain y Jaswant R. Jain desarrollaron aún más la compresión de vídeo DCT con compensación de movimiento, [ 17 ] [ 18 ] también llamada compensación de movimiento por bloques. [ 18 ] Esto llevó a que Chen desarrollara un algoritmo práctico de compresión de video, llamado DCT con compensación de movimiento o codificación adaptativa de escena, en 1981. [ 18 ] La DCT con compensación de movimiento se convirtió posteriormente en la técnica de codificación estándar para la compresión de video desde finales de la década de 1980 en adelante. [ 19 ] [ 20 ]

Una variante de la DCT, la transformada discreta del coseno modificada (MDCT), fue desarrollada por John P. Princen, AW Johnson y Alan B. Bradley en la Universidad de Surrey en 1987, [ 21 ] siguiendo el trabajo previo de Princen y Bradley en 1986. [ 22 ] La MDCT se utiliza en la mayoría de los formatos modernos de compresión de audio , como Dolby Digital (AC-3), [ 23 ] [ 24 ] MP3 (que utiliza un algoritmo híbrido DCT-FFT), [ 25 ] Advanced Audio Coding (AAC), [ 26 ] y Vorbis ( Ogg ). [ 27 ]

Nasir Ahmed también desarrolló un algoritmo DCT sin pérdidas con Giridhar Mandyam y Neeraj Magotra en la Universidad de Nuevo México en 1995. Esto permite utilizar la técnica DCT para la compresión sin pérdidas de imágenes. Es una modificación del algoritmo DCT original e incorpora elementos de DCT inversa y modulación delta . Es un algoritmo de compresión sin pérdidas más eficaz que la codificación de entropía . [ 28 ] La DCT sin pérdidas también se conoce como LDCT. [ 29 ]

Aplicaciones

La DCT es la técnica de transformación más utilizada en el procesamiento de señales , [ 30 ] y, con mucho, la transformación lineal más utilizada en la compresión de datos . [ 31 ] Los medios digitales sin comprimir, así como la compresión sin pérdidas , tienen altos requisitos de memoria y ancho de banda , que se reducen significativamente mediante la técnica de compresión con pérdidas DCT , [ 8 ] [ 9 ] capaz de lograr relaciones de compresión de datos de 8:1 a 14:1 para una calidad cercana a la de estudio, [ 8 ] hasta 100:1 para contenido de calidad aceptable. [ 9 ] Los estándares de compresión DCT se utilizan en tecnologías de medios digitales, como imágenes digitales , fotos digitales , [ 32 ] [ 33 ] vídeo digital , [ 19 ] [ 34 ] medios de transmisión , [ 35 ] televisión digital , televisión en streaming , vídeo bajo demanda (VOD), [ 9 ] cine digital , [ 23 ] vídeo de alta definición (vídeo HD) y televisión de alta definición (HDTV). [ 8 ] [ 36 ]

La DCT, y en particular la DCT-II, se utiliza frecuentemente en el procesamiento de señales e imágenes, especialmente para la compresión con pérdidas, debido a su fuerte propiedad de compactación de energía . [ 6 ] [ 7 ] En aplicaciones típicas, la mayor parte de la información de la señal tiende a concentrarse en unos pocos componentes de baja frecuencia de la DCT. Para procesos de Markov fuertemente correlacionados , la DCT puede alcanzar la eficiencia de compactación de la transformada de Karhunen-Loève (que es óptima en el sentido de decorrelación). Como se explica más adelante, esto se debe a las condiciones de contorno implícitas en las funciones coseno.

Las DCT se emplean ampliamente en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales mediante métodos espectrales , donde las diferentes variantes de la DCT corresponden a condiciones de contorno pares e impares ligeramente diferentes en los dos extremos de la matriz.

Las DCT están estrechamente relacionadas con los polinomios de Chebyshev , y los algoritmos rápidos de DCT (que se describen a continuación) se utilizan en la aproximación de Chebyshev de funciones arbitrarias mediante series de polinomios de Chebyshev, por ejemplo, en la cuadratura de Clenshaw-Curtis .

Aplicaciones generales

La DCT se utiliza ampliamente en muchas aplicaciones, entre las que se incluyen las siguientes.

estándares de medios visuales

La DCT-II es una técnica importante de compresión de imágenes. Se utiliza en estándares de compresión de imágenes como JPEG y en estándares de compresión de vídeo como H.26x , MJPEG , MPEG , DV , Theora y Daala . Allí, la DCT-II bidimensional denorte×norte{\displaystyle N\times N}Los bloques se calculan y los resultados se cuantifican y codifican mediante entropía . En este caso,norte{\displaystyle N}es típicamente 8 y la fórmula DCT-II se aplica a cada fila y columna del bloque. El resultado es una  matriz de coeficientes de transformación de 8 × 8 en la que(0,0){\displaystyle (0,0)}El elemento (arriba a la izquierda) es el componente de CC (frecuencia cero) y las entradas con valores de índice vertical y horizontal crecientes representan frecuencias espaciales verticales y horizontales más altas.

La DCT entera, una aproximación entera de la DCT, [ 3 ] [ 2 ] se utiliza en la codificación de vídeo avanzada (AVC), [ 53 ] [ 2 ] introducida en 2003, y en la codificación de vídeo de alta eficiencia (HEVC), [ 5 ] [ 2 ] introducida en 2013. La DCT entera también se utiliza en el formato de imagen de alta eficiencia (HEIF), que utiliza un subconjunto del formato de codificación de vídeo HEVC para codificar imágenes fijas. [ 5 ] AVC utiliza bloques de 4  x 4 y 8  x 8. HEVC y HEIF utilizan tamaños de bloque variables entre 4  x 4 y 32  x 32 píxeles . [ 5 ] [ 2 ] A partir de 2019AVC es, con diferencia, el formato más utilizado para la grabación, compresión y distribución de contenido de vídeo, utilizado por el 91 % de los desarrolladores de vídeo, seguido de HEVC, que es utilizado por el 43 % de los desarrolladores. [ 44 ]

Formatos de imagen

Formatos de vídeo

Estándares de audio MDCT

Audio general

Codificación del habla

DCT multidimensional

Las DCT multidimensionales (MD DCT) tienen varias aplicaciones, principalmente DCT 3D como la DCT-II 3D, que tiene varias aplicaciones nuevas como sistemas de codificación de imágenes hiperespectrales, [ 86 ] codificación DCT 3D de longitud temporal variable, [ 87 ] algoritmos de codificación de vídeo , [ 88 ] codificación de vídeo adaptativa [ 89 ] y compresión 3D. [ 90 ] Debido a la mejora en el hardware, el software y la introducción de varios algoritmos rápidos, la necesidad de utilizar MD DCT está aumentando rápidamente. La DCT-IV ha ganado popularidad por sus aplicaciones en la implementación rápida de bancos de filtrado polifásico de valor real, [ 91 ] transformada ortogonal superpuesta [ 92 ] [ 93 ] y bases de ondículas moduladas por coseno. [ 94 ]

