Sección cónica

Una cónica es la curva que se obtiene al intersecar un plano , llamado plano de corte , con la superficie de un cono doble (un cono con dos mantos ). Generalmente se asume que el cono es un cono circular recto para facilitar la descripción, pero esto no es necesario; cualquier cono doble con alguna sección transversal circular es suficiente. Los planos que pasan por el vértice del cono lo intersecan en un punto, una línea o un par de líneas secantes. Estas se denominan cónicas degeneradas y algunos autores no las consideran cónicas. Salvo que se indique lo contrario, en este artículo el término "cónica" se refiere a una cónica no degenerada.

Existen tres tipos de cónicas: la elipse , la parábola y la hipérbola . El círculo es un tipo especial de elipse, aunque históricamente Apolonio lo consideraba un cuarto tipo. Las elipses surgen cuando la intersección del cono y el plano es una curva cerrada . El círculo se obtiene cuando el plano de corte es paralelo al plano de la circunferencia generatriz del cono; para un cono recto, esto significa que el plano de corte es perpendicular al eje. Si el plano de corte es paralelo a exactamente una generatriz del cono, entonces la cónica es ilimitada y se llama parábola . En el caso restante, la figura es una hipérbola : el plano interseca ambas mitades del cono, produciendo dos curvas ilimitadas separadas.

Compárese también la sección esférica (intersección de un plano con una esfera, que produce un círculo o un punto) y la cónica esférica (intersección de un cono elíptico con una esfera concéntrica).

Alternativamente, se puede definir una sección cónica exclusivamente en términos de geometría plana: es el lugar geométrico de todos los puntos P cuya distancia a un punto fijo F (llamado foco ) es un múltiplo constante e (llamado excentricidad ) de la distancia de P a una recta fija L (llamada directriz ). Para 0 < e < 1 obtenemos una elipse, para e = 1 una parábola y para e > 1 una hipérbola.

Un círculo es un caso límite y no se define mediante un foco y una directriz en el plano euclidiano. La excentricidad de un círculo se define como cero y su foco es el centro del círculo, pero su directriz solo puede tomarse como la línea en el infinito en el plano proyectivo. ^{[ 2 ]}

La excentricidad de una elipse puede considerarse una medida de cuánto se desvía la elipse de ser circular. ^{[ 3 ]}

Si el ángulo entre la superficie del cono y su eje es${\displaystyle \beta }$y el ángulo entre el plano de corte y el eje es${\displaystyle \alpha ,}$La excentricidad es${\displaystyle {\frac {\cos \alpha }{\cos \beta }}.}$^{[ 4 ]}

Una prueba de que las curvas anteriores definidas por la propiedad foco-directriz son las mismas que las obtenidas por planos que intersecan un cono se facilita mediante el uso de esferas de Dandelin . ^{[ 5 ]}

Alternativamente, una elipse puede definirse en términos de dos focos, como el lugar geométrico de los puntos para los cuales la suma de las distancias a los dos focos es 2a ; mientras que una hipérbola es el lugar geométrico para el cual la diferencia de distancias es 2a . (Aquí a es el semieje mayor definido más adelante). Una parábola también puede definirse en términos de su foco y su lado recto (paralelo a la directriz y que pasa por el foco): es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al foco más o menos la distancia a la línea es igual a 2a ; más si el punto está entre la directriz y el lado recto, menos en caso contrario.

Además de la excentricidad ( e ), los focos y la directriz, varias características geométricas y longitudes están asociadas a una sección cónica.

El eje principal es la línea que une los focos de una elipse o hipérbola, y su punto medio es el centro de la curva . Una parábola no tiene centro.

La excentricidad lineal ( c ) es la distancia entre el centro y un foco.

El lado recto es la cuerda paralela a la directriz y que pasa por un foco; su mitad de longitud es el semilado recto ( ℓ ).

El parámetro focal ( p ) es la distancia desde un foco hasta la directriz correspondiente.

El eje mayor es la cuerda entre los dos vértices: la cuerda más larga de una elipse, la cuerda más corta entre las ramas de una hipérbola. Su mitad de longitud es el semieje mayor ( a ). Cuando una elipse o hipérbola están en posición estándar como en las ecuaciones siguientes, con focos en el eje x y centro en el origen, los vértices de la cónica tienen coordenadas (−a , 0) y ( a , 0) , con a no negativo.

