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Detección comprimida

La detección comprimida (también conocida como muestreo compresivo o muestreo disperso ) es una técnica de procesamiento de señales para adquirir y reconstruir eficientemente un...

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La detección comprimida (también conocida como muestreo compresivo o muestreo disperso ) es una técnica de procesamiento de señales para adquirir y reconstruir eficientemente una señal mediante la búsqueda de soluciones a sistemas lineales subdeterminados . Esto se basa en el principio de que, a través de la optimización, la dispersión de una señal puede explotarse para recuperarla a partir de muchas menos muestras de las requeridas por el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon . Hay dos condiciones bajo las cuales es posible la recuperación. La primera es la dispersión , que requiere que la señal sea dispersa en algún dominio. La segunda es la incoherencia, que se aplica a través de la propiedad isométrica, que es suficiente para señales dispersas. [ 1 ] [ 2 ] La detección comprimida tiene aplicaciones en, por ejemplo, la resonancia magnética (RM), donde la condición de incoherencia generalmente se cumple. [ 3 ]

Descripción general

Un objetivo común en el campo de la ingeniería de procesamiento de señales es reconstruir una señal a partir de una serie de mediciones de muestreo. En general, esta tarea es imposible, ya que no hay forma de reconstruir una señal durante los períodos en que no se mide. Sin embargo, con conocimiento previo o suposiciones sobre la señal, resulta posible reconstruirla perfectamente a partir de una serie de mediciones (la adquisición de esta serie de mediciones se denomina muestreo ). Con el tiempo, los ingenieros han mejorado su comprensión de qué suposiciones son prácticas y cómo pueden generalizarse.

Un avance temprano en el procesamiento de señales fue el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon . Este teorema establece que si la frecuencia más alta de una señal real es menor que la mitad de la frecuencia de muestreo, entonces la señal puede reconstruirse perfectamente mediante interpolación sinc . La idea principal es que, conociendo previamente las restricciones en las frecuencias de la señal, se necesitan menos muestras para reconstruirla.

Alrededor de 2004, Emmanuel Candès , Justin Romberg , Terence Tao y David Donoho demostraron que, conociendo la escasez de una señal , esta puede reconstruirse con incluso menos muestras de las que requiere el teorema de muestreo. [ 4 ] [ 5 ] Esta idea es la base de la detección comprimida.

Historia

La detección comprimida se basa enL1{\displaystyle L^{1}}técnicas, que varios otros campos científicos han utilizado históricamente. [ 6 ] En estadística, el método de mínimos cuadrados fue complementado por elL1{\displaystyle L^{1}}norma - , que fue introducida por Laplace . Tras la introducción de la programación lineal y el algoritmo simplex de Dantzig , laL1{\displaystyle L^{1}}La norma -norma se utilizó en estadística computacional . En teoría estadística, laL1{\displaystyle L^{1}}La norma - fue utilizada por George W. Brown y autores posteriores sobre estimadores insesgados de la mediana . Fue utilizada por Peter J. Huber y otros que trabajaban en estadística robusta .L1{\displaystyle L^{1}}La norma también se utilizó en el procesamiento de señales, por ejemplo, en la década de 1970, cuando los sismólogos construyeron imágenes de capas reflectantes dentro de la tierra basándose en datos que no parecían satisfacer el criterio de Nyquist-Shannon . [ 7 ] Se utilizó en la búsqueda de coincidencias en 1993, el estimador LASSO de Robert Tibshirani en 1996 [ 8 ] y la búsqueda de bases en 1998. [ 9 ]

A primera vista, la detección comprimida podría parecer que viola el teorema de muestreo , ya que depende de la escasez de la señal en cuestión y no de su frecuencia más alta. Esto es un error, pues el teorema de muestreo garantiza una reconstrucción perfecta dadas condiciones suficientes, no necesarias. Un método de muestreo fundamentalmente diferente del muestreo clásico de tasa fija no puede "violar" el teorema de muestreo. Las señales dispersas con componentes de alta frecuencia pueden submuestrearse considerablemente utilizando la detección comprimida en comparación con el muestreo clásico de tasa fija. [ 10 ]

Método

Sistema lineal subdeterminado

Un sistema subdeterminado de ecuaciones lineales tiene más incógnitas que ecuaciones y, generalmente, un número infinito de soluciones. La siguiente figura muestra un sistema de ecuaciones de este tipo.y=Dincógnita{\displaystyle \mathbf {y} =D\mathbf {x} }donde queremos encontrar una solución paraincógnita{\displaystyle \mathbf {x} }.

