Constante de Euler

La constante de Euler (a veces llamada constante de Euler-Mascheroni ) es una constante matemática , usualmente denotada por la letra griega minúscula gamma ( γ ), definida como la diferencia límite entre la serie armónica y el logaritmo natural , denotado aquí por log :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(-\log n+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\[5px]&=\int _{1}^{\infty }\left(-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}\right)\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}}$$

Aquí, ⌊·⌋ representa la función de piso .

El valor numérico de la constante de Euler, con 50 decimales, es: ^[1]

La constante apareció por primera vez en un artículo de 1734 del matemático suizo Leonhard Euler , titulado De Progressionibus harmonicis observationes (Eneström Index 43). Euler utilizó las notaciones C y O para la constante. En 1790, el matemático italiano Lorenzo Mascheroni utilizó las notaciones A y a para la constante. La notación γ no aparece en ninguna parte de los escritos de Euler o Mascheroni, y fue elegida en un momento posterior, tal vez debido a la conexión de la constante con la función gamma . ^[2] Por ejemplo, el matemático alemán Carl Anton Bretschneider utilizó la notación γ en 1835, ^[3] y Augustus De Morgan la utilizó en un libro de texto publicado en partes desde 1836 hasta 1842. ^[4]

La constante de Euler aparece, entre otros lugares, en los siguientes (donde '*' significa que esta entrada contiene una ecuación explícita):

• Expresiones que involucran la integral exponencial *
• La transformada de Laplace * del logaritmo natural
• El primer término de la expansión de la serie de Laurent para la función zeta de Riemann *, donde es la primera de las constantes de Stieltjes *
• Cálculos de la función digamma
• Una fórmula de producto para la función gamma
• La expansión asintótica de la función gamma para argumentos pequeños.
• Una desigualdad para la función totiente de Euler
• La tasa de crecimiento de la función divisor
• Regularización dimensional de los diagramas de Feynman en la teoría cuántica de campos
• El cálculo de la constante de Meissel-Mertens
• El tercero de los teoremas de Mertens *
• Solución de segundo tipo a la ecuación de Bessel
• En la regularización/ renormalización de la serie armónica como valor finito
• La media de la distribución de Gumbel
• La entropía de información de las distribuciones de Weibull y Lévy y, implícitamente, de la distribución chi-cuadrado para uno o dos grados de libertad.
• La respuesta al problema del coleccionista de cupones *
• En algunas formulaciones de la ley de Zipf
• Una definición de la integral del coseno *
• Límites inferiores de una brecha principal
• Un límite superior para la entropía de Shannon en la teoría de la información cuántica ^[5]
• Modelo de Fisher-Orr para la genética de la adaptación en biología evolutiva ^[6]
• Teoría de superconductividad de Bardeen-Cooper-Schrieffer ( teoría BCS ), donde aparece como prefactor en la ecuación BCS sobre la temperatura crítica.${\displaystyle 2e^{\gamma}/\pi = 1,134}$

No se ha demostrado que el número γ sea algebraico o trascendental . De hecho, ni siquiera se sabe si γ es irracional . Utilizando un análisis de fracciones continuas , Papanikolaou demostró en 1997 que si γ es racional , su denominador debe ser mayor que 10 ^{244663. [7] [8]} La ubicuidad de γ revelada por la gran cantidad de ecuaciones a continuación hace que la irracionalidad de γ sea una importante cuestión abierta en matemáticas. [ ^9]