El eje menor es el diámetro más corto de una elipse, y su mitad es el semieje menor ( b ), cuyo valor es el mismo que en la ecuación estándar que se muestra a continuación. Por analogía, en una hipérbola, el parámetro b de la ecuación estándar también se denomina semieje menor.

Se cumplen las siguientes relaciones: ^{[ 6 ]}

• ${\displaystyle \ \ell =pe}$
• ${\displaystyle \ c=ae}$
• ${\displaystyle \ p+c={\frac {a}{e}}}$

Para cónicas en posición estándar, estos parámetros tienen los siguientes valores, tomando${\displaystyle a,b>0}$.

Después de introducir las coordenadas cartesianas , la propiedad foco-directriz se puede usar para producir las ecuaciones que satisfacen los puntos de la sección cónica. ^{[ 7 ]} Mediante un cambio de coordenadas ( rotación y traslación de ejes ) estas ecuaciones se pueden poner en formas estándar . ^{[ 8 ]} Para elipses e hipérbolas una forma estándar tiene el eje x como eje principal y el origen (0,0) como centro. Los vértices son (± a , 0) y los focos (± c , 0) . Definimos b por las ecuaciones c ² = a ² − b ² para una elipse y c ² = a ² + b ² para una hipérbola. Para un círculo, c = 0 por lo que a ² = b ² , con radio r = a = b . Para la parábola, la forma estándar tiene el foco en el eje x en el punto ( a , 0) y la directriz es la recta con ecuación x = -a . En la forma estándar, la parábola siempre pasa por el origen.

Para una hipérbola rectangular o equilátera , cuyas asíntotas son perpendiculares, existe una forma estándar alternativa en la que las asíntotas son los ejes de coordenadas y la recta x = y es el eje principal. Los focos tienen entonces coordenadas ( c , c ) y ( −c , −c ) . ^{[ 9 ]}

• Círculo:

  ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2},}$

• Elipse:

  ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

• Parábola:

  ${\displaystyle y^{2}=4ax,{\text{ with }}a>0,}$

• Hipérbola:

  ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

• Hipérbola rectangular: ^{[ 10 ]}

  ${\displaystyle xy=c^{2}.}$

Las primeras cuatro de estas formas son simétricas con respecto al eje x y al eje y (para el círculo, la elipse y la hipérbola), o solo con respecto al eje x (para la parábola). La hipérbola rectangular, sin embargo, es simétrica con respecto a las líneas y = x e y = − x .

Estas formas estándar se pueden escribir paramétricamente como,

• Círculo :

  ${\displaystyle (a\cos \theta ,a\sin \theta ),}$

• Elipse :

  ${\displaystyle (a\cos \theta ,b\sin \theta ),}$

• Parábola :

  ${\displaystyle (at^{2},2at),}$

• Hipérbola :

  ${\displaystyle (a\sec \theta ,b\tan \theta ),{\text{ or }}(\pm a\cosh \psi ,b\sinh \psi )}$,

• Hipérbola rectangular :

  ${\displaystyle \left(dt,{\frac {d}{t}}\right),{\text{ where }}d={\frac {c}{\sqrt {2}}}.}$

En el sistema de coordenadas cartesianas , la gráfica de una ecuación cuadrática en dos variables es siempre una sección cónica (aunque puede ser degenerada ), ^{[ a ]} y todas las secciones cónicas surgen de esta manera. La ecuación más general es de la forma ^{[ 11 ].}

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,}$

con todos los coeficientes números reales y A, B, C no todos cero.

En coordenadas polares , una sección cónica con un foco en el origen y, si lo hay, el otro en un valor negativo (para una elipse) o un valor positivo (para una hipérbola) en el eje x , viene dada por la ecuación

${\displaystyle r={\frac {l}{1+e\cos \theta }},}$

donde e es la excentricidad y l es el semi-lado recto.

Como se indicó anteriormente, para e = 0 , la gráfica es un círculo, para 0 < e < 1 la gráfica es una elipse, para e = 1 una parábola y para e > 1 una hipérbola.

La forma polar de la ecuación de una cónica se usa a menudo en dinámica ; por ejemplo, para determinar las órbitas de objetos que giran alrededor del Sol. ^{[ 20 ]}

Así como dos puntos (distintos) determinan una línea, cinco puntos determinan una cónica . Formalmente, dados cinco puntos cualesquiera en el plano en posición lineal general , es decir, sin tres puntos colineales , existe una única cónica que pasa por ellos, la cual será no degenerada; esto es cierto tanto en el plano euclidiano como en su extensión, el plano proyectivo real. En efecto, dados cinco puntos cualesquiera existe una cónica que pasa por ellos, pero si tres de los puntos son colineales, la cónica será degenerada (reducible, porque contiene una línea) y puede que no sea única; véase la discusión posterior .