Procesamiento digital de señales

La DCT desempeña un papel importante en el procesamiento de señales digitales, específicamente en la compresión de datos . La DCT se implementa ampliamente en procesadores de señales digitales (DSP), así como en software de procesamiento de señales digitales. Muchas empresas han desarrollado DSP basados ​​en la tecnología DCT. Las DCT se utilizan ampliamente en aplicaciones como codificación , decodificación, vídeo, audio, multiplexación , señales de control, señalización y conversión analógica-digital . Las DCT también se utilizan comúnmente en chips codificadores/decodificadores de televisión de alta definición (HDTV) . [ 2 ]

Artefactos de compresión

Un problema común con la compresión DCT en medios digitales son los artefactos de compresión en bloques , [ 95 ] causados ​​por los bloques DCT. [ 4 ] En un algoritmo DCT, una imagen (o fotograma en una secuencia de imágenes) se divide en bloques cuadrados que se procesan independientemente entre sí, luego se toman los bloques DCT dentro de cada bloque y los coeficientes DCT resultantes se cuantifican . Este proceso puede causar artefactos de bloqueo, principalmente con altas tasas de compresión de datos . [ 95 ] Esto también puede causar el efecto de ruido de mosquito , que se encuentra comúnmente en el video digital . [ 96 ]

Los bloques DCT se utilizan a menudo en el arte glitch . [ 4 ] La artista Rosa Menkman utiliza artefactos de compresión basados ​​en DCT en su arte glitch, [ 97 ] particularmente los bloques DCT que se encuentran en la mayoría de los formatos de medios digitales como las imágenes digitales JPEG y el audio MP3 . [ 4 ] Otro ejemplo es Jpegs del fotógrafo alemán Thomas Ruff , que utiliza artefactos JPEG intencionales como base del estilo de la imagen. [ 98 ] [ 99 ]

Descripción general informal

Al igual que cualquier transformada relacionada con Fourier, la DCT expresa una función o una señal como una suma de sinusoides con diferentes frecuencias y amplitudes . Al igual que la DFT, la DCT opera sobre una función en un número finito de puntos de datos discretos . La distinción obvia entre la DCT y la DFT es que la primera utiliza solo funciones coseno, mientras que la segunda utiliza tanto cosenos como senos (en forma de exponenciales complejas ). Sin embargo, esta diferencia visible es simplemente una consecuencia de una distinción más profunda: la DCT implica condiciones de contorno diferentes a las de la DFT u otras transformadas relacionadas.

Las transformadas relacionadas con Fourier que operan sobre una función en un dominio finito , como la DFT o la DCT o una serie de Fourier , pueden considerarse como la definición implícita de una extensión de esa función fuera del dominio. Es decir, una vez que escribes una funciónF(incógnita){\displaystyle f(x)}como una suma de sinusoides, puedes evaluar esa suma en cualquierincógnita{\displaystyle x}, incluso paraincógnita{\displaystyle x}donde el originalF(incógnita){\displaystyle f(x)}No se especificó. La DFT, al igual que la serie de Fourier, implica una extensión periódica de la función original. Una DCT, al igual que la transformada coseno , implica una extensión par de la función original.

Ilustración de las extensiones implícitas pares/impares de los datos de entrada de la DCT, para N = 11 puntos de datos (puntos rojos), para los cuatro tipos más comunes de DCT (tipos I-IV). Nótese la sutil diferencia en las interfaces entre los datos y las extensiones: en DCT-II y DCT-IV, ambos puntos finales se replican en las extensiones, pero no en DCT-I ni en DCT-III (y se inserta un punto cero en la extensión de inversión de signo en DCT-III).

Sin embargo, dado que las DCT operan sobre secuencias finitas y discretas , surgen dos problemas que no se aplican a la transformada continua del coseno. Primero, hay que especificar si la función es par o impar en los límites izquierdo y derecho del dominio (es decir, los límites min- n y max -n en las definiciones siguientes, respectivamente). Segundo, hay que especificar alrededor de qué punto la función es par o impar. En particular, consideremos una secuencia abcd de cuatro puntos de datos igualmente espaciados, y digamos que especificamos un límite izquierdo par . Hay dos posibilidades razonables: o bien los datos son pares alrededor de la muestra a , en cuyo caso la extensión par es dcbabcd , o bien los datos son pares alrededor del punto medio entre a y el punto anterior, en cuyo caso la extensión par es dcbaabcd ( a se repite).

Cada límite puede ser par o impar (dos opciones por límite) y puede ser simétrico respecto a un punto de datos o al punto medio entre dos puntos de datos (dos opciones por límite), lo que da un total de 2 × 2 × 2 × 2 = 16 posibilidades. Estas opciones dan lugar a todas las variaciones estándar de las DCT y también a las transformadas discretas de seno (DST). La mitad de estas posibilidades, aquellas en las que el límite izquierdo es par, corresponden a los ocho tipos de DCT; la otra mitad son los ocho tipos de DST.

Estas diferentes condiciones de contorno afectan notablemente las aplicaciones de la transformada y dan lugar a propiedades singularmente útiles para los distintos tipos de DCT. De forma más directa, al utilizar transformadas relacionadas con Fourier para resolver ecuaciones diferenciales parciales mediante métodos espectrales , las condiciones de contorno se especifican directamente como parte del problema que se está resolviendo. O bien, para la MDCT (basada en la DCT de tipo IV), las condiciones de contorno están íntimamente ligadas a la propiedad crítica de cancelación del aliasing en el dominio del tiempo de la MDCT. De forma más sutil, las condiciones de contorno son responsables de las propiedades de compactificación de energía que hacen que las DCT sean útiles para la compresión de imágenes y audio, ya que los límites afectan la tasa de convergencia de cualquier serie de tipo Fourier.

En particular, es bien sabido que cualquier discontinuidad en una función reduce la tasa de convergencia de la serie de Fourier, de modo que se necesitan más sinusoides para representar la función con una precisión dada. El mismo principio rige la utilidad de la DFT y otras transformadas para la compresión de señales; cuanto más suave sea una función, menos términos en su DFT o DCT se requieren para representarla con precisión, y más se puede comprimir. [ a ] ​​Sin embargo, la periodicidad implícita de la DFT significa que las discontinuidades generalmente ocurren en los límites: es improbable que cualquier segmento aleatorio de una señal tenga el mismo valor en los límites izquierdo y derecho. [ b ] En contraste, una DCT donde ambos límites son pares siempre produce una extensión continua en los límites (aunque la pendiente generalmente es discontinua). Por esta razón, las DCT, y en particular las DCT de tipo I, II, V y VI (los tipos que tienen dos límites pares), generalmente funcionan mejor para la compresión de señales que las DFT y DST. En la práctica, para este tipo de aplicaciones se suele preferir una DCT de tipo II, en parte por razones de conveniencia computacional.