Sin embargo, se han logrado algunos avances. Kurt Mahler demostró en 1968 que el número es trascendental (aquí, y son funciones de Bessel ). ^{[10] [2]} En 2009, Alexander Aptekarev demostró que al menos una de las constantes de Euler γ y la constante de Euler-Gompertz δ es irracional; ^[11] Tanguy Rivoal demostró en 2012 que al menos una de ellas es trascendental. ^[12] Se sabe que el grado de trascendencia del cuerpo es al menos dos. ^[2] En 2010, M. Ram Murty y N. Saradha demostraron que, como máximo, uno de los números de la forma ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}{\frac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma }$${\displaystyle J_{\alpha}(x)}$${\displaystyle Y_{\alpha}(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (e,\gamma ,\delta )}$

$${\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{a+kq}}\right)-{\frac {\log {(a+nq})}{q}}\right)}$$

con q ≥ 2 y 1 ≤ a < q es algebraica; esta familia incluye el caso especial γ (2,4) = ⁠gamma/4⁠ . ^{[2] [13]} En 2013, M. Ram Murty y A. Zaytseva encontraron una familia diferente que contiene γ , que se basa en sumas de recíprocos de números enteros no divisibles por una lista fija de primos, con la misma propiedad. ^{[2] [14]}

Se conjetura que la constante de Euler no es un período algebraico . ^[2]

γ está relacionada con la función digamma Ψ , y por lo tanto con la derivada de la función gamma Γ , cuando ambas funciones se evalúan en 1. Por lo tanto:

$${\displaystyle -\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1).}$$

Esto es igual a los límites:

$${\displaystyle {\begin{aligned}-\gamma &=\lim _{z\to 0}\left(\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right)\\&=\lim _{z\to 0}\left(\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\right).\end{aligned}}}$$

Otros resultados límite son: ^[15]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right)&=2\gamma \\\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Un límite relacionado con la función beta (expresado en términos de funciones gamma ) es

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\Gamma (n+1)\,n^{1+{\frac {1}{n}}}}{\Gamma \left(2+n+{\frac {1}{n}}\right)}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right)\\&=\lim \limits _{m\to \infty }\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\log {\big (}\Gamma (k+1){\big )}.\end{aligned}}}$$

γ también puede expresarse como una suma infinita cuyos términos involucran la función zeta de Riemann evaluada en números enteros positivos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}\\&=\log {\frac {4}{\pi }}+\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^{m-1}m}}.\end{aligned}}}$$ La constante también puede expresarse en términos de la suma de los recíprocos de ceros no triviales de la función zeta: ^[16]${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \gamma =\log 4\pi +\sum _{\rho }{\frac {2}{\rho }}-2}$

Otras series relacionadas con la función zeta incluyen:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\tfrac {3}{2}}-\log 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}{\big (}\zeta (m)-1{\big )}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2n-1}{2n}}-\log n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{mn}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\log 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

El término de error en la última ecuación es una función de n que disminuye rápidamente . Como resultado, la fórmula es adecuada para el cálculo eficiente de la constante con alta precisión.

Otros límites interesantes que son iguales a la constante de Euler son el límite antisimétrico: ^[17]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)\\&=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)\\&=\lim _{s\to 0}{\frac {\zeta (1+s)+\zeta (1-s)}{2}}\end{aligned}}}$$

y la siguiente fórmula, establecida en 1898 por de la Vallée-Poussin :

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right)}$$

donde ⌈ ⌉ son los soportes del techo . Esta fórmula indica que al tomar cualquier entero positivo n y dividirlo por cada entero positivo k menor que n , la fracción promedio por la cual el cociente n / k se queda corto respecto del siguiente entero tiende a γ (en lugar de 0,5) a medida que n tiende a infinito.

La expresión de la serie zeta racional está estrechamente relacionada con esto . Al tomar por separado los primeros términos de la serie anterior, se obtiene una estimación del límite de la serie clásica:

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log n-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}\right),}$$

donde ζ ( s , k ) es la función zeta de Hurwitz . La suma en esta ecuación involucra los números armónicos , H _n . Desarrollando algunos de los términos en la función zeta de Hurwitz se obtiene:

$${\displaystyle H_{n}=\log(n)+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\varepsilon ,}$$ donde 0 < ε < ⁠1/252 número ⁶⁠ .