Cuatro puntos en el plano en posición lineal general determinan una cónica única que pasa por los tres primeros puntos y cuyo centro se encuentra en el cuarto. Por lo tanto, conocer el centro equivale a conocer dos puntos de la cónica para determinar la curva. ^{[ 21 ]}

Además, una cónica se determina por cualquier combinación de k puntos en posición general por los que pasa y 5 – k líneas que son tangentes a ella, para 0 ≤ k ≤ 5. ^{[ 22 ]}

Cualquier punto en el plano se encuentra sobre cero, una o dos líneas tangentes de una cónica. Un punto sobre una sola línea tangente está sobre la cónica. Un punto que no se encuentra sobre ninguna línea tangente se denomina punto interior (o interno) de la cónica, mientras que un punto sobre dos líneas tangentes es un punto exterior (o externo).

All the conic sections share a reflection property that can be stated as: All mirrors in the shape of a non-degenerate conic section reflect light coming from or going toward one focus toward or away from the other focus. In the case of the parabola, the second focus needs to be thought of as infinitely far away, so that the light rays going toward or coming from the second focus are parallel.^[23][24]

Pascal's theorem concerns the collinearity of three points that are constructed from a set of six points on any non-degenerate conic. The theorem also holds for degenerate conics consisting of two lines, but in that case it is known as Pappus's theorem.

Non-degenerate conic sections are always "smooth". This is important for many applications, such as aerodynamics, where a smooth surface is required to ensure laminar flow and to prevent turbulence.

It is believed that the first definition of a conic section was given by Menaechmus (died 320 BC) as part of his solution of the Delian problem (Duplicating the cube).^[b][25] His work did not survive, not even the names he used for these curves, and is only known through secondary accounts.^[26] The definition used at that time differs from the one commonly used today. Cones were constructed by rotating a right triangle about one of its legs so the hypotenuse generates the surface of the cone (such a line is called a generatrix). Three types of cones were determined by their vertex angles (measured by twice the angle formed by the hypotenuse and the leg being rotated about in the right triangle). The conic section was then determined by intersecting one of these cones with a plane drawn perpendicular to a generatrix. The type of the conic is determined by the type of cone, that is, by the angle formed at the vertex of the cone: If the angle is acute then the conic is an ellipse; if the angle is right then the conic is a parabola; and if the angle is obtuse then the conic is a hyperbola (but only one branch of the curve).^[27]

Se dice que Euclides (activo hacia el 300 a. C.) escribió cuatro libros sobre cónicas, pero estos también se perdieron. ^{[ 28 ]} Se sabe que Arquímedes (fallecido hacia el 212 a. C.) estudió las cónicas, habiendo determinado el área delimitada por una parábola y una cuerda en la Cuadratura de la Parábola . Su principal interés radicaba en la medición de áreas y volúmenes de figuras relacionadas con las cónicas, y parte de este trabajo se conserva en su libro sobre los sólidos de revolución de las cónicas, Sobre conoides y esferoides . ^{[ 29 ]}

El mayor progreso en el estudio de las cónicas por parte de los antiguos griegos se debe a Apolonio de Perga (fallecido hacia el 190 a. C.), cuya obra de ocho volúmenes, Secciones Cónicas o Cónicas, resumió y amplió considerablemente el conocimiento existente. ^{[ 30 ]} El estudio de Apolonio sobre las propiedades de estas curvas permitió demostrar que cualquier plano que corte un cono doble fijo (dos napados), independientemente de su ángulo, producirá una cónica según la definición anterior, lo que condujo a la definición comúnmente utilizada hoy en día. Los círculos, que no se podían construir con el método anterior, también se obtienen de esta manera. Esto podría explicar por qué Apolonio consideraba los círculos un cuarto tipo de sección cónica, una distinción que ya no se hace. Apolonio utilizó los nombres de «elipse», «parábola» e «hipérbola» para estas curvas, tomando prestada la terminología de trabajos pitagóricos anteriores sobre áreas. ^{[ 31 ]}