Definición formal

Formalmente, la transformada discreta del coseno es una función lineal e invertible.F:Rnorte→Rnorte{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{N}\to \mathbb {R} ^{N}}(dóndeR{\displaystyle \mathbb {R} }denota el conjunto de números reales ), o equivalentemente una matriz cuadrada invertible N × N . Existen varias variantes de la DCT con definiciones ligeramente modificadas. Los N números reales incógnita0, … incógnitanorte−1 {\displaystyle ~x_{0},\ \ldots \ x_{N-1}~}se transforman en los N números realesincógnita0,…,incógnitanorte−1{\displaystyle X_{0},\,\ldots ,\,X_{N-1}}Según una de las fórmulas:

DCT-I

incógnitak=12(incógnita0+(−1)kincógnitanorte−1)+∑norte=1norte−2incógnitanorteporque⁡[ πnorte−1nortek] para  k=0, … norte−1 .{\displaystyle X_{k}={\frac {1}{2}}(x_{0}+(-1)^{k}x_{N-1})+\sum _{n=1}^{N-2}x_{n}\cos \left[\,{\tfrac {\ \pi }{\,N-1\,}}\,n\,k\,\right]\qquad {\text{ para }}~k=0,\ \ldots \ N-1~.}

Algunos autores multiplican aún más laincógnita0{\displaystyle x_{0}}yincógnitanorte−1{\displaystyle x_{N-1}}términos por2{\displaystyle {\sqrt {2\,}}\,}y multiplicar correspondientemente elincógnita0{\displaystyle X_{0}}yincógnitanorte−1{\displaystyle X_{N-1}}términos por1/2{\displaystyle 1/{\sqrt {2\,}}\,}que, si además se multiplica por un factor de escala general de2norte−1{\textstyle {\sqrt {{\tfrac {2}{N-1\,}}\,}}}, hace que la matriz DCT-I sea ortogonal pero rompe la correspondencia directa con una DFT real-par .

La DCT-I es exactamente equivalente (hasta un factor de escala global de 2) a una DFT de2(norte−1){\displaystyle 2(N-1)}números reales con simetría par. Por ejemplo, una DCT-I denorte=5{\displaystyle N=5}números realesa b do d mi{\displaystyle a\ b\ c\ d\ e}es exactamente equivalente a una DFT de ocho números realesa b do d mi d do b{\displaystyle a\ b\ c\ d\ e\ d\ c\ b}(simetría par), dividido por dos. (En contraste, los tipos DCT II-IV implican un desplazamiento de la mitad de la muestra en la DFT equivalente).

Tenga en cuenta, sin embargo, que el DCT-I no está definido paranorte{\displaystyle N}menos de 2, mientras que todos los demás tipos de DCT se definen para cualquier valor positivo.norte{\displaystyle N}.

Por lo tanto, la DCT-I corresponde a las condiciones de contorno:incógnitanorte{\displaystyle x_{n}}incluso está alrededornorte=0{\displaystyle n=0}e incluso alrededornorte=norte−1{\displaystyle n=N-1}; de manera similar paraincógnitak{\displaystyle X_{k}}.

DCT-II

incógnitak=∑norte=0norte−1incógnitanorteporque⁡[πnorte(norte+12)k] para  k=0, … norte−1 .{\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cos \left[\,{\tfrac {\,\pi \,}{N}}\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)k\,\right]\qquad {\text{ para }}~k=0,\ \dots \ N-1~.}

La DCT-II es probablemente la forma más utilizada, y a menudo se la denomina simplemente DCT . [ 6 ] [ 7 ]

Esta transformación es exactamente equivalente (hasta un factor de escala global de 2) a una DFT de4norte{\displaystyle 4N}entradas reales de simetría par, donde los elementos con índice par son cero. Es decir, es la mitad de la DFT de la4norte{\displaystyle 4N}entradasynorte,{\displaystyle y_{n},}dóndey2norte=0{\displaystyle y_{2n}=0},y2norte+1=incógnitanorte{\displaystyle y_{2n+1}=x_{n}}para0≤norte<norte{\displaystyle 0\leq n<N},y2norte=0{\displaystyle y_{2N}=0}, yy4norte−norte=ynorte{\ Displaystyle y_ {4N-n} = y_ {n}}para0<norte<2norte{\displaystyle 0<n<2N}La transformación DCT-II también es posible utilizando2norte{\displaystyle 2N}señal seguida de una multiplicación por medio desplazamiento. Esto lo demuestra Makhoul .

Algunos autores multiplican aún más laincógnita0{\displaystyle X_{0}}término por1/norte{\displaystyle 1/{\sqrt {N\,}}\,}y multiplicar el resto de la matriz por un factor de escala general de2/norte{\estilo de texto {\sqrt {{2}/{N}}}}(véase más abajo el cambio correspondiente en DCT-III). Esto hace que la matriz DCT-II sea ortogonal , pero rompe la correspondencia directa con una DFT par real de entrada desplazada a la mitad. Esta es la normalización utilizada por Matlab . [ 100 ] En muchas aplicaciones, como JPEG , el escalado es arbitrario porque los factores de escala se pueden combinar con un paso computacional posterior (por ejemplo, el paso de cuantización en JPEG [ 101 ] ), y se puede elegir un escalado que permita calcular la DCT con menos multiplicaciones. [ 102 ] [ 103 ]

La DCT-II implica las siguientes condiciones de contorno:incógnitanorte{\displaystyle x_{n}}incluso está alrededornorte=−1/2{\displaystyle n=-1/2}e incluso alrededornorte=norte−1/2{\displaystyle n=N-1/2\,};incógnitak{\displaystyle X_{k}}incluso está alrededork=0{\displaystyle k=0}y extraño alrededork=norte{\displaystyle k=N}.

DCT-III

incógnitak=12incógnita0+∑norte=1norte−1incógnitanorteporque⁡[πnorte(k+12)norte] para  k=0, … norte−1 .{\displaystyle X_{k}={\tfrac {1}{2}}x_{0}+\sum _{n=1}^{N-1}x_{n}\cos \left[\,{\tfrac {\,\pi \,}{N}}\left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)n\,\right]\qquad {\text{ para }}~k=0,\ \ldots \ N-1~.}

Debido a que es la inversa de la DCT-II salvo un factor de escala (véase más abajo), a esta forma a veces se la denomina simplemente DCT inversa (IDCT). [ 7 ]

Algunos autores dividen elincógnita0{\displaystyle x_{0}}término por2{\displaystyle {\sqrt {2}}}en lugar de por 2 (lo que resulta en un totalincógnita0/2{\displaystyle x_{0}/{\sqrt {2}}}término) y multiplique la matriz resultante por un factor de escala general de2/norte{\textstyle {\sqrt {2/N}}}(véase más arriba el cambio correspondiente en DCT-II), de modo que DCT-II y DCT-III son transpuestas una de la otra. Esto hace que la matriz DCT-III sea ortogonal , pero rompe la correspondencia directa con una DFT par real de salida desplazada a la mitad.