γ también se puede expresar de la siguiente manera, donde A es la constante de Glaisher-Kinkelin :

$${\displaystyle \gamma =12\,\log(A)-\log(2\pi )+{\frac {6}{\pi ^{2}}}\,\zeta '(2)}$$

γ también se puede expresar de la siguiente manera, lo que se puede demostrar expresando la función zeta como una serie de Laurent :

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(-n+\zeta \left({\frac {n+1}{n}}\right)\right)}$$

Se han derivado numerosas formulaciones que expresan en términos de sumas y logaritmos de números triangulares . ^{[18] [19] [20] [21]} Una de las primeras de ellas es una fórmula ^{[22] [23]} para el ésimo número armónico atribuido a Srinivasa Ramanujan donde se relaciona con en una serie que considera las potencias de (una prueba anterior, menos generalizable ^{[24] [25]} de Ernesto Cesàro da los dos primeros términos de la serie, con un término de error): ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \textstyle \ln 2T_{k}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{T_{k}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=H_{u}-{\frac {1}{2}}\ln 2T_{u}-\sum _{k=1}^{v}{\frac {R(k)}{T_{u}^{k}}}-\Theta _{v}\,{\frac {R(v+1)}{T_{u}^{v+1}}}\end{aligned}}}$

De la aproximación de Stirling ^{[18] [26]} se desprende una serie similar:

${\displaystyle \gamma =\ln 2\pi -\sum _{k=2}^{n}{\frac {\zeta (k)}{T_{k}}}}$

La serie de números triangulares inversos también aparece en el estudio del problema de Basilea ^{[27] [28]} planteado por Pietro Mengoli . Mengoli demostró que , un resultado que Jacob Bernoulli utilizó más tarde para estimar el valor de , ubicándolo entre y . Esta identidad aparece en una fórmula utilizada por Bernhard Riemann para calcular raíces de la función zeta , ^[29] donde se expresa en términos de la suma de raíces más la diferencia entre la expansión de Boya y la serie de fracciones unitarias exactas : ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2T_{k}}}=1}$${\displaystyle \zeta (2)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2}{2T_{k}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{T_{k}}}=2}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{T_{k}}}}$

${\displaystyle \gamma -\ln 2=\ln 2\pi +\sum _{\rho }{\frac {2}{\rho }}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{T_{k}}}}$

γ es igual al valor de un número de integrales definidas :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log x\,dx\\&=-\int _{0}^{1}\log \left(\log {\frac {1}{x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{x\cdot e^{x}}}\right)dx\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx-\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{x}}\,dx\\&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\log x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right){\frac {dx}{x}},\quad k>0\\&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}-e^{-x}}{x}}\,dx,\\&=\log {\frac {\pi }{4}}-\int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\cosh ^{2}x}}\,dx,\\&=\int _{0}^{1}H_{x}\,dx,\\&={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }\log \left(1+{\frac {\log \left(1+{\frac {1}{t}}\right)^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)dt\\&=1-\int _{0}^{1}\{1/x\}dx\end{aligned}}}$$ donde H _x es el número armónico fraccionario , y es la parte fraccionaria de . ${\displaystyle \{1/x\}}$${\displaystyle 1/x}$

La tercera fórmula de la lista integral se puede demostrar de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}+x-1}{x[e^{x}-1]}}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x[e^{x}-1]}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m+1}}{(m+1)!}}dx\\[2pt]&=\int _{0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{e^{x}-1}}dx\\[2pt]&=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}m!\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}\\[2pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{n}}-\log \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\right]=\gamma \end{aligned}}}$$

La integral en la segunda línea de la ecuación representa el valor de la función de Debye de +∞ , que es m !  ζ ( m + 1) .

Las integrales definidas en las que aparece γ incluyen:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\log x\,dx&=-{\frac {(\gamma +2\log 2){\sqrt {\pi }}}{4}}\\\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log ^{2}x\,dx&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\end{aligned}}}$$

Se puede expresar γ utilizando un caso especial de la fórmula de Hadjicostas como una integral doble ^{[9] [30]} con series equivalentes:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right).\end{aligned}}}$$

Una comparación interesante de Sondow ^[30] es la serie doble integral y alternada

$${\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {4}{\pi }}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left((-1)^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

Se muestra que el registro4/π⁠ puede considerarse como una "constante de Euler alterna".