A Papus de Alejandría (fallecido hacia el año 350 d. C.) se le atribuye la explicación de la importancia del concepto de foco de una cónica y el detalle del concepto relacionado de directriz , incluyendo el caso de la parábola (que no aparece en las obras conocidas de Apolonio). ^{[ 32 ]}

La obra de Apolonio fue traducida al árabe, y gran parte de ella solo se conserva a través de la versión árabe. Los matemáticos islámicos encontraron aplicaciones de la teoría, en particular el matemático y poeta persa Omar Khayyám , ^{[ 33 ]} quien halló un método geométrico para resolver ecuaciones cúbicas mediante secciones cónicas. ^{[ 34 ] [ 35 ]}

Un siglo antes del trabajo más famoso de Khayyam, Abu al-Jud utilizó cónicas para resolver ecuaciones cuárticas y cúbicas, ^{[ 36 ]} aunque su solución no abarcaba todos los casos. ^{[ 37 ]}

Un instrumento para dibujar secciones cónicas fue descrito por primera vez en el año 1000 d. C. por Al-Kuhi . ^{[ 38 ] [ 39 ]}

Johannes Kepler extendió la teoría de las cónicas mediante el " principio de continuidad ", precursor del concepto de límites. Kepler utilizó por primera vez el término "focos" en 1604. ^{[ 40 ]}

Girard Desargues y Blaise Pascal desarrollaron una teoría de las cónicas utilizando una forma temprana de geometría proyectiva , lo que impulsó el estudio de este nuevo campo. En particular, Pascal descubrió un teorema conocido como el hexagrama místico, a partir del cual se pueden deducir muchas otras propiedades de las cónicas.

René Descartes y Pierre Fermat aplicaron su recién descubierta geometría analítica al estudio de las cónicas. Esto tuvo el efecto de reducir los problemas geométricos de las cónicas a problemas de álgebra. Sin embargo, fue John Wallis, en su tratado de 1655, Tractatus de sectionibus conicis, quien definió por primera vez las secciones cónicas como instancias de ecuaciones de segundo grado. ^{[ 41 ]} Escrita antes, pero publicada después, la obra Elementa Curvarum Linearum de Jan de Witt comienza con la construcción cinemática de las cónicas de Kepler y luego desarrolla las ecuaciones algebraicas. Esta obra, que utiliza la metodología de Fermat y la notación de Descartes, ha sido descrita como el primer libro de texto sobre el tema. ^{[ 42 ]} De Witt inventó el término «directriz». ^{[ 42 ]}

En un espacio proyectivo sobre cualquier anillo de división, pero en particular sobre los números reales o complejos, todas las cónicas no degeneradas son equivalentes, y por lo tanto, en geometría proyectiva se habla de "una cónica" sin especificar un tipo. Es decir, existe una transformación proyectiva que mapea cualquier cónica no degenerada a cualquier otra cónica no degenerada. ^{[ 44 ]}

Los tres tipos de secciones cónicas reaparecerán en el plano afín obtenido al elegir una línea del espacio proyectivo como la línea en el infinito. Los tres tipos se determinan entonces por cómo esta línea en el infinito interseca la cónica en el espacio proyectivo. En el espacio afín correspondiente, se obtiene una elipse si la cónica no interseca la línea en el infinito, una parábola si la cónica interseca la línea en el infinito en un punto doble correspondiente al eje, y una hipérbola si la cónica interseca la línea en el infinito en dos puntos correspondientes a las asíntotas. ^{[ 45 ]}

En coordenadas homogéneas, una sección cónica se puede representar como:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.}$

O en notación matricial

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x&y&z\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=0.}$

La matriz de 3 × 3 que aparece arriba se llama matriz de la sección cónica .

Algunos autores prefieren escribir la ecuación homogénea general como

${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2}=0,}$

(o alguna variación de esto) de modo que la matriz de la sección cónica tenga la forma más simple,

${\displaystyle M=\left({\begin{matrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\end{matrix}}\right),}$

pero esta notación no se utiliza en este artículo. ^{[ c ]}

Si el determinante de la matriz de la sección cónica es cero, la sección cónica es degenerada .