La DCT-III implica las siguientes condiciones de contorno:incógnitanorte{\displaystyle x_{n}}incluso está alrededornorte=0{\displaystyle n=0}y extraño alrededornorte=norte;{\displaystyle n=N;}incógnitak{\displaystyle X_{k}}incluso está alrededork=−1/2{\displaystyle k=-1/2}e incluso alrededork=norte−1/2.{\displaystyle k=N-1/2.}

DCT-IV

incógnitak=∑norte=0norte−1incógnitanorteporque⁡[πnorte(norte+12)(k+12)] para k=0, … norte−1 .{\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cos \left[\,{\tfrac {\,\pi \,}{N}}\,\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)\,\right]\qquad {\text{ for }}k=0,\ \ldots \ N-1~.}

La matriz DCT-IV se vuelve ortogonal (y por lo tanto, al ser claramente simétrica, su propia inversa) si se multiplica además por un factor de escala global de2/norte.{\textstyle {\sqrt {2/N}}.}

Una variante de la DCT-IV, donde se superponen datos de diferentes transformadas , se denomina transformada discreta del coseno modificada (MDCT). [ 104 ]

La DCT-IV implica las siguientes condiciones de contorno:incógnitanorte{\displaystyle x_{n}}incluso está alrededornorte=−1/2{\displaystyle n=-1/2}y extraño alrededornorte=norte−1/2{\displaystyle n=N-1/2}; de manera similar paraincógnitak{\displaystyle X_{k}}.

DCT V-VIII

Las DCT de tipo I a IV tratan ambos límites de forma consistente con respecto al punto de simetría: son pares o impares alrededor de un punto de datos para ambos límites o a medio camino entre dos puntos de datos para ambos límites. Por el contrario, las DCT de tipo V a VIII implican límites que son pares o impares alrededor de un punto de datos para un límite y a medio camino entre dos puntos de datos para el otro límite.

En otras palabras, los tipos DCT I–IV son equivalentes a DFT reales pares de orden par (independientemente de sinorte{\displaystyle N}es par o impar), ya que la DFT correspondiente tiene una longitud2(norte−1){\displaystyle 2(N-1)}(para DCT-I) o4norte{\displaystyle 4N}(para DCT-II y III) o8norte{\displaystyle 8N}(para DCT-IV). Los cuatro tipos adicionales de transformada discreta del coseno [ 105 ] corresponden esencialmente a DFT reales pares de orden lógicamente impar, que tienen factores denorte±1/2{\displaystyle N\pm {1}/{2}}en los denominadores de los argumentos del coseno.

Sin embargo, estas variantes parecen usarse raramente en la práctica. Una razón, tal vez, es que los algoritmos FFT para DFT de longitud impar son generalmente más complicados que los algoritmos FFT para DFT de longitud par (por ejemplo, los algoritmos de base 2 más simples son solo para longitudes pares), y esta mayor complejidad se traslada a las DCT como se describe a continuación. No es que la matriz real par trivial, una DFT de longitud uno (longitud impar) de un solo númeroa{\displaystyle a}, corresponde a una DCT-V de longitudnorte=1{\displaystyle N=1}.

Transformadas inversas

Utilizando las convenciones de normalización anteriores, la inversa de DCT-I es DCT-I multiplicada por 2/( N  −  1). La inversa de DCT-IV es DCT-IV multiplicada por 2/ N . La inversa de DCT-II es DCT-III multiplicada por 2/ N y viceversa. [ 7 ]

Al igual que en el caso de la DFT, el factor de normalización que precede a estas definiciones de transformada es simplemente una convención y difiere entre los distintos tratamientos. Por ejemplo, algunos autores multiplican las transformadas por2/norte{\textstyle {\sqrt {2/N}}}de modo que la inversa no requiera ningún factor multiplicativo adicional. Combinado con factores apropiados de √2 (ver arriba), esto se puede utilizar para hacer que la matriz de transformación sea ortogonal .

DCT multidimensional

Las variantes multidimensionales de los distintos tipos de DCT se derivan directamente de las definiciones unidimensionales: son simplemente un producto separable (o, equivalentemente, una composición) de DCT a lo largo de cada dimensión.

MD DCT-II

Por ejemplo, una DCT-II bidimensional de una imagen o una matriz es simplemente la DCT-II unidimensional, como se describió anteriormente, aplicada primero a lo largo de las filas y luego a lo largo de las columnas (o viceversa). La inversa de una DCT multidimensional es simplemente un producto separable de las inversas de las DCT unidimensionales correspondientes (véase más arriba), por ejemplo, las inversas unidimensionales aplicadas a lo largo de una dimensión a la vez en un algoritmo de filas y columnas.

La DCT-II 2D viene dada por la fórmula (omitiendo la normalización y otros factores de escala, como se indicó anteriormente).

incógnitak1,k2=∑norte1=0norte1−1(∑norte2=0norte2−1incógnitanorte1,norte2porque⁡[πnorte2(norte2+12)k2])porque⁡[πnorte1(norte1+12)k1]=∑norte1=0norte1−1∑norte2=0norte2−1incógnitanorte1,norte2porque⁡[πnorte1(norte1+12)k1]porque⁡[πnorte2(norte2+12)k2].{\displaystyle {\begin{aligned}X_{k_{1},k_{2}}&=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\left(\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}x_{n_{1},n_{2}}\cos \left[{\frac {\pi }{N_{2}}}\left(n_{2}+{\frac {1}{2}}\right)k_{2}\right]\right)\cos \left[{\frac {\pi }{N_{1}}}\left(n_{1}+{\frac {1}{2}}\right)k_{1}\right]\\&=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}x_{n_{1},n_{2}}\cos \left[{\frac {\pi }{N_{1}}}\left(n_{1}+{\frac {1}{2}}\right)k_{1}\right]\cos \left[{\frac {\pi }{N_{2}}}\left(n_{2}+{\frac {1}{2}}\right)k_{2}\right].\end{aligned}}}