Las dos constantes también están relacionadas por el par de series ^[31]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}\\\log {\frac {4}{\pi }}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}},\end{aligned}}}$$

donde N ₁ ( n ) y N ₀ ( n ) son el número de 1 y 0, respectivamente, en la expansión de base 2 de n .

También tenemos la integral de Catalan de 1875 ^[32]

$${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\right)\,dx.}$$

En general,

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\log(n+\alpha )\right)\equiv \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}(\alpha )}$$

para cualquier α > − n . Sin embargo, la tasa de convergencia de esta expansión depende significativamente de α . En particular, γ _n (1/2) exhibe una convergencia mucho más rápida que la expansión convencional γ _n (0) . ^{[33] [34]} Esto se debe a que

$${\displaystyle {\frac {1}{2(n+1)}}<\gamma _{n}(0)-\gamma <{\frac {1}{2n}},}$$

mientras

$${\displaystyle {\frac {1}{24(n+1)^{2}}}<\gamma _{n}(1/2)-\gamma <{\frac {1}{24n^{2}}}.}$$

Aun así, existen otras expansiones en serie que convergen más rápidamente que ésta; algunas de ellas se analizan a continuación.

Euler demostró que la siguiente serie infinita tiende a γ : $${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-\log \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right).}$$

La serie para γ es equivalente a una serie que Nielsen encontró en 1897: ^{[15] [35]}

$${\displaystyle \gamma =1-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k+1}}.}$$

En 1910, Vacca encontró la serie estrechamente relacionada ^{[36] [37] [38] [39] [40] [15] [41]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}\\[5pt]&={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}-{\tfrac {1}{11}}+\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots ,\end{aligned}}}$$

donde log ₂ es el logaritmo en base 2 y ⌊  ⌋ es la función piso .

En 1926 fundó una segunda serie:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma +\zeta (2)&=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)\\[5pt]&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}{k\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum _{k=1}^{2\cdot 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum _{k=1}^{3\cdot 2}{\frac {k}{k+3^{2}}}+\cdots \end{aligned}}}$$

De la expansión de Malmsten - Kummer para el logaritmo de la función gamma ^[42] obtenemos:

$${\displaystyle \gamma =\log \pi -4\log \left(\Gamma ({\tfrac {3}{4}})\right)+{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\log(2k+1)}{2k+1}}.}$$

Ramanujan, en su cuaderno perdido, dio una serie que se aproxima a γ ^[43] :

$${\displaystyle \gamma =\log 2-\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k={\frac {3^{n-1}+1}{2}}}^{\frac {3^{n}-1}{2}}{\frac {2n}{(3k)^{3}-3k}}}$$

Una importante expansión de la constante de Euler se debe a Fontana y Mascheroni

$${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|G_{n}|}{n}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{72}}+{\frac {19}{2880}}+{\frac {3}{800}}+\cdots ,}$$ donde G _n son los coeficientes de Gregory . ^{[15] [41] [44]} Esta serie es el caso especial k = 1 de las expansiones

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=H_{k-1}-\log k+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n-1)!|G_{n}|}{k(k+1)\cdots (k+n-1)}}&&\\&=H_{k-1}-\log k+{\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{12k(k+1)}}+{\frac {1}{12k(k+1)(k+2)}}+{\frac {19}{120k(k+1)(k+2)(k+3)}}+\cdots &&\end{aligned}}}$$

convergente para k = 1, 2, ...

