Coeficientes de Gregory

Los coeficientes de Gregory G _n , también conocidos como números logarítmicos recíprocos , números de Bernoulli de segundo tipo o números de Cauchy de primer tipo , ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13]} son ​​los números racionales que aparecen en la expansión de la serie de Maclaurin del logaritmo recíproco.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {z}{\ln(1+z)}}&=1+{\frac {1}{2}}z-{\frac {1}{12} }z^{2}+{\frac {1}{24}}z^{3}-{\frac {19}{720}}z^{4}+{\frac {3}{160}}z ^{5}-{\frac {863}{60480}}z^{6}+\cdots \\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }G_{n}z^{n }\,,\qquad |z|<1\,.\end{aligned}}}$

Los coeficientes de Gregory son números que se alternan G _n = (−1) ^{n −1} | G _n | para n > 0 y decrecientes en valor absoluto. Estos números reciben su nombre de James Gregory , quien los introdujo en 1670 en el contexto de la integración numérica. Posteriormente fueron redescubiertos por muchos matemáticos y aparecen a menudo en obras de autores modernos, que no siempre los reconocen. ^{[1] [5] [14] [15] [16] [17]}

La forma más sencilla de calcular los coeficientes de Gregory es utilizar la fórmula de recurrencia.

${\displaystyle |G_{n}|=-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {|G_{k}|}{n+1-k}}+{\frac {1}{n+1}}}$

con G ₁ = ⁠1/2⁠ . ^{[14] [18]} Los coeficientes de Gregory también pueden calcularse explícitamente mediante la siguiente ecuación diferencial:

${\displaystyle n!G_{n}=\left[{\frac {{\textrm {d}}^{n}}{{\textrm {d}}z^{n}}}{\frac {z}{\ln(1+z)}}\right]_{z=0},}$

o la integral

${\displaystyle G_{n}={\frac {1}{n!}}\int _{0}^{1}x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)\,dx=\int _{0}^{1}{\binom {x}{n}}\,dx,}$

lo cual se puede demostrar integrando entre 0 y 1 con respecto a , una vez directamente y la segunda vez utilizando primero la expansión de la serie binomial . $estilo de visualización (1+z)^{x}}$${\estilo de visualización x}$

Implica la fórmula de suma finita

${\displaystyle n!G_{n}=\sum _{\ell =0}^{n}{\frac {s(n,\ell )}{\ell +1}},}$

donde s ( n , ℓ ) son los números de Stirling con signo del primer tipo .

y la fórmula integral de Schröder ^{[19] [20]}

${\displaystyle G_{n}=(-1)^{n-1}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x)^{n}(\ln ^{2}x+\pi ^{2})}},}$

Los coeficientes de Gregory satisfacen los límites

${\displaystyle {\frac {1}{6n(n-1)}}<{\big |}G_{n}{\big |}<{\frac {1}{6n}},\qquad n>2,}$

dada por Johan Steffensen . ^[15] Estos límites fueron mejorados posteriormente por varios autores. Los límites más conocidos para ellos fueron dados por Blagouchine. ^[17] En particular,

${\displaystyle {\frac {\,1\,}{\,n\ln ^{2}\!n\,}}\,-\,{\frac {\,2\,}{\,n\ln ^{3}\!n\,}}\leqslant \,{\big |}G_{n}{\big |}\,\leqslant \,{\frac {\,1\,}{\,n\ln ^{2}\!n\,}}-{\frac {\,2\gamma \,}{\,n\ln ^{3}\!n\,}}\,,\qquad \quad n\geqslant 5\,.}$

Asintóticamente, en un índice grande n , estos números se comportan como ^{[2] [17] [19]}

${\displaystyle {\big |}G_{n}{\big |}\sim {\frac {1}{n\ln ^{2}n}},\qquad n\to \infty .}$

Se puede encontrar una descripción más precisa de G _n en valores ^{grandes en los trabajos de Van Veen, [18]} Davis, ^[3] Coffey, ^[21] Nemes ^[6] y Blagouchine. ^[17]

Las series que incluyen coeficientes de Gregory se pueden calcular a menudo en forma cerrada. Las series básicas con estos números incluyen

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=1}^{\infty }{\big |}G_{n}{\big |}=1\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }G_{n}={\frac {1}{\ln 2}}-1\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n}}=\gamma ,\end{aligned}}}$

donde γ = 0,5772156649... es la constante de Euler . Estos resultados son muy antiguos y su historia se remonta a los trabajos de Gregorio Fontana y Lorenzo Mascheroni . ^{[17] [22]} Varios autores calcularon series más complicadas con los coeficientes de Gregory. Kowalenko, ^[8] Alabdulmohsin ^{[10] [11]} y algunos otros autores calcularon

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n-1}}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\ln 2\pi }{2}}-{\frac {\gamma }{2}}\\[6mm]\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\!{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+1}}=1-\ln 2.\end{array}}}$