La DCT-II 3D es solo la extensión de la DCT-II 2D en el espacio tridimensional y matemáticamente se puede calcular mediante la fórmula

incógnitak1,k2,k3=∑norte1=0norte1−1∑norte2=0norte2−1∑norte3=0norte3−1incógnitanorte1,norte2,norte3porque⁡[πnorte1(norte1+12)k1]porque⁡[πnorte2(norte2+12)k2]porque⁡[πnorte3(norte3+12)k3],para ki=0,1,2,…,nortei−1.{\displaystyle X_{k_{1},k_{2},k_{3}}=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}\sum _{n_{3}=0}^{N_{3}-1}x_{n_{1},n_{2},n_{3}}\cos \left[{\frac {\pi }{N_{1}}}\left(n_{1}+{\frac {1}{2}}\right)k_{1}\right]\cos \left[{\frac {\pi }{N_{2}}}\left(n_{2}+{\frac {1}{2}}\right)k_{2}\right]\cos \left[{\frac {\pi }{N_{3}}}\left(n_{3}+{\frac {1}{2}}\right)k_{3}\right],\quad {\text{for }}k_{i}=0,1,2,\dots ,N_{i}-1.}

La inversa de la DCT-II 3D es la DCT-III 3D y se puede calcular a partir de la fórmula.

incógnitanorte1,norte2,norte3=∑k1=0norte1−1∑k2=0norte2−1∑k3=0norte3−1incógnitak1,k2,k3porque⁡[πnorte1(norte1+12)k1]porque⁡[πnorte2(norte2+12)k2]porque⁡[πnorte3(norte3+12)k3],para nortei=0,1,2,…,nortei−1.{\displaystyle x_{n_{1},n_{2},n_{3}}=\sum _{k_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{k_{2}=0}^{N_{2}-1}\sum _{k_{3}=0}^{N_{3}-1}X_{k_{1},k_{2},k_{3}}\cos \left[{\frac {\pi }{N_{1}}}\left(n_{1}+{\frac {1}{2}}\right)k_{1}\right]\cos \left[{\frac {\pi }{N_{2}}}\left(n_{2}+{\frac {1}{2}}\right)k_{2}\right]\cos \left[{\frac {\pi }{N_{3}}}\left(n_{3}+{\frac {1}{2}}\right)k_{3}\right],\quad {\text{for }}n_{i}=0,1,2,\dots ,N_{i}-1.}

Técnicamente, el cálculo de una DCT bidimensional, tridimensional (o multidimensional) mediante secuencias de DCT unidimensionales a lo largo de cada dimensión se conoce como algoritmo de filas y columnas . Sin embargo, al igual que con los algoritmos FFT multidimensionales , existen otros métodos para calcular lo mismo realizando los cálculos en un orden diferente (es decir, intercalando o combinando los algoritmos para las diferentes dimensiones). Debido al rápido crecimiento de las aplicaciones basadas en la DCT 3D, se han desarrollado varios algoritmos rápidos para el cálculo de la DCT-II 3D. Los algoritmos Vector-Radix se aplican para calcular la DCT MD con el fin de reducir la complejidad computacional y aumentar la velocidad de cálculo. El algoritmo Vector-Radix Decimation in Frequency (VR DIF) es un ejemplo de algoritmo para calcular una DCT-II 3D de manera eficiente.

3-D DCT-II VR DIF

Para aplicar el algoritmo VR DIF, los datos de entrada deben formularse y reorganizarse de la siguiente manera. [ 106 ] [ 107 ] Se supone que el tamaño de la transformación N  × N  × N es  2.

Las cuatro etapas básicas del cálculo de la DCT-II 3D utilizando el algoritmo VR DIF.
incógnita~(norte1,norte2,norte3)=incógnita(2norte1,2norte2,2norte3)incógnita~(norte1,norte2,norte−norte3−1)=incógnita(2norte1,2norte2,2norte3+1)incógnita~(norte1,norte−norte2−1,norte3)=incógnita(2norte1,2norte2+1,2norte3)incógnita~(norte1,norte−norte2−1,norte−norte3−1)=incógnita(2norte1,2norte2+1,2norte3+1)incógnita~(norte−norte1−1,norte2,norte3)=incógnita(2norte1+1,2norte2,2norte3)incógnita~(norte−norte1−1,norte2,norte−norte3−1)=incógnita(2norte1+1,2norte2,2norte3+1)incógnita~(norte−norte1−1,norte−norte2−1,norte3)=incógnita(2norte1+1,2norte2+1,2norte3)incógnita~(norte−norte1−1,norte−norte2−1,norte−norte3−1)=incógnita(2norte1+1,2norte2+1,2norte3+1){\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\tilde {x}}(n_{1},n_{2},n_{3})=x(2n_{1},2n_{2},2n_{3})\\{\tilde {x}}(n_{1},n_{2},N-n_{3}-1)=x(2n_{1},2n_{2},2n_{3}+1)\\{\tilde {x}}(n_{1},N-n_{2}-1,n_{3})=x(2n_{1},2n_{2}+1,2n_{3})\\{\tilde {x}}(n_{1},N-n_{2}-1,N-n_{3}-1)=x(2n_{1},2n_{2}+1,2n_{3}+1)\\{\tilde {x}}(N-n_{1}-1,n_{2},n_{3})=x(2n_{1}+1,2n_{2},2n_{3})\\{\tilde {x}}(N-n_{1}-1,n_{2},N-n_{3}-1)=x(2n_{1}+1,2n_{2},2n_{3}+1)\\{\tilde {x}}(N-n_{1}-1,N-n_{2}-1,n_{3})=x(2n_{1}+1,2n_{2}+1,2n_{3})\\{\tilde {x}}(N-n_{1}-1,N-n_{2}-1,N-n_{3}-1)=x(2n_{1}+1,2n_{2}+1,2n_{3}+1)\\\end{array}}}
dónde0≤norte1,norte2,norte3≤norte2−1{\displaystyle 0\leq n_{1},n_{2},n_{3}\leq {\frac {N}{2}}-1}

La figura adyacente muestra las cuatro etapas involucradas en el cálculo de DCT-II 3D utilizando el algoritmo VR DIF. La primera etapa es la reordenación 3D utilizando el mapeo de índices ilustrado por las ecuaciones anteriores. La segunda etapa es el cálculo de mariposa . Cada mariposa calcula ocho puntos juntos como se muestra en la figura justo debajo, dondedo(φi)=porque⁡(φi){\displaystyle c(\varphi _{i})=\cos(\varphi _{i})}.