Como al multiplicar los seis coeficientes por el mismo escalar distinto de cero se obtiene una ecuación con el mismo conjunto de ceros, se pueden considerar las cónicas, representadas por ( A , B , C , D , E , F ) , como puntos en el espacio proyectivo pentadimensional.${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}.}$

Los conceptos métricos de la geometría euclidiana (conceptos relacionados con la medición de longitudes y ángulos) no pueden extenderse directamente al plano proyectivo real. ^{[ d ]} Deben redefinirse (y generalizarse) en esta nueva geometría. Esto puede hacerse para planos proyectivos arbitrarios , pero para obtener el plano proyectivo real como el plano euclidiano extendido, es necesario tomar algunas decisiones específicas. ^{[ 46 ]}

Fijemos una línea arbitraria en un plano proyectivo que denominaremos línea absoluta . Seleccionemos dos puntos distintos en la línea absoluta y denominémoslos puntos absolutos . Se pueden definir varios conceptos métricos en función de estas elecciones. Por ejemplo, dada una línea que contiene los puntos A y B , el punto medio del segmento AB se define como el punto C, que es el conjugado armónico proyectivo del punto de intersección de AB y la línea absoluta , con respecto a A y B.

Una cónica en un plano proyectivo que contiene los dos puntos absolutos se llama círculo . Dado que cinco puntos determinan una cónica, un círculo (que puede ser degenerado) está determinado por tres puntos. Para obtener el plano euclidiano extendido, se elige como recta absoluta la recta en el infinito del plano euclidiano y los puntos absolutos son dos puntos especiales en esa recta llamados puntos circulares en el infinito . Las rectas que contienen dos puntos con coordenadas reales no pasan por los puntos circulares en el infinito, por lo que en el plano euclidiano un círculo, según esta definición, está determinado por tres puntos que no son colineales . ^{[ 47 ]}

Se ha mencionado que los círculos en el plano euclidiano no pueden definirse mediante la propiedad foco-directriz. Sin embargo, si se considera la línea en el infinito como la directriz, entonces, al tomar la excentricidad como e = 0, un círculo tendrá la propiedad foco-directriz, pero aún no se define por dicha propiedad. ^{[ 48 ]} En esta situación, se debe tener cuidado al usar correctamente la definición de excentricidad como la razón entre la distancia de un punto en el círculo al foco (longitud de un radio) y la distancia de ese punto a la directriz (esta distancia es infinita), lo que da como resultado el valor límite de cero.

Jakob Steiner propuso en 1867 un método sintético (sin coordenadas) para definir las secciones cónicas en un plano proyectivo.

• Dados dos lápices${\displaystyle B(U),B(V)}$de líneas en dos puntos${\displaystyle U,V}$(todas las líneas que contienen${\displaystyle U}$y ${\displaystyle V}$respectivamente) y un mapeo proyectivo pero no de perspectiva${\displaystyle \pi }$de${\displaystyle B(U)}$sobre${\displaystyle B(V)}$. Entonces, los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerada. ^{[ 49 ] [ 50 ] [ 51 ] [ 52 ]}

Un mapeo de perspectiva${\displaystyle \pi }$de un lápiz${\displaystyle B(U)}$sobre un lápiz${\displaystyle B(V)}$es una biyección (correspondencia uno a uno) tal que las líneas correspondientes se intersecan en una línea fija.${\displaystyle a}$, que se denomina eje de la perspectiva${\displaystyle \pi }$.

Una aplicación proyectiva es una secuencia finita de aplicaciones de perspectiva.

Como una aplicación proyectiva en un plano proyectivo sobre un campo ( plano de Papp ) está determinada unívocamente al prescribir las imágenes de tres líneas, ^{[ 53 ]} para la generación de Steiner de una sección cónica, además de dos puntos${\displaystyle U,V}$Solo es necesario proporcionar las imágenes de 3 líneas. Estos 5 elementos (2 puntos, 3 líneas) determinan de forma unívoca la sección cónica.

Según el principio de dualidad en un plano proyectivo, el dual de cada punto es una recta, y el dual de un conjunto de puntos (un conjunto de puntos que satisfacen alguna condición) se denomina envolvente de rectas. Utilizando la definición de cónica de Steiner (este conjunto de puntos se denominará ahora cónica de puntos ) como la intersección de rayos correspondientes de dos haces relacionados, es fácil dualizar y obtener la envolvente correspondiente, que consiste en la unión de puntos correspondientes de dos rangos relacionados (puntos sobre una recta) sobre bases diferentes (las rectas sobre las que se encuentran los puntos). Dicha envolvente se denomina cónica de rectas (o cónica dual).