Alabdulmohsin ^{[10] [11]} también da estas identidades con

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}({\big |}G_{3n+1}{\big |}+{\big |}G_{3n+2}{\big |})={\frac {\sqrt {3}}{\pi }}\\[2mm]&\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}({\big |}G_{3n+2}{\big |}+{\big |}G_{3n+3}{\big |})={\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }}-1\\[2mm]&\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}({\big |}G_{3n+3}{\big |}+{\big |}G_{3n+4}{\big |})={\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{\pi }}.\end{aligned}}}$

Candelperger, Coppo ^{[23] [24]} y Young ^[7] demostraron que

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}\cdot H_{n}}{n}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1,}$

donde H _n son los números armónicos . Blagouchine ^{[17] [25] [26] [27]} proporciona las siguientes identidades

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {G_{n}}{n}}=\operatorname {li} (2)-\gamma \\[2mm]&\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n-2}}=-{\frac {1}{8}}+{\frac {\ln 2\pi }{12}}-{\frac {\zeta '(2)}{\,2\pi ^{2}}}\\[2mm]&\sum _{n=4}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n-3}}=-{\frac {1}{16}}+{\frac {\ln 2\pi }{24}}-{\frac {\zeta '(2)}{4\pi ^{2}}}+{\frac {\zeta (3)}{8\pi ^{2}}}\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+2}}={\frac {1}{2}}-2\ln 2+\ln 3\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+3}}={\frac {1}{3}}-5\ln 2+3\ln 3\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+k}}={\frac {1}{k}}+\sum _{m=1}^{k}(-1)^{m}{\binom {k}{m}}\ln(m+1)\,,\qquad k=1,2,3,\ldots \\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n^{2}}}=\int _{0}^{1}{\frac {-\operatorname {li} (1-x)+\gamma +\ln x}{x}}\,dx\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {G_{n}}{n^{2}}}=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {li} (1+x)-\gamma -\ln x}{x}}\,dx,\end{aligned}}}$

donde li( z ) es el logaritmo integral y es el coeficiente binomial . También se sabe que la función zeta , la función gamma , las funciones poligamma , las constantes de Stieltjes y muchas otras funciones y constantes especiales pueden expresarse en términos de series infinitas que contienen estos números. ^{[1] [17] [18] [28] [29]}${\displaystyle {\tbinom {k}{m}}}$

Son posibles varias generalizaciones para los coeficientes de Gregory. Muchas de ellas pueden obtenerse modificando la ecuación generadora original. Por ejemplo, Van Veen ^[18] considera

${\displaystyle \left({\frac {\ln(1+z)}{z}}\right)^{s}=s\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}K_{n}^{(s)}\,,\qquad |z|<1\,,}$

y por lo tanto

${\displaystyle n!G_{n}=-K_{n}^{(-1)}}$

^{Posteriormente, Kowalenko [9]} y Rubinstein propusieron generalizaciones equivalentes . ^[30] De manera similar, los coeficientes de Gregory están relacionados con los números de Bernoulli generalizados.

${\displaystyle \left({\frac {t}{e^{t}-1}}\right)^{s}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{k!}}B_{k}^{(s)},\qquad |t|<2\pi \,,}$

ver, ^{[18] [28]} de modo que

${\displaystyle n!G_{n}=-{\frac {B_{n}^{(n-1)}}{n-1}}}$

Jordan ^{[1] [16] [31]} define polinomios ψ _n ( s ) tales que

${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{s}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(s)\,,\qquad |z|<1\,,}$

y los llamamos polinomios de Bernoulli de segundo tipo . De lo anterior, queda claro que G _n = ψ _n (0) . Carlitz ^[16] generalizó los polinomios de Jordan ψ _n ( s ) introduciendo los polinomios β

${\displaystyle \left({\frac {z}{\ln(1+z)}}\right)^{s}\!\!\cdot (1+z)^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\,\beta _{n}^{(s)}(x)\,,\qquad |z|<1\,,}$

y por lo tanto

${\displaystyle n!G_{n}=\beta _{n}^{(1)}(0)}$

Blagouchine ^{[17] [32]} introdujo números G _n ( k ) tales que

${\displaystyle n!G_{n}(k)=\sum _{\ell =1}^{n}{\frac {s(n,\ell )}{\ell +k}},}$

Obtuvieron su función generadora y estudiaron sus asintóticas en valores grandes de n . Claramente, G _n = G _n (1) . Estos números son estrictamente alternantes G _n ( k ) = (-1) ^{n -1} | G _n ( k )| y están involucrados en varias expansiones para las funciones zeta , la constante de Euler y las funciones poligamma . Komatsu también propuso una generalización diferente del mismo tipo ^[31].

${\displaystyle c_{n}^{(k)}=\sum _{\ell =0}^{n}{\frac {s(n,\ell )}{(\ell +1)^{k}}},}$

de modo que G _n = c _n ⁽¹⁾ / n ! Los números c _n ^{( k )} son llamados por el autor números poli-Cauchy . ^[31] Coffey ^[21] define polinomios

${\displaystyle P_{n+1}(y)={\frac {1}{n!}}\int _{0}^{y}x(1-x)(2-x)\cdots (n-1-x)\,dx}$

y por lo tanto | G _n | = P _{n +1} (1) .

• Polinomios de Stirling
• Polinomios de Bernoulli de segundo tipo