La DCT-II 3D original ahora se puede escribir como

incógnita(k1,k2,k3)=∑norte1=1norte−1∑norte2=1norte−1∑norte3=1norte−1incógnita~(norte1,norte2,norte3)porque⁡(φk1)porque⁡(φk2)porque⁡(φk3){\displaystyle X(k_{1},k_{2},k_{3})=\sum _{n_{1}=1}^{N-1}\sum _{n_{2}=1}^{N-1}\sum _{n_{3}=1}^{N-1}{\tilde {x}}(n_{1},n_{2},n_{3})\cos(\varphi k_{1})\cos(\varphi k_{2})\cos(\varphi k_{3})}
dóndeφi=π2norte(4nortei+1), y i=1,2,3.{\displaystyle \varphi _{i}={\frac {\pi }{2N}}(4N_{i}+1),{\text{ and }}i=1,2,3.}

Si las partes pares e impares dek1,k2{\displaystyle k_{1},k_{2}}yk3{\displaystyle k_{3}}Se consideran las siguientes fórmulas generales para el cálculo del DCT-II 3D:

La etapa de mariposa única del algoritmo VR DIF.
incógnita(k1,k2,k3)=∑norte1=1norte2−1∑norte2=1norte2−1∑norte1=1norte2−1incógnita~ijl(norte1,norte2,norte3)porque⁡(φ(2k1+i)porque⁡(φ(2k2+j)porque⁡(φ(2k3+l)){\displaystyle X(k_{1},k_{2},k_{3})=\sum _{n_{1}=1}^{{\tfrac {N}{2}}-1}\sum _{n_{2}=1}^{{\tfrac {N}{2}}-1}\sum _{n_{1}=1}^{{\tfrac {N}{2}}-1}{\tilde {x}}_{ijl}(n_{1},n_{2},n_{3})\cos(\varphi (2k_{1}+i)\cos(\varphi (2k_{2}+j)\cos(\varphi (2k_{3}+l))}
dónde
incógnita~ijl(norte1,norte2,norte3)=incógnita~(norte1,norte2,norte3)+(−1)lincógnita~(norte1,norte2,norte3+norte2){\displaystyle {\tilde {x}}_{ijl}(n_{1},n_{2},n_{3})={\tilde {x}}(n_{1},n_{2},n_{3})+(-1)^{l}{\tilde {x}}\left(n_{1},n_{2},n_{3}+{\frac {n}{2}}\right)}
+(−1)jincógnita~(norte1,norte2+norte2,norte3)+(−1)j+lincógnita~(norte1,norte2+norte2,norte3+norte2){\displaystyle +(-1)^{j}{\tilde {x}}\left(n_{1},n_{2}+{\frac {n}{2}},n_{3}\right)+(-1)^{j+l}{\tilde {x}}\left(n_{1},n_{2}+{\frac {n}{2}},n_{3}+{\frac {n}{2}}\right)}
+(−1)iincógnita~(norte1+norte2,norte2,norte3)+(−1)i+jincógnita~(norte1+norte2+norte2,norte2,norte3){\displaystyle +(-1)^{i}{\tilde {x}}\left(n_{1}+{\frac {n}{2}},n_{2},n_{3}\right)+(-1)^{i+j}{\tilde {x}}\left(n_{1}+{\frac {n}{2}}+{\frac {n}{2}},n_{2},n_{3}\right)}
+(−1)i+lincógnita~(norte1+norte2,norte2,norte3+norte3){\displaystyle +(-1)^{i+l}{\tilde {x}}\left(n_{1}+{\frac {n}{2}},n_{2},n_{3}+{\frac {n}{3}}\right)}
+(−1)i+j+lincógnita~(norte1+norte2,norte2+norte2,norte3+norte2) dónde i,j,l=0 o 1.{\displaystyle +(-1)^{i+j+l}{\tilde {x}}\left(n_{1}+{\frac {n}{2}},n_{2}+{\frac {n}{2}},n_{3}+{\frac {n}{2}}\right){\text{ where }}i,j,l=0{\text{ or }}1.}
Complejidad aritmética

Todo el cálculo DCT 3D necesita [registro2⁡norte] {\displaystyle ~[\log _{2}N]~}etapas, y cada etapa implica 18 norte3 {\displaystyle ~{\tfrac {1}{8}}\ N^{3}~}mariposas. Todo el DCT 3D requiere [18 norte3registro2⁡norte] {\displaystyle ~\left[{\tfrac {1}{8}}\ N^{3}\log _{2}N\right]~}mariposas que deben calcularse. Cada mariposa requiere siete multiplicaciones reales (incluidas las multiplicaciones triviales) y 24 sumas reales (incluidas las sumas triviales). Por lo tanto, el número total de multiplicaciones reales necesarias para esta etapa es [78 norte3 registro2⁡norte] ,{\displaystyle ~\left[{\tfrac {7}{8}}\ N^{3}\ \log _{2}N\right]~,}y el número total de sumas reales, es decir, incluyendo las post-adiciones (adiciones recursivas) que se pueden calcular directamente después de la etapa mariposa o después de la etapa de inversión de bits, se dan por [ 107 ]. [32norte3registro2⁡norte]⏟Real+[32norte3registro2⁡norte−3norte3+3norte2]⏟Recursivo=[92norte3registro2⁡norte−3norte3+3norte2] .{\displaystyle ~\underbrace {\left[{\frac {3}{2}}N^{3}\log _{2}N\right]} _{\text{Real}}+\underbrace {\left[{\frac {3}{2}}N^{3}\log _{2}N-3N^{3}+3N^{2}\right]} _{\text{Recursive}}=\left[{\frac {9}{2}}N^{3}\log _{2}N-3N^{3}+3N^{2}\right]~.}

El método convencional para calcular MD-DCT-II utiliza un enfoque de Fila-Columna-Marco (RCF), que es computacionalmente complejo y menos productivo en la mayoría de las plataformas de hardware avanzadas recientes. El algoritmo VR DIF requiere menos multiplicaciones que el algoritmo RCF. El número de multiplicaciones y sumas involucradas en el enfoque RCF viene dado por [32norte3registro2⁡norte] {\displaystyle ~\left[{\frac {3}{2}}N^{3}\log _{2}N\right]~}y [92norte3registro2⁡norte−3norte3+3norte2] ,{\displaystyle ~\left[{\frac {9}{2}}N^{3}\log _{2}N-3N^{3}+3N^{2}\right]~,}respectivamente.

El número total de multiplicaciones asociadas al algoritmo 3-D DCT VR es inferior en más de un 40 % al del método RCF. Además, el método RCF implica la transposición de matrices y un mayor número de indexaciones e intercambios de datos que el algoritmo VR DIF. Esto hace que el algoritmo 3-D DCT VR sea más eficiente y más adecuado para aplicaciones 3D que utilizan la DCT-II 3D, como la compresión de vídeo y otras aplicaciones de procesamiento de imágenes 3D.

La principal consideración al elegir un algoritmo rápido es evitar complejidades computacionales y estructurales. A medida que avanza la tecnología de computadoras y DSP, el tiempo de ejecución de las operaciones aritméticas (multiplicaciones y sumas) mejora y la estructura computacional regular se convierte en el factor más importante. [ 108 ] Por lo tanto, aunque el algoritmo 3-D VR propuesto anteriormente no alcanza el límite inferior teórico en el número de multiplicaciones, [ 109 ] tiene una estructura computacional más simple en comparación con otros algoritmos DCT 3-D. Puede implementarse in situ utilizando una sola mariposa y posee las propiedades del algoritmo FFT de Cooley-Tukey en 3-D. Por lo tanto, el 3-D VR representa una buena opción para reducir las operaciones aritméticas en el cálculo del DCT-II 3-D, manteniendo la estructura simple que caracteriza a los algoritmos FFT de Cooley-Tukey de estilo mariposa.