Sistema de ecuaciones lineales subdeterminado

Para elegir una solución a un sistema de este tipo, es necesario imponer restricciones o condiciones adicionales (como la suavidad) según corresponda. En la detección comprimida, se añade la restricción de escasez, que permite únicamente soluciones con un número reducido de coeficientes distintos de cero. No todos los sistemas subdeterminados de ecuaciones lineales tienen una solución dispersa. Sin embargo, si existe una única solución dispersa para el sistema subdeterminado, el marco de detección comprimida permite recuperarla.

Método de solución/reconstrucción

Ejemplo de recuperación de una señal desconocida (línea gris) a partir de pocas mediciones (puntos negros) utilizando el conocimiento de que la señal es dispersa en la base de polinomios de Hermite (los puntos morados muestran los coeficientes recuperados).

La detección comprimida aprovecha la redundancia en muchas señales interesantes; no son ruido puro. En particular, muchas señales son dispersas , es decir, contienen muchos coeficientes cercanos o iguales a cero, cuando se representan en algún dominio. [ 11 ] Esta es la misma idea que se utiliza en muchas formas de compresión con pérdida .

La detección comprimida generalmente comienza con la toma de una combinación lineal ponderada de muestras, también llamadas mediciones compresivas, en una base diferente de la base en la que se sabe que la señal es dispersa. Los resultados obtenidos por Emmanuel Candès , Justin Romberg , Terence Tao y David Donoho demostraron que el número de estas mediciones compresivas puede ser pequeño y aun así contener casi toda la información útil. Por lo tanto, la tarea de convertir la imagen de nuevo al dominio deseado implica resolver una ecuación matricial subdeterminada , ya que el número de mediciones compresivas tomadas es menor que el número de píxeles en la imagen completa. Sin embargo, agregar la restricción de que la señal inicial sea dispersa permite resolver este sistema subdeterminado de ecuaciones lineales .

La solución de mínimos cuadrados a tales problemas es minimizar laL2{\displaystyle L^{2}}norma —es decir, minimizar la cantidad de energía en el sistema. Esto suele ser matemáticamente sencillo (solo implica una multiplicación matricial por la pseudoinversa de la base muestreada). Sin embargo, esto conduce a resultados deficientes en muchas aplicaciones prácticas, para las cuales los coeficientes desconocidos tienen energía distinta de cero.

Para imponer la restricción de escasez al resolver el sistema subdeterminado de ecuaciones lineales, se puede minimizar el número de componentes no nulas de la solución. La función que cuenta el número de componentes no nulas de un vector se denominóL0{\displaystyle L^{0}}"Norma" de David Donoho. [ nota 1 ]

Candès et al. demostraron que para muchos problemas es probable que laL1{\displaystyle L^{1}}La norma es equivalente a laL0{\displaystyle L^{0}}norma , en sentido técnico: Este resultado de equivalencia permite resolver elL1{\displaystyle L^{1}}el problema, que es más fácil que elL0{\displaystyle L^{0}}problema. Encontrar al candidato con el más pequeñoL1{\displaystyle L^{1}}La norma se puede expresar con relativa facilidad como un programa lineal , para el cual ya existen métodos de solución eficientes. [ 13 ] Cuando las mediciones pueden contener una cantidad finita de ruido, se prefiere la eliminación de ruido mediante búsqueda de base sobre la programación lineal, ya que preserva la escasez frente al ruido y se puede resolver más rápidamente que un programa lineal exacto.

Los umbrales de reconstrucción de casos típicos también se han estudiado con métodos estadístico-mecánicos. Kabashima, Wadayama y Tanaka utilizaron el método de réplica para analizar los límites de reconstrucción paraLpag{\displaystyle L_{p}}minimización de la norma con grandes matrices de medición aleatorias, [ 14 ] y Takeda y Kabashima extendieron dicho análisis a matrices de medición correlacionadas. [ 15 ]

Reconstrucción CS basada en la variación total

Motivación y aplicaciones

Papel de la regularización televisiva

La variación total puede considerarse como una función real no negativa definida en el espacio de funciones reales (para funciones de una variable) o en el espacio de funciones integrables (para funciones de varias variables). En el caso de las señales, la variación total se refiere a la integral del gradiente absoluto de la señal. En la reconstrucción de señales e imágenes, se aplica como regularización de la variación total, cuyo principio subyacente es que las señales con detalles excesivos presentan una alta variación total y que la eliminación de estos detalles, conservando información importante como los bordes, reduce la variación total de la señal y la aproxima a la señal original.