En el plano proyectivo real, una cónica de punto tiene la propiedad de que toda recta la interseca en dos puntos (que pueden coincidir o ser complejos), y cualquier conjunto de puntos con esta propiedad es una cónica de punto. De ello se deduce que una cónica de línea tiene dos de sus rectas que pasan por cada punto, y cualquier envolvente de rectas con esta propiedad es una cónica de línea. En cada punto de una cónica de punto hay una recta tangente única, y de forma dual, en cada recta de una cónica de línea hay un punto único llamado punto de contacto . Un teorema importante establece que las rectas tangentes de una cónica de punto forman una cónica de línea, y de forma dual, los puntos de contacto de una cónica de línea forman una cónica de punto. ^{[ 54 ]}

Karl Georg Christian von Staudt definió una cónica como el conjunto de puntos formado por todos los puntos absolutos de una polaridad que posee puntos absolutos. Von Staudt introdujo esta definición en Geometrie der Lage (1847) como parte de su intento de eliminar todos los conceptos métricos de la geometría proyectiva.

Una polaridad , π , de un plano proyectivo P es una biyección involutiva entre los puntos y las líneas de P que preserva la relación de incidencia . Así, una polaridad asocia un punto Q con una línea q mediante π ( Q ) = q y π ( q ) = Q. Siguiendo a Gergonne , q se llama polar de Q y Q el polo de q . ^{[ 55 ]} Un punto (o línea ) absoluto de una polaridad es aquel que incide con su polar (polo). ^{[ e ]}

Una cónica de von Staudt en el plano proyectivo real es equivalente a una cónica de Steiner . ^{[ 56 ]}

No es posible construir un arco continuo de una cónica con regla y compás. Sin embargo, existen varias construcciones con regla y compás para cualquier número de puntos individuales en un arco.

Una de ellas se basa en el recíproco del teorema de Pascal, a saber, si los puntos de intersección de los lados opuestos de un hexágono son colineales, entonces los seis vértices se encuentran en una cónica. Específicamente, dados cinco puntos, A , B , C , D , E y una línea que pasa por E , digamos EG , se puede construir un punto F que se encuentra en esta línea y está en la cónica determinada por los cinco puntos. Sea AB intersectando a DE en L , BC intersectando a EG en M y sea CD intersectando a LM en N. Entonces AN intersectando a EG en el punto F requerido . ^{[ 57 ]} Al variar la línea que pasa por E , se pueden construir tantos puntos adicionales en la cónica como se desee.

Otro método, basado en la construcción de Steiner y que es útil en aplicaciones de ingeniería, es el método del paralelogramo, donde una cónica se construye punto por punto mediante la conexión de ciertos puntos igualmente espaciados en una línea horizontal y una línea vertical. ^{[ 58 ]} Específicamente, para construir la elipse con ecuación ⁠ x ² / a ² ⁠ + ⁠ y ² / b ² ⁠ = 1 , primero se construye el rectángulo ABCD con vértices A ( a , 0), B ( a , 2 b ), C (− a , 2 b ) y D (− a , 0) . Se divide el lado BC en n segmentos iguales y se utiliza la proyección paralela, con respecto a la diagonal AC , para formar segmentos iguales en el lado AB (las longitudes de estos segmentos serán ⁠ b / a ⁠ veces la longitud de los segmentos en BC ). En el lado BC, etiquete los extremos izquierdos de los segmentos con A ₁ a A _n comenzando en B y dirigiéndose hacia C. En el lado AB, etiquete los extremos superiores D ₁ a D _n comenzando en A y dirigiéndose hacia B. Los puntos de intersección, AA _i ∩ DD _i para 1 ≤ i ≤ n serán puntos de la elipse entre A y P (0, b ) . El etiquetado asocia las líneas del lápiz que pasan por A con las líneas del lápiz que pasan por D de forma proyectiva, pero no en perspectiva. La cónica buscada se obtiene mediante esta construcción ya que tres puntos A , D y P y dos tangentes (las líneas verticales en A y D) uniquely determine the conic. If another diameter (and its conjugate diameter) are used instead of the major and minor axes of the ellipse, a parallelogram that is not a rectangle is used in the construction, giving the name of the method. The association of lines of the pencils can be extended to obtain other points on the ellipse. The constructions for hyperbolas^[59] and parabolas^[60] are similar.

Yet another general method uses the polarity property to construct the tangent envelope of a conic (a line conic).^[61]