Frecuencias DCT bidimensionales a partir de la DCT JPEG

La imagen de la derecha muestra una combinación de frecuencias horizontales y verticales para un 8 × 8( norte1=norte2=8 ){\displaystyle (~N_{1}=N_{2}=8~)}DCT bidimensional. Cada paso de izquierda a derecha y de arriba abajo representa un aumento de frecuencia de medio ciclo. Por ejemplo, un desplazamiento a la derecha desde la esquina superior izquierda produce un aumento de medio ciclo en la frecuencia horizontal. Otro desplazamiento a la derecha produce dos semiciclos. Un desplazamiento hacia abajo produce dos semiciclos horizontalmente y un semiciclo verticalmente. Los datos originales ( 8 × 8 ) se transforman en una combinación lineal de estos 64 cuadrados de frecuencia.

MD DCT-IV

La MD DCT-IV es una extensión de la DCT-IV unidimensional a un dominio M- dimensional. La DCT-IV bidimensional de una matriz o una imagen viene dada por

incógnitak,ℓ=∑norte=0norte−1∑metro=0METRO−1 incógnitanorte,metroporque⁡( (2metro+1)(2k+1) π4norte )porque⁡( (2norte+1)(2ℓ+1) π4METRO ) ,{\displaystyle X_{k,\ell }=\sum _{n=0}^{N-1}\;\sum _{m=0}^{M-1}\ x_{n,m}\cos \left(\ {\frac {\,(2m+1)(2k+1)\ \pi \,}{4N}}\ \right)\cos \left(\ {\frac {\,(2n+1)(2\ell +1)\ \pi \,}{4M}}\ \right)~,}
para  k=0, 1, 2 … norte−1  {\displaystyle ~~k=0,\ 1,\ 2\ \ldots \ N-1~~}y  ℓ=0, 1, 2, … METRO−1 .{\displaystyle ~~\ell =0,\ 1,\ 2,\ \ldots \ M-1~.}

Podemos calcular la DCT-IV multidimensional utilizando el método de filas y columnas convencional, o bien podemos usar el método de transformación polinómica [ 110 ] para un cálculo rápido y eficiente. La idea principal de este algoritmo es utilizar la transformación polinómica para convertir directamente la DCT multidimensional en una serie de DCT unidimensionales.

Cálculo

Aunque la aplicación directa de estas fórmulas requeriría O(norte2) {\displaystyle ~{\mathcal {O}}(N^{2})~}operaciones, es posible calcular lo mismo con solo O(norteregistro⁡norte) {\displaystyle ~{\mathcal {O}}(N\log N)~}complejidad al factorizar el cálculo de manera similar a la transformada rápida de Fourier (FFT). También se pueden calcular DCT mediante FFT combinadas con O(norte) {\displaystyle ~{\mathcal {O}}(N)~}Pasos de preprocesamiento y postprocesamiento. En general, O(norteregistro⁡norte) {\displaystyle ~{\mathcal {O}}(N\log N)~}Los métodos para calcular las DCT se conocen como algoritmos de transformada rápida del coseno (FCT, por sus siglas en inglés).

Los algoritmos más eficientes, en principio, suelen ser aquellos que están especializados directamente para la DCT, en contraposición al uso de una FFT ordinaria más O(norte) {\displaystyle ~{\mathcal {O}}(N)~}operaciones adicionales (véase más abajo una excepción). Sin embargo, incluso los algoritmos DCT especializados (incluidos todos aquellos que alcanzan los recuentos aritméticos conocidos más bajos, al menos para tamaños de potencia de dos ) suelen estar estrechamente relacionados con los algoritmos FFT. Dado que las DCT son esencialmente DFT de datos pares reales, se puede diseñar un algoritmo DCT rápido tomando una FFT y eliminando las operaciones redundantes debido a esta simetría. Esto incluso se puede hacer automáticamente. [ 111 ] Los algoritmos basados ​​en el algoritmo FFT de Cooley-Tukey son los más comunes, pero cualquier otro algoritmo FFT también es aplicable. Por ejemplo, el algoritmo FFT de Winograd conduce a algoritmos de multiplicación mínima para la DFT, aunque generalmente a costa de más sumas, y Feig y Winograd propusieron un algoritmo similar para la DCT. [ 112 ] Debido a que los algoritmos para DFT, DCT y transformaciones similares están tan estrechamente relacionados, cualquier mejora en los algoritmos para una transformación puede conducir a ganancias inmediatas para las otras transformaciones también. [ 113 ]

Si bien los algoritmos DCT que emplean una FFT sin modificar suelen tener cierta sobrecarga teórica en comparación con los mejores algoritmos DCT especializados, también presentan una clara ventaja: existen programas FFT altamente optimizados ampliamente disponibles. Por lo tanto, en la práctica, suele ser más fácil obtener un alto rendimiento para longitudes generales N con algoritmos basados ​​en FFT. [ c ] Por otro lado, los algoritmos DCT especializados se utilizan ampliamente para transformadas de tamaño pequeño y fijo, como la DCT-II de 8 × 8 utilizada en la compresión JPEG , o las DCT pequeñas (o MDCT) que se utilizan habitualmente en la compresión de audio. (La reducción del tamaño del código también puede ser un motivo para utilizar una DCT especializada en aplicaciones para dispositivos integrados).

De hecho, incluso los algoritmos DCT que utilizan una FFT ordinaria a veces son equivalentes a podar las operaciones redundantes de una FFT más grande de datos simétricos reales, e incluso pueden ser óptimos desde la perspectiva de los recuentos aritméticos. Por ejemplo, una DCT de tipo II es equivalente a una DFT de tamaño 4norte {\displaystyle ~4N~}con simetría par real cuyos elementos de índice par son cero. Uno de los métodos más comunes para calcular esto mediante una FFT (por ejemplo, el método utilizado en FFTPACK y FFTW ) fue descrito por Narasimha y Peterson (1978) y Makhoul (1980) , y este método en retrospectiva puede verse como un paso de un algoritmo de Cooley-Tukey de decimación en el tiempo de base 4 aplicado a la DFT par real "lógica" correspondiente a la DCT-II. [ d ] Debido a que los elementos de índice par son cero, este paso de base 4 es exactamente el mismo que un paso de base dividida. Si el tamaño subsiguiente norte {\displaystyle ~N~}La FFT de datos reales también se realiza mediante un algoritmo de base dividida de datos reales (como en Sorensen et al. (1987) ), entonces el algoritmo resultante coincide realmente con lo que durante mucho tiempo fue el recuento aritmético más bajo publicado para la DCT-II de potencia de dos ( 2norteregistro2⁡norte−norte+2 {\displaystyle ~2N\log _{2}N-N+2~}operaciones aritméticas reales [ e ] ).