Una serie similar con los números de Cauchy del segundo tipo C _n es ^{[41] [45]}

$${\displaystyle \gamma =1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}}{n\,(n+1)!}}=1-{\frac {1}{4}}-{\frac {5}{72}}-{\frac {1}{32}}-{\frac {251}{14400}}-{\frac {19}{1728}}-\ldots }$$

Blagouchine (2018) encontró una generalización interesante de la serie Fontana-Mascheroni

$${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n}}{\Big \{}\psi _{n}(a)+\psi _{n}{\Big (}-{\frac {a}{1+a}}{\Big )}{\Big \}},\quad a>-1}$$

donde ψ _n ( a ) son los polinomios de Bernoulli de segundo tipo , que están definidos por la función generadora

$${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{s}}{\log(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(s),\qquad |z|<1.}$$

Para cualquier racional a, esta serie contiene solo términos racionales. Por ejemplo, en a = 1 , se convierte en ^{[46] [47]}

$${\displaystyle \gamma ={\frac {3}{4}}-{\frac {11}{96}}-{\frac {1}{72}}-{\frac {311}{46080}}-{\frac {5}{1152}}-{\frac {7291}{2322432}}-{\frac {243}{100352}}-\ldots }$$ Otras series con los mismos polinomios incluyen estos ejemplos:

$${\displaystyle \gamma =-\log(a+1)-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)}{n}},\qquad \Re (a)>-1}$$

y

$${\displaystyle \gamma =-{\frac {2}{1+2a}}\left\{\log \Gamma (a+1)-{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{n}}\right\},\qquad \Re (a)>-1}$$

donde Γ( a ) es la función gamma . ^[44]

Una serie relacionada con el algoritmo Akiyama-Tanigawa es

$${\displaystyle \gamma =\log(2\pi )-2-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}G_{n}(2)}{n}}=\log(2\pi )-2+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {7}{540}}+{\frac {17}{2880}}+{\frac {41}{12600}}+\ldots }$$

donde G _n (2) son los coeficientes de Gregory de segundo orden. ^[44]

Como una serie de números primos :

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\log n-\sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p-1}}\right).}$$

γ es igual a las siguientes fórmulas asintóticas (donde H _n es el n -ésimo número armónico ):

• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-\log n-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{12n^{2}}}-{\frac {1}{120n^{4}}}+\cdots }$( Euler )
• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-\log \left({n+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24n}}-{\frac {1}{48n^{2}}}+\cdots }\right)}$( Negocio )
• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-{\frac {\log n+\log(n+1)}{2}}-{\frac {1}{6n(n+1)}}+{\frac {1}{30n^{2}(n+1)^{2}}}-\cdots }$( Cesáro )

La tercera fórmula también se llama expansión de Ramanujan.

Alabdulmohsin derivó expresiones de forma cerrada para las sumas de errores de estas aproximaciones. ^[45] Demostró que (Teorema A.1):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }\log n+\gamma -H_{n}+{\frac {1}{2n}}&={\frac {\log(2\pi )-1-\gamma }{2}}\\\sum _{n=1}^{\infty }\log {\sqrt {n(n+1)}}+\gamma -H_{n}&={\frac {\log(2\pi )-1}{2}}-\gamma \\\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\Big (}\log n+\gamma -H_{n}{\Big )}&={\frac {\log \pi -\gamma }{2}}\end{aligned}}}$$

La constante e ^γ es importante en la teoría de números. Es igual al siguiente límite , donde p _n es el n- ésimo número primo :

$${\displaystyle e^{\gamma }=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log p_{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{p_{i}-1}}.}$$

Esto reafirma el tercero de los teoremas de Mertens . ^[48] El valor numérico de e ^γ es: ^[49]

Otros productos infinitos relacionados con e ^γ incluyen:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {e^{1+{\frac {\gamma }{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-1+{\frac {1}{2n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\\{\frac {e^{3+2\gamma }}{2\pi }}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-2+{\frac {2}{n}}}\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$$

Estos productos son resultado de la función G de Barnes .