Con el fin de reconstruir la señal y la imagen,ℓ1{\displaystyle \ell _{1}}Se utilizan modelos de minimización. Otros enfoques también incluyen los mínimos cuadrados, como se ha comentado anteriormente en este artículo. Estos métodos son extremadamente lentos y devuelven una reconstrucción no tan perfecta de la señal. Los modelos actuales de regularización CS intentan abordar este problema incorporando priors de escasez de la imagen original, uno de los cuales es la variación total (TV). Los enfoques convencionales de TV están diseñados para dar soluciones constantes por partes. Algunos de estos incluyen (como se comenta más adelante) – restringidosℓ1{\textstyle \ell _{1}}-minimización que utiliza un esquema iterativo. Este método, aunque rápido, conduce posteriormente a un suavizado excesivo de los bordes, lo que resulta en bordes de imagen borrosos. [ 16 ] Se han implementado métodos TV con reponderación iterativa para reducir la influencia de grandes magnitudes de valores de gradiente en las imágenes. Esto se ha utilizado en la reconstrucción de tomografía computarizada (TC) como un método conocido como variación total que preserva los bordes. Sin embargo, como las magnitudes del gradiente se utilizan para la estimación de pesos de penalización relativos entre la fidelidad de los datos y los términos de regularización, este método no es robusto al ruido y los artefactos y no es lo suficientemente preciso para la reconstrucción de imágenes/señales CS y, por lo tanto, no logra preservar estructuras más pequeñas.

Los avances recientes en este problema implican el uso de un refinamiento iterativo direccional de TV para la reconstrucción de CS. [ 17 ] Este método constaría de dos etapas: la primera etapa estimaría y refinaría el campo de orientación inicial, que se define como una estimación inicial puntual ruidosa, mediante la detección de bordes, de la imagen dada. En la segunda etapa, el modelo de reconstrucción de CS se presenta utilizando un regularizador direccional de TV. A continuación se proporcionan más detalles sobre estos enfoques basados ​​en TV: minimización l1 reponderada iterativamente, TV que preserva los bordes y modelo iterativo que utiliza el campo de orientación direccional y TV.

Enfoques existentes

Minimización iterativamente ponderada de ℓ 1
Reponderado iterativamenteℓ1{\textstyle \ell _{1}}método de minimización para CS

En los modelos de reconstrucción CS que utilizan restriccionesℓ1{\displaystyle \ell _{1}}minimización, [ 18 ] los coeficientes más grandes se penalizan fuertemente en elℓ1{\displaystyle \ell _{1}}norma. Se propuso tener una formulación ponderada deℓ1{\displaystyle \ell _{1}}minimización diseñada para penalizar de manera más democrática los coeficientes distintos de cero. Se utiliza un algoritmo iterativo para construir los pesos apropiados. [ 19 ] Cada iteración requiere resolver unaℓ1{\displaystyle \ell _{1}}problema de minimización al encontrar el mínimo local de una función de penalización cóncava que se asemeja más a laℓ0{\displaystyle \ell _{0}}Norma. Se introduce un parámetro adicional en la ecuación iterativa, generalmente para evitar transiciones bruscas en la curva de la función de penalización, con el fin de garantizar la estabilidad y evitar que una estimación de cero en una iteración resulte necesariamente en una estimación de cero en la siguiente. El método consiste esencialmente en utilizar la solución actual para calcular los pesos que se usarán en la siguiente iteración.

Ventajas y desventajas

Las primeras iteraciones pueden arrojar estimaciones de muestra inexactas; sin embargo, este método las submuestreará posteriormente para dar mayor peso a las estimaciones de señal no nulas más pequeñas. Una de las desventajas es la necesidad de definir un punto de partida válido, ya que no siempre se puede obtener un mínimo global debido a la concavidad de la función. Otra desventaja es que este método tiende a penalizar uniformemente el gradiente de la imagen, independientemente de las estructuras subyacentes. Esto provoca un suavizado excesivo de los bordes, especialmente en regiones de bajo contraste, lo que conlleva la pérdida de información de bajo contraste. Las ventajas de este método incluyen: reducción de la tasa de muestreo para señales dispersas; reconstrucción de la imagen con robustez ante la eliminación de ruido y otros artefactos; y uso de muy pocas iteraciones. Esto también puede ayudar a recuperar imágenes con gradientes dispersos.

En la figura que se muestra a continuación, P1 se refiere al primer paso del proceso de reconstrucción iterativa de la matriz de proyección P de la geometría de haz en abanico, que está restringida por el término de fidelidad de datos. Esto puede contener ruido y artefactos ya que no se realiza ninguna regularización. La minimización de P1 se resuelve mediante el método de mínimos cuadrados de gradiente conjugado. P2 se refiere al segundo paso del proceso de reconstrucción iterativa en el que se utiliza el término de regularización de variación total que preserva los bordes para eliminar el ruido y los artefactos, y así mejorar la calidad de la imagen/señal reconstruida. La minimización de P2 se realiza mediante un método simple de descenso de gradiente. La convergencia se determina probando, después de cada iteración, la positividad de la imagen, comprobando siFk−1=0{\displaystyle f^{k-1}=0}para el caso cuandoFk−1<0{\displaystyle f^{k-1}<0}(Tenga en cuenta queF{\displaystyle f}(se refiere a los diferentes coeficientes de atenuación lineal de rayos X en diferentes vóxeles de la imagen del paciente).

Detección comprimida basada en variación total (TV) que preserva los bordes
Diagrama de flujo para el método de variación total que preserva los bordes para la detección comprimida.

Este es un algoritmo iterativo de reconstrucción de TC con regularización TV que preserva los bordes para reconstruir imágenes de TC a partir de datos altamente submuestreados obtenidos en TC de baja dosis mediante bajos niveles de corriente (miliamperios). Para reducir la dosis de imagen, uno de los enfoques utilizados es reducir el número de proyecciones de rayos X adquiridas por los detectores del escáner. Sin embargo, estos datos de proyección insuficientes que se utilizan para reconstruir la imagen de TC pueden causar artefactos de rayas. Además, el uso de estas proyecciones insuficientes en algoritmos TV estándar termina por hacer que el problema sea subdeterminado y, por lo tanto, conduce a infinitas soluciones posibles. En este método, se asigna una función ponderada de penalización adicional a la norma TV original. Esto permite una detección más sencilla de discontinuidades abruptas en la intensidad en las imágenes y, por lo tanto, adapta el peso para almacenar la información de borde recuperada durante el proceso de reconstrucción de señal/imagen. El parámetroσ{\displaystyle \sigma }controla la cantidad de suavizado aplicada a los píxeles en los bordes para diferenciarlos de los píxeles que no están en los bordes. El valor deσ{\displaystyle \sigma }se modifica de forma adaptativa en función de los valores del histograma de la magnitud del gradiente, de modo que un cierto porcentaje de píxeles tengan valores de gradiente mayores queσ{\displaystyle \sigma }El término de variación total que preserva los bordes se vuelve, por lo tanto, más disperso, lo que acelera la implementación. Se utiliza un proceso iterativo de dos pasos conocido como algoritmo de división hacia adelante-hacia atrás. [ 20 ] El problema de optimización se divide en dos subproblemas que luego se resuelven con el método de mínimos cuadrados de gradiente conjugado [ 21 ] y el método de descenso de gradiente simple, respectivamente. El método se detiene cuando se alcanza la convergencia deseada o cuando se llega al número máximo de iteraciones. [ 16 ]

Ventajas y desventajas

Algunas de las desventajas de este método son la ausencia de estructuras más pequeñas en la imagen reconstruida y la degradación de la resolución de la imagen. Sin embargo, este algoritmo de TV que preserva los bordes requiere menos iteraciones que el algoritmo de TV convencional. [ 16 ] Al analizar los perfiles de intensidad horizontal y vertical de las imágenes reconstruidas, se puede observar que hay saltos bruscos en los puntos de borde y fluctuaciones menores e insignificantes en los puntos que no son de borde. Por lo tanto, este método conduce a un error relativo bajo y una correlación mayor en comparación con el método de TV. También suprime y elimina eficazmente cualquier forma de ruido de imagen y artefactos de imagen como rayas.

Modelo iterativo que utiliza un campo de orientación direccional y variación total direccional.

Para evitar el suavizado excesivo de los bordes y los detalles de la textura, y para obtener una imagen CS reconstruida que sea precisa y robusta frente al ruido y los artefactos, se utiliza este método. Primero, se realiza una estimación inicial del campo de orientación puntual ruidoso de la imagen.I{\displaystyle I},d^{\displaystyle {\hat {d}}}, is obtained. This noisy orientation field is defined so that it can be refined at a later stage to reduce the noise influences in orientation field estimation. A coarse orientation field estimation is then introduced based on structure tensor, which is formulated as:[22]Jρ(∇Iσ)=Gρ∗(∇Iσ⊗∇Iσ)=(J11J12J12J22){\displaystyle J_{\rho }(\nabla I_{\sigma })=G_{\rho }*(\nabla I_{\sigma }\otimes \nabla I_{\sigma })={\begin{pmatrix}J_{11}&J_{12}\\J_{12}&J_{22}\end{pmatrix}}}. Here, Jρ{\displaystyle J_{\rho }} refers to the structure tensor related with the image pixel point (i,j) having standard deviation ρ{\displaystyle \rho }. G{\displaystyle G} refers to the Gaussian kernel (0,ρ2){\displaystyle (0,\rho ^{2})} with standard deviation ρ{\displaystyle \rho }. σ{\displaystyle \sigma } refers to the manually defined parameter for the image I{\displaystyle I} below which the edge detection is insensitive to noise. ∇Iσ{\displaystyle \nabla I_{\sigma }} refers to the gradient of the image I{\displaystyle I} and (∇Iσ⊗∇Iσ){\displaystyle (\nabla I_{\sigma }\otimes \nabla I_{\sigma })} refers to the tensor product obtained by using this gradient.[17]

The structure tensor obtained is convolved with a Gaussian kernel G{\displaystyle G} to improve the accuracy of the orientation estimate with σ{\displaystyle \sigma } being set to high values to account for the unknown noise levels. For every pixel (i,j) in the image, the structure tensor J is a symmetric and positive semi-definite matrix. Convolving all the pixels in the image with G{\displaystyle G}, gives orthonormal eigen vectors ω and υ of the J{\displaystyle J} matrix. ω points in the direction of the dominant orientation having the largest contrast and υ points in the direction of the structure orientation having the smallest contrast. The orientation field coarse initial estimation d^{\displaystyle {\hat {d}}} is defined as d^{\displaystyle {\hat {d}}} = υ. This estimate is accurate at strong edges. However, at weak edges or on regions with noise, its reliability decreases.

To overcome this drawback, a refined orientation model is defined in which the data term reduces the effect of noise and improves accuracy while the second penalty term with the L2-norm is a fidelity term which ensures accuracy of initial coarse estimation.

This orientation field is introduced into the directional total variation optimization model for CS reconstruction through the equation: minX‖∇X∙d‖1+λ2 ‖Y−ΦX‖22{\displaystyle \min _{\mathrm {X} }\lVert \nabla \mathrm {X} \bullet d\rVert _{1}+{\frac {\lambda }{2}}\ \lVert Y-\Phi \mathrm {X} \rVert _{2}^{2}}. X{\displaystyle \mathrm {X} } is the objective signal which needs to be recovered. Y is the corresponding measurement vector, d is the iterative refined orientation field and Φ{\displaystyle \Phi } is the CS measurement matrix. This method undergoes a few iterations ultimately leading to convergence.d^{\displaystyle {\hat {d}}} is the orientation field approximate estimation of the reconstructed image Xk−1{\displaystyle X^{k-1}} from the previous iteration (in order to check for convergence and the subsequent optical performance, the previous iteration is used). For the two vector fields represented by X{\displaystyle \mathrm {X} } and d{\displaystyle d}, X∙d{\displaystyle \mathrm {X} \bullet d} refers to the multiplication of respective horizontal and vertical vector elements of X{\displaystyle \mathrm {X} } and d{\displaystyle d}seguido de su posterior suma. Estas ecuaciones se reducen a una serie de problemas de minimización convexa que luego se resuelven con una combinación de métodos de división de variables y lagrangiano aumentado (solucionador rápido basado en FFT con una solución de forma cerrada). [ 17 ] Se considera que el lagrangiano aumentado es equivalente a la iteración de Bregman dividida, lo que garantiza la convergencia de este método. El campo de orientación, d, se define como igual a(dh,dv){\displaystyle (d_{h},d_{v})}, dóndedh,dv{\displaystyle d_{h},d_{v}}definir las estimaciones horizontales y verticales ded{\displaystyle d}.

Método de Lagrangiano aumentado para modelos de refinamiento iterativo de campos de orientación y campos direccionales.

El método del lagrangiano aumentado para el campo de orientación, minincógnita‖∇incógnita∙d‖1+λ2 ‖Y−Φincógnita‖22{\displaystyle \min _{\mathrm {X} }\lVert \nabla \mathrm {X} \bullet d\rVert _{1}+{\frac {\lambda }{2}}\ \lVert Y-\Phi \mathrm {X} \rVert _{2}^{2}}, implica inicializardh,dv,H,V{\displaystyle d_{h},d_{v},H,V}y luego encontrar el minimizador aproximado deL1{\displaystyle L_{1}}con respecto a estas variables. Luego se actualizan los multiplicadores de Lagrange y el proceso iterativo se detiene cuando se alcanza la convergencia. Para el modelo iterativo de refinamiento de variación total direccional, el método de Lagrange aumentado implica inicializarincógnita,PAG,Q,λPAG,λQ{\displaystyle \mathrm {X} ,P,Q,\lambda _ {P},\lambda _ {Q}}. [ 23 ]

Aquí,H,V,PAG,Q{\displaystyle H,V,P,Q}son variables introducidas recientemente dondeH{\displaystyle H}=∇dh{\displaystyle \nabla d_{h}},V{\displaystyle V}=∇dv{\displaystyle \nabla d_{v}},PAG{\displaystyle P}=∇incógnita{\displaystyle \nabla \mathrm {X} }, yQ{\displaystyle Q}=PAG∙d{\displaystyle P\bullet d}.λH,λV,λPAG,λQ{\displaystyle \lambda _{H},\lambda _{V},\lambda _{P},\lambda _{Q}}son los multiplicadores de Lagrange paraH,V,PAG,Q{\displaystyle H,V,P,Q}. Para cada iteración, el minimizador aproximado deL2{\displaystyle L_{2}}con respecto a las variables (incógnita,PAG,Q{\displaystyle \mathrm {X} ,P,Q}) se calcula. Y como en el modelo de refinamiento de campo, los multiplicadores de Lagrange se actualizan y el proceso iterativo se detiene cuando se alcanza la convergencia.

Para el modelo de refinamiento del campo de orientación, los multiplicadores de Lagrange se actualizan en el proceso iterativo de la siguiente manera:

(λH)k=(λH)k−1+γH(Hk−∇(dh)k){\displaystyle (\lambda _{H})^{k}=(\lambda _{H})^{k-1}+\gamma _{H}(H^{k}-\nabla (d_{h})^{k})}
(λV)k=(λV)k−1+γV(Vk−∇(dv)k){\displaystyle (\lambda _{V})^{k}=(\lambda _{V})^{k-1}+\gamma _{V}(V^{k}-\nabla (d_{v})^{k})}

Para el modelo iterativo de refinamiento de variación total direccional, los multiplicadores de Lagrange se actualizan de la siguiente manera:

(λPAG)k=(λPAG)k−1+γPAGPAGk−∇(incógnita)k){\displaystyle (\lambda _{P})^{k}=(\lambda _{P})^{k-1}+\gamma _{P}P^{k}-\nabla (\mathrm {X} )^{k})}
(λQ)k=(λQ)k−1+γQ(Qk−PAGk∙d){\displaystyle (\lambda _{Q})^{k}=(\lambda _{Q})^{k-1}+\gamma _{Q}(Q^{k}-P^{k}\bullet d)}

Aquí,γH,γV,γPAG,γQ{\displaystyle \gamma _{H},\gamma _{V},\gamma _{P},\gamma _{Q}}son constantes positivas.

Ventajas y desventajas

Basándonos en las métricas de relación señal-ruido máxima (PSNR) e índice de similitud estructural (SSIM), y en imágenes de referencia conocidas para evaluar el rendimiento, se concluye que la variación total direccional iterativa ofrece un mejor rendimiento de reconstrucción que los métodos no iterativos en la preservación de bordes y texturas. El modelo de refinamiento del campo de orientación desempeña un papel fundamental en esta mejora del rendimiento, ya que incrementa el número de píxeles sin dirección en las zonas planas, al tiempo que optimiza la consistencia del campo de orientación en las regiones con bordes.

Aplicaciones

El campo de la detección compresiva está relacionado con varios temas en procesamiento de señales y matemáticas computacionales, como sistemas lineales subdeterminados , pruebas de grupo , señales de alto impacto, codificación dispersa , multiplexación , muestreo disperso y tasa finita de innovación. Su amplio alcance y generalidad han permitido varios enfoques innovadores mejorados por CS en procesamiento y compresión de señales, solución de problemas inversos, diseño de sistemas radiantes, imágenes de radar y a través de paredes, y caracterización de antenas. [ 24 ] Las técnicas de imagen que tienen una fuerte afinidad con la detección compresiva incluyen apertura codificada y fotografía computacional .

La reconstrucción CS convencional utiliza señales dispersas (generalmente muestreadas a una tasa menor que la tasa de muestreo de Nyquist) para la reconstrucción a través de restricciones.l1{\displaystyle l_{1}}minimización. Una de las primeras aplicaciones de este enfoque fue en la sismología de reflexión, que utilizó señales reflejadas dispersas de datos de banda limitada para rastrear cambios entre capas subsuperficiales. [ 25 ] Cuando el modelo LASSO cobró importancia en la década de 1990 como método estadístico para la selección de modelos dispersos, [ 26 ] este método se utilizó además en el análisis armónico computacional para la representación de señales dispersas a partir de diccionarios sobrecompletos. Algunas de las otras aplicaciones incluyen el muestreo incoherente de pulsos de radar. El trabajo de Boyd et al. [ 18 ] ha aplicado el modelo LASSO, para la selección de modelos dispersos, a convertidores analógico-digitales (los actuales utilizan una frecuencia de muestreo superior a la frecuencia de Nyquist junto con la representación de Shannon cuantificada). Esto implicaría una arquitectura paralela en la que la polaridad de la señal analógica cambia a una alta velocidad, seguida de la digitalización de la integral al final de cada intervalo de tiempo para obtener la señal digital convertida.

Fotografía

La detección comprimida se ha utilizado en un sensor de cámara de teléfono móvil experimental. Este método permite reducir la energía de adquisición de imágenes por imagen hasta en un factor de 15, a costa de algoritmos de descompresión complejos; el cálculo puede requerir una implementación externa al dispositivo. [ 27 ]

La detección comprimida se utiliza en cámaras de un solo píxel de la Universidad Rice . [ 28 ] Bell Labs empleó la técnica en una cámara de un solo píxel sin lente que toma imágenes fijas mediante instantáneas repetidas de aperturas elegidas aleatoriamente de una cuadrícula. La calidad de la imagen mejora con el número de instantáneas y, por lo general, requiere una pequeña fracción de los datos de la imagen convencional, al tiempo que elimina las aberraciones relacionadas con la lente/enfoque. [ 29 ] [ 30 ]

Holografía

La detección comprimida se puede utilizar para mejorar la reconstrucción de imágenes en holografía al aumentar el número de vóxeles que se pueden inferir de un solo holograma. [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] También se utiliza para la recuperación de imágenes a partir de mediciones submuestreadas en holografía óptica [ 34 ] [ 35 ] y de ondas milimétricas [ 36 ] .

reconocimiento facial

La detección comprimida se ha utilizado en aplicaciones de reconocimiento facial . [ 37 ]

imágenes por resonancia magnética

Se ha utilizado la detección comprimida [ 38 ] [ 39 ] para acortar las sesiones de escaneo de imágenes por resonancia magnética en hardware convencional. [ 40 ] Los métodos de reconstrucción incluyen

La detección comprimida aborda el problema del alto tiempo de escaneo al permitir una adquisición más rápida mediante la medición de menos coeficientes de Fourier. Esto produce una imagen de alta calidad con un tiempo de escaneo relativamente menor. Otra aplicación (que también se analiza más adelante) es la reconstrucción de TC con menos proyecciones de rayos X. En este caso, la detección comprimida elimina las partes de alto gradiente espacial, principalmente el ruido y los artefactos de la imagen. Esto resulta prometedor, ya que permite obtener imágenes de TC de alta resolución con bajas dosis de radiación (mediante ajustes de corriente-mA más bajos). [ 44 ]

Tomografía de red

La detección comprimida ha demostrado resultados sobresalientes en la aplicación de la tomografía de redes a la gestión de redes . Tanto la estimación del retardo de red como la detección de la congestión de la red pueden modelarse como sistemas subdeterminados de ecuaciones lineales, donde la matriz de coeficientes es la matriz de enrutamiento de la red. Además, en Internet , las matrices de enrutamiento de red suelen cumplir el criterio para el uso de la detección comprimida. [ 45 ]

Cámaras de infrarrojo de onda corta

En 2013, una empresa anunció cámaras de infrarrojo de onda corta que utilizan detección comprimida. [ 46 ] Estas cámaras tienen sensibilidad a la luz de 0,9 μm a 1,7 μm, longitudes de onda invisibles para el ojo humano.  

Astronomía de síntesis de apertura

En radioastronomía e interferometría astronómica óptica , la cobertura completa del plano de Fourier suele estar ausente y la información de fase no se obtiene en la mayoría de las configuraciones de hardware. Para obtener imágenes de síntesis de apertura , se emplean varios algoritmos de detección comprimida. [ 47 ] El algoritmo Högbom CLEAN se utiliza desde 1974 para la reconstrucción de imágenes obtenidas de radiointerferómetros, y es similar al algoritmo de búsqueda de coincidencia mencionado anteriormente.

Procesamiento del habla

En tecnología de comunicaciones , la técnica de detección comprimida (CS) puede aplicarse al procesamiento de señales de voz bajo ciertas condiciones. En particular, CS puede utilizarse para reconstruir un vector disperso a partir de un número menor de mediciones, siempre que la señal pueda representarse en un dominio disperso . El "dominio disperso" se refiere a un dominio en el que solo unas pocas mediciones tienen valores distintos de cero. [ 48 ]

microscopía electrónica de transmisión

La detección comprimida combinada con una apertura móvil se ha utilizado para aumentar la velocidad de adquisición de imágenes en un microscopio electrónico de transmisión . [ 49 ] En el modo de escaneo , la detección comprimida combinada con el escaneo aleatorio del haz de electrones ha permitido una adquisición más rápida y una menor dosis de electrones, lo que permite la obtención de imágenes de materiales sensibles al haz de electrones. [ 50 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Las comillas servían para dos advertencias. Primero, el número de elementos distintos de ceroL0{\displaystyle L^{0}}-"norma" no es una norma F propiamente dicha , porque no es continua en su argumento escalar: nnzs (α x ) es constante cuando α se acerca a cero. Desafortunadamente, los autores ahora descuidan las comillas y la terminología abusada , chocando con el uso establecido de laL0{\displaystyle L^{0}}norma para el espacio de funciones medibles (equipado con una métrica apropiada) o para el espacio de secuencias con norma F.(incógnitanorte)↦∑norte2−norteincógnitanorte/(1+incógnitanorte){\displaystyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}{2^{-n}x_{n}/(1+x_{n})}}. [ 12 ]

Referencias

  1. ↑ Donoho, David L. (2006). "Para la mayoría de los sistemas subdeterminados grandes de ecuaciones lineales, la solución mínima de norma 1 es también la solución más dispersa". Communications on Pure and Applied Mathematics . 59 (6): 797– 829. doi : 10.1002/cpa.20132 . S2CID 8510060 . 
  2. ↑ M. Davenport, "Los fundamentos de la detección compresiva" , SigView, 12 de abril de 2013.
  3. ↑ Candès, EJ, & Plan, Y. (2010). Una teoría probabilística y sin RIP de la detección comprimida. IEEE Transactions on Information Theory, 57, 7235–7254.
  4. ↑ Candès, Emmanuel J.; Romberg, Justin K.; Tao, Terence (2006). "Recuperación de señal estable a partir de mediciones incompletas e inexactas" (PDF) . Communications on Pure and Applied Mathematics . 59 (8): 1207– 1223. arXiv : math/0503066 . Bibcode : 2005math......3066C . doi : 10.1002/cpa.20124 . S2CID 119159284. Archivado del original (PDF) el 11 de marzo de 2012. Recuperado el 10 de febrero de 2011 . 
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Lecturas adicionales

  • "Los fundamentos de la detección compresiva" Parte 1 , Parte 2 y Parte 3 : videotutorial de Mark Davenport, Georgia Tech, en SigView, la biblioteca de tutoriales de la IEEE Signal Processing Society .
  • Utilizando las matemáticas para convertir conjuntos de datos de baja resolución en muestras de alta resolución ( Artículo de la revista Wired)
  • Recursos de detección compresiva en la Universidad Rice .
  • La detección comprimida hace que cada píxel cuente : artículo de la serie «Novedades en las ciencias matemáticas » de la AMS.
  • Wiki sobre reconstrucción dispersa
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