Una reciente reducción en el número de operaciones a 179norteregistro2⁡norte+O(norte){\displaystyle ~{\tfrac {17}{9}}N\log _{2}N+{\mathcal {O}}(N)}También utiliza una FFT de datos reales. [ 114 ] Por lo tanto, no hay nada intrínsecamente malo en calcular la DCT mediante una FFT desde una perspectiva aritmética; a veces es simplemente una cuestión de si el algoritmo FFT correspondiente es óptimo. (En la práctica, la sobrecarga de la llamada a la función al invocar una rutina FFT separada podría ser significativa para datos pequeños norte ,{\displaystyle ~N~,}pero se trata de una cuestión de implementación más que de un problema algorítmico, ya que puede resolverse mediante el desenrollado o la inserción en línea.

Ejemplo de IDCT

Un ejemplo que muestra ocho filtros diferentes aplicados a una imagen de prueba (arriba a la izquierda) multiplicando su espectro DCT (arriba a la derecha) por cada filtro.

Considere esta imagen en escala de grises de 8 × 8 de la letra mayúscula A.

Tamaño original, escalado 10x (vecino más cercano), escalado 10x (bilineal).
Funciones base de la transformada discreta del coseno con coeficientes correspondientes (específicos para nuestra imagen). DCT de la imagen = [6.1917−0,34111.24180,14920,15830,2742−0,07240,05610,22050,02140,45030,3947−0,7846−0,43910,1001−0,25541.04230,2214−1.0017−0,27200,0789−0,19520,28010,4713−0,2340−0,0392−0,2617−0,28660,63510,3501−0,14330,35500,27500,02260,12290,2183−0,2583−0,0742−0,2042−0,59060,06530,0428−0,4721−0,29050,47450,2875−0,0284−0,13110,31690,0541−0,1033−0,0225−0,00560,1017−0,1650−0,1500−0,2970−0,06270,19600,0644−0,1136−0,10310,18870,1444]{\displaystyle {\begin{bmatrix}6.1917&-0.3411&1.2418&0.1492&0.1583&0.2742&-0.0724&0.0561\\0.2205&0.0214&0.4503&0.3947&-0.7846&-0.4391&0.1001&-0.2554\\1.0423&0.2214&-1.0017&-0.2720&0.0789&-0.1952&0.2801&0.4713\\-0.2340&-0.0392&-0.2617&-0.2866&0.6351&0.3501&-0.1433&0.3550\\0.2750&0.0226&0.1229&0.2183&-0.2583&-0.0742&-0.2042&-0.5906\\0.0653&0.0428&-0.4721&-0.2905&0.4745&0.2875&-0.0284&-0.1311\\0.3169&0.0541&-0.1033&-0.0225&-0.0056&0.1017&-0.1650&-0.1500\\-0.2970&-0.0627&0.1960&0.0644&-0.1136&-0.1031&0.1887&0.1444\\\end{bmatrix}}}.

Cada función base se multiplica por su coeficiente y luego este producto se suma a la imagen final.

A la izquierda se muestra la imagen final. En el centro, la función ponderada (multiplicada por un coeficiente) que se suma a la imagen final. A la derecha, la función actual y su coeficiente correspondiente. Las imágenes se escalan (mediante interpolación bilineal) por un factor de 10.

Véase también

Notas

  1. ↑ Aquí, pensamos en la DFT o la DCT como aproximaciones para la serie de Fourier o la serie de cosenos de una función, respectivamente, para hablar de su suavidad.
  2. ↑ Un problema similar surge para el DST, en el que la condición de contorno izquierda impar implica una discontinuidad para cualquier función que no sea cero en ese contorno.
  3. ↑ El rendimiento algorítmico en el hardware moderno no suele estar determinado principalmente por simples cálculos aritméticos, y la optimización requiere un esfuerzo de ingeniería sustancial para aprovechar al máximo, dentro de sus límites intrínsecos, la optimización de hardware integrada disponible.
  4. ↑ El paso de base 4 reduce el tamaño 4norte {\displaystyle ~4N~}DFT a cuatro tamaños norte {\displaystyle ~N~}DFT de datos reales, dos de los cuales son cero y dos de los cuales son iguales entre sí por la simetría par. Por lo tanto, dando un único tamaño norte {\displaystyle ~N~}FFT de datos reales más O(norte) {\displaystyle ~{\mathcal {O}}(N)~}mariposas , una vez que se eliminan o fusionan las partes triviales o duplicadas.
  5. ↑ El recuento preciso de operaciones aritméticas reales, y en particular el recuento de multiplicaciones reales, depende en cierta medida de la escala de la definición de la transformación. 2norteregistro2⁡norte−norte+2 {\displaystyle ~2N\log _{2}N-N+2~}El recuento corresponde a la definición DCT-II que se muestra aquí; se pueden ahorrar dos multiplicaciones si la transformación se escala mediante un valor general.2{\displaystyle {\sqrt {2}}}factor. Se pueden ahorrar multiplicaciones adicionales si se permite que las salidas de la transformación se reescalen individualmente, como demostraron Arai, Agui y Nakajima (1988) para el caso de tamaño 8 utilizado en JPEG.

Referencias

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Lecturas adicionales

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  • Wen-Hsiung Chen; Smith, C.; Fralick, S. (septiembre de 1977). "Un algoritmo computacional rápido para la transformada discreta del coseno". IEEE Transactions on Communications . 25 (9): 1004– 1009. Bibcode : 1977ITCom..25.1004W . doi : 10.1109/TCOM.1977.1093941 .
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  • Syed Ali Khayam: La transformada discreta del coseno (DCT): teoría y aplicación.
  • Implementación de la aproximación entera MPEG de la IDCT de 8x8 (ISO/IEC 23002-2)
  • Matteo Frigo y Steven G. Johnson : FFTW , página principal de FFTW . Una biblioteca C gratuita ( GPL ) que puede calcular DCT rápidas (tipos I-IV) en una o más dimensiones, de tamaño arbitrario.
  • Takuya Ooura: Paquete FFT de propósito general, paquete FFT de 1 dimensión / 2 dimensiones . Bibliotecas gratuitas en C y FORTRAN para calcular DCT rápidas (tipos II-III) en una, dos o tres dimensiones, tamaños que son potencias de 2.
  • Tim Kientzle: Algoritmos rápidos para calcular la DCT y la IDCT de 8 puntos, Algorithm Alley .
  • LTFAT es una caja de herramientas gratuita para Matlab/Octave con interfaces para la implementación FFTW de las DCT y DST de tipo I-IV.
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