Además,

$${\displaystyle e^{\gamma }={\sqrt {\frac {2}{1}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}}\cdot {\sqrt[{5}]{\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}}\cdots }$$

donde el factor n- ésimo es la raíz ( n + 1) -ésima de

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}.}$$

Este producto infinito, descubierto por primera vez por Ser en 1926, fue redescubierto por Sondow utilizando funciones hipergeométricas . ^[50]

También sostiene que ^[51]

$${\displaystyle {\frac {e^{\frac {\pi }{2}}+e^{-{\frac {\pi }{2}}}}{\pi e^{\gamma }}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(e^{-{\frac {1}{n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}\right)\right).}$$

Si e ^γ es un número racional, entonces su denominador debe ser mayor que 10 ¹⁵⁰⁰⁰ . ^[2]

La expansión en fracción continua simple de la constante de Euler está dada por: ^[52]

${\displaystyle \gamma =0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+\dots }}}}}}}}}}}}}}}$

que no tiene un patrón aparente . Se sabe que tiene al menos 4.800.000.000 términos, ^[53] y tiene infinitos términos si y solo si γ es irracional.

La evidencia numérica sugiere que la constante de Euler se encuentra entre los números para los cuales la media geométrica de los términos de la fracción continua converge a la constante de Khinchin . De manera similar, cuando son los convergentes de la fracción continua, el límite parece converger a la constante de Lévy . Sin embargo, ninguno de estos límites ha sido probado. ^[53]${\displaystyle p_{n}/q_{n}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }q_{n}^{1/n}}$

Las constantes generalizadas de Euler están dadas por

$${\displaystyle \gamma _{\alpha }=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{\alpha }}}-\int _{1}^{n}{\frac {1}{x^{\alpha }}}\,dx\right),}$$

para 0 < α < 1 , con γ como el caso especial α = 1 . ^[54] Esto se puede generalizar aún más a

$${\displaystyle c_{f}=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}f(k)-\int _{1}^{n}f(x)\,dx\right)}$$

para una función decreciente arbitraria f . Por ejemplo,

$${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {(\log x)^{n}}{x}}}$$

da lugar a las constantes de Stieltjes , y

$${\displaystyle f_{a}(x)=x^{-a}}$$

da

$${\displaystyle \gamma _{f_{a}}={\frac {(a-1)\zeta (a)-1}{a-1}}}$$

donde nuevamente el límite

$${\displaystyle \gamma =\lim _{a\to 1}\left(\zeta (a)-{\frac {1}{a-1}}\right)}$$

aparece.

Una generalización límite bidimensional es la constante de Masser-Gramain.

Las constantes de Euler-Lehmer se dan mediante la suma de las inversas de los números en una clase de módulo común: ^[13]

$${\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{x\to \infty }\left(\sum _{0<n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}{\frac {1}{n}}-{\frac {\log x}{q}}\right).}$$

Las propiedades básicas son

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\gamma (0,q)={\frac {\gamma -\log q}{q}},\\&\sum _{a=0}^{q-1}\gamma (a,q)=\gamma ,\\&q\gamma (a,q)=\gamma -\sum _{j=1}^{q-1}e^{-{\frac {2\pi aij}{q}}}\log \left(1-e^{\frac {2\pi ij}{q}}\right),\end{aligned}}}$$

y si el máximo común divisor mcd( a , q ) = d entonces

$${\displaystyle q\gamma (a,q)={\frac {q}{d}}\gamma \left({\frac {a}{d}},{\frac {q}{d}}\right)-\log d.}$$

Euler calculó inicialmente el valor de la constante con 6 decimales. En 1781, lo calculó con 16 decimales. Mascheroni intentó calcular la constante con 32 decimales, pero cometió errores en los decimales 20.º, 22.º y 31.º y 32.º; a partir del dígito 20, calculó... 181 12090082 39 cuando el valor correcto es... 065 12090082 40 .

• Bretschneider, Carl Anton (1837) [1835]. "Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova". Diario de Crelle (en latín). 17 : 257–285.
• Havil, Julian (2003). Gamma: exploración de la constante de Euler . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-09983-5.
• Lagarias, Jeffrey C. (2013). "La constante de Euler: el trabajo de Euler y los desarrollos modernos". Boletín de la Sociedad Americana de Matemáticas . 50 (4): 556. arXiv : 1303.1856 . doi :10.1090/s0273-0979-2013-01423-x. S2CID  